В краткой матричной записи

(d²u_i/dt²)=(d_ij/dx_j), i,j=1,2,3.

Поскольку напряжения _ij по закону Гука могут быть выражены через деформации _kl, а деформации через смещения u_k, то :

_ij=C_ijkl_kl ;

_kl=1/2[(du_k/dx_l)+(du_l/dx_k)]

(d_ij/dx_j)=C_ijkld/dx_i[1/2[(du_k/dx_l)+(du_l/dx_k)]]

Уравнения движения тогда будут выглядеть так:

(d_ij/dx_j)=C_ijkl (d²u_l/dx_idx_j).

Здесь необходимо иметь в виду суммирование в правой части по индексам j,k,l. Это волновое уравнение, описывающее распространение упругих волн в анизотропной среде, называется уравнением Кристофеля.

В частном случае кубического кристалла это уравнение можно записать для компоненты u₁=u,принимая во внимание вид тензор упругости.

_xx=|C₁₁_xx+C₁₂_yy+C₁₃_zz|+C₁₄_yz +C₁₅_xz +C₁₆_xy

_yy=|C₂₁_xx+C₂₂_yy+C₂₃_zz|+C₂₄_yz +C₂₅_xz +C₂₆_xy

_zz=|C₃₁_xx+C₃₂_yy+C₃₃_zz|+C₃₄_yz +C₃₅_xz +C₃₆_xy

_yz=C₄₁_xx+C₄₂_yy+C₄₃_zz +|C₄₄_yz|+C₄₅_xz +C₄₆_xy

_zx=C₅₁_xx+C₅₂_yy+C₅₃_zz +C₅₄_yz+|C₅₅_xz|+C₅₆_xy

_xy=C₆₁_xx+C₆₂_yy+C₆₃_zz +C₆₄_yz +C₆₅_xz+|C₆₆_xy|

В рамочку взяты отличные от нуля (для кубического кристалла) компоненты тензора упругости, причем связь между отдельными компонентами следующая: C₁₁=C₂₂=C₃₃; C₄₄=C₅₅=C₆₆; C₁₂=C₁₃=C₂₃. Уравнения движения среды можно непосредственно получить из * :

(d²u/dt²)=C₁₁(d_xx/dx)+C₁₂[(d_yx/dx)+(d_zz/dx)]+2C₄₄[(d_xy/dy)+(d_xz/dz)]

Поскольку

_xx=du/dx;

_xy=1/2[(dv/dx)+(du/dy)];

_xy=1/2[(dw/dx)+(du/dy)]; то

(d²u/dt²)=C₁₁(d²u/dx²)+C₄₄[(d²u/dy²)+(d²u/dz²)]+(C₁₂+C₄₄)[(d²v/dxdy)+(d²w/dxdz)]

Разумеется, это уравнение можно получить, используя общее выражение уравнения Кристофеля.

Одним из возможных решений может служить продольная волна u=Аexp[i( t–kx)] со смещением вдоль x и распространяющаяся вдоль направления x. Подставляя это решение в уравнение, получим

–2 = –k2C₁₁ и

v_l = /k =(C₁₁/)^1/2

– скорость волны сжатия и разряжения среды в направлении x. Другое возможное решение u=Aexp[i(t–ky)] – волна, распространяющаяся вдоль направления y. Подстановка его в уравнение дает

–2= –k2C₄₄ и

v_t = /k =(C₄₄/)^1/2 ,

где v_t – скорость поперечной волны, или волны сдвига. Существует еще одна волна, которая может распространяться с этой же скоростью в направлении осиz.

Для кристаллов кубической, гексагональной, тетрагональной и орторомбической системы решения уравнения Кристофеля для волны, распространяющейся в единичном направлении Q(Q₁,Q₂,0) в плоскостях ортогональной системы координат xyz, даются следующим алгебраическим уравнением:

(C₅₅ Q₁²+C₄₄ Q₂ ²– )

[²–(C₁₁ Q₁²+C₂₂ Q₂²+C₆₆+(C₁₁ Q₁²+C₆₆ Q₂²) (C₆₆ Q₂²)

 (C₆₆ Q₁²+C₂₂ Q₂²)–(C₁₂+C₆₆) Q₁ Q₂]=0

Здесь Q₁, Q₂ – направляющие косинусы вектора распространения Q. Скорость распространения волны равна v=(/)^1/2, где  – линейная комбинация упругих констант кристалла, а  – плотность кристалла. На рис.17 показана угловая зависимость скорости продольной LA и поперечных TA₁ и TA₂ волн в плоскости xz и zy при 273^oС в кристалле ацетата лития, который относится к орторомбической системе V_h–mmm.

Рис.17. Индикатриса звуковых скоростей продольной LA и поперечной TA₁ и TA₂ волн в кристалле ацетата лития: а) в плоскости (100), б) в плоскости (010). Она получена решением кубического уравнения (полученного из уравнения Кристюфеля) для значения плотности кристалла =1.38 г/см³ и для следующих величин упругих постоянных (в 10¹²дн/см²): C₁₁=2.5, C₂₂=6.0, C₃₃=5.6, С₄₄=0.8, С₅₅=0.35, С₆₆=0.4, C₁₂=0.6, C₁₃=0.4, C₂₃=1.75. В произвольном направлении всегда имеется три значения скорости звука для волн LA, TA₁ и TA₂, которые определяются тремя корнями этого кубического уравнения _1,2,3: V^зв_1,2,3=(_1,2,3/)^1/2. На рисунке а) показаны также элементы тензора упругих постоянных (четвертого ранга), определяющих скорость звука для данного направления в кристалле. Симметрия кристалла орторомбическая – D_2h