II. Упругие свойства кристаллов

2.1 Тензор напряжений и деформаций

Если какая-либо часть твердого тела действует на соседнюю с некоторой силой, то тело находится в напряженном состоянии. Механическим напряжением называется отношение поверхностной силы к площади, к которой эта сила приложена. Нормальная составляющая напряжения – это давление. При однородном напряжении силы, действующие на любой элемент тела, не зависят от положения этого элемента внутри тела. Это означает, что напряжение в любой точке тела одинаково, все части тела находятся в статическом равновесии и объемные силы и моменты равны нулю. Если рассмотреть элементарный кубический элемент объема тела, на стороны которого действуют поверхностные силы , то составляющие этих сил _xx, _xy, _xz, _yx, _yy, _yz, _zx, _zy, _zz (См. рис.11).

Рис.11. Силы, действующие на грани единичного куба в однородно напряженном состоянии. Величины _ij – элементы тензора механического напряжения.

Из условия равновесия объема тела _xy=_yx, _zx=_xz, _yz=_zy. Более того, 9 компонент напряжения составляют симметричный тензор II ранга, т.е. связывают между собой два вектора: силу P, действующую на единичную площадку dS и нормаль l к этой площадке (рис.12): P_i=_ijl_j или в подробной записи

P_x=_xxl_x+_xyl_y+_xzl_z

P_y=_yxl_x+_yyl_y+_yzl_z

P_z=_zxl_z+_zyl_y+_zzl_{z .}

Рис.12. Связь между силой P, действующей на грань тетраэдра, нормалью l и элементами тензора напряжения. Компоненты силы P и направляющие косинусы единичной нормали l связаны тензором механического напряжения _ij.

Частные формы тензора напряжений описывают часто встречающиеся в приложениях случаи:

двуосное напряжение, объемно-напряженной состояние, гидростатичское давление, напряжение чистого сдвига. Легко убедиться, что этот тензор, описывающий напряжение чистого сдвига, в осях, повернутых на45^о вокруг направления Z, имеет другой вид:.

При приложении механического напряжения к телу в нем возникает локальная деформация, которую также можно охарактеризовать числами. Это изменения постоянных решетки a, b, c и углов между ними , , . Этот способ физически нагляден, но неудобен, если углы между векторами трансляции a, b, c не прямые. Поэтому в общем случае можно выбрать три единичных ортогональных вектора f,g,h и следить, как они преобразуются в вектора f′, g′, h′ при малой деформации тела:

f′ =(1+_xx)f+ _xyg + _xzh

g′ = _yxf +(1+_yy)g+ _yzh

h′ = _zxf + _zyg +(1+_zz)h .

Очевидно, что _xx, _yy, _zz – удлинения соответствующих векторов f, g и h , а остальные элементы _xy, _xz,.... характеризуют изменения углов между этими векторами. Действительно, угол между векторами f′ и g′ равен

(f′,g′) = (1+_xx)_yx+_xy(1+_yy)+_xz_yz = _xy+_yx .

Ясно, что при чистом вращении тела, углы между векторами f′′, g′ и h′ не изменяются, т.е. для недиагональных элементов должно быть _xy=_yx и т.д.. Таким образом, деформация твердого тела может быть охарактеризована симметричной матрицей _ij. Вообще говоря, шесть компонент _ij представляют собой тензор второго ранга, физический смысл элементов которого ясен, однако связь с обычным понятием деформации не очевидна.

В одномерном случае деформация в точке P характеризуется величиной e, которая определяется как предел e=limu/x при условии x0, где u – приращение длины отрезка x при растяжении или сжатии (Рис.13).

Рис.13. Деформация растяжимой струны. а) до деформации, б) после деформации.

В двумерном случае деформацию в точке Р(x,y) с координатами x и y характеризуют уже четыре величины (рис.14):

e₁₁=du_x/dx, e₂₂=du_y/dy,

e₁₂=du_x/dy, е₂₁=du_y/dx .

Рис.14. Деформация растяжимой плоскости: а) определение компонент деформации e_ij, б) выражение произвольной деформации _ij через истинную деформацию e_ij и чистый поворот _ij.

Первые две характеризуют величину растяжения (или сжатия) на единицу длины вдоль направлений x и y, а две другие – величину угла, на который происходит малый поворот направления x и y. Аналогично можно ввести девять компонент тензора деформации в трехмерном случае

e_ij=du_i/dx_j

Необходимо отметить, что простой поворот тела при таком описании дает ненулевые компоненты тензора. В двумерном случае, например, тензор будет иметь вид .

Однако, поскольку любой тензор второго ранга может быть представлен как сумма симметричного e_ij^s и антисимметричного e_ij^as тензоров, то

e_ij= e_ij^s+e_ij^as=_ij+_ij;

_ij=(e_ij+e_ji)/2;

_ij=(e_ij–e_ji)/2

Симметричная часть этого тензора, т.e.e_ij^s описывает деформацию и полностью совпадает с ранее введенным другим способом тензором_ij. Антисимметричная частьe_ij^as=_ijописывает поворот тела на некоторый угол. Двумерный чертеж, соответствующий деформации совместно с поворотом, показан на рис.14.

Любая точка в твердом теле может быть задана с помощью трех ортогональных единичных векторов f, g, h следующим образом: до деформации r = xf+yg+zħ , после деформации r′ = xf′+yg′+zh′ , так что вектор смещения точки  = r′–r можно записать в виде  = uf+vg+wh, где

u=_xxx+_xyy+_xzz

v=_yxx+_yyy+_yzz

w=_xzx+_yzy+_zzz

или

u _i=_ij x_j

Это выражение показывает, что _ij действительно есть тензор второго ранга, поскольку связывает между собой компоненты двух векторов  и r. Поскольку тензор _ij есть симметричная часть е_ij=(du_i/dx_j), то

или в развернутом виде

.

Следует иметь в виду, что иногда эту матрицу записывают без коэффициентов 1/2 при недиагональных элементах. Это т.н. "тензор" технической деформации. Нужно подчеркнуть, что матрица технической деформации не образует тензор Трансформационные свойства ее элементов более громоздки, чем у тензора второго ранга.