
- •Физика фононов
- •Степень ионности х некоторых элементов
- •1.2 Энергия решетки ионных кристаллов
- •Вклад в постоянную маделунга
- •Постоянная маделунга
- •II. Упругие свойства кристаллов
- •2.1 Тензор напряжений и деформаций
- •2.2 Тензорные свойства кристаллов
- •Число ненулевых констант в тензорах II, II и iу ранга
- •2.3 Закон Гука. Модули упругости и упругие константы.
- •В краткой матричной записи
- •Поскольку
- •Разумеется, это уравнение можно получить, используя общее выражение уравнения Кристофеля.
- •3. Колебания кристаллической решетки
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.3 Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде.
- •3.4. Одномерная двухатомная цепочка
- •3. Колебания кристаллической решетки
- •3.4. Колебания трехмерной решетки
- •3.5 Обратная решетка и зона бриллюэна
- •3.6. Ход ветвей колебаний в зоне
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4. Колебательные состояния кристаллов
- •4.2. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому
- •Отсюда следует, что
- •4.4. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •4.5. Нормальные колебания. Фононы.
- •5. Ангармонизм колебаний
- •5.1 Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •5.2 Ангармонический осциллятор и кристалл
- •5.3. Фонон-фононные взаимодействия
Число ненулевых констант в тензорах II, II и iу ранга
-
сингония
Число независимых констант
у тензоров 2, 3 и 4-го рангов
2й ранг
3й ранг
4й ранг
Моноклинная ii,yz,xz,xy
Триклинная xx,yy,zz,yz
Тетрагональная xx=yy,zz
Тригональная xx=yy,zz
Гексагональная xx=yy,zz
Кубическая xx=yy=zz
6
4
2
2
2
1
18,0
10,8,0
1,2,3,4
6,4,2,0
1,2,3,4
0
21
13
7,6
7,6
5
3
Изотропная среда
1
0
2
2.3 Закон Гука. Модули упругости и упругие константы.
Если деформации ij, возникающие при приложении к твердому телу механического напряжения kl, малы, то они пропорциональны этим напряжениям (закон Гука):
xx=sxxxxxx+sxxyyyy+sxxzzzz+sxxzyzy+sxxzxzx+sxxxyxy
yy=syyxxxx+syyyyyy+syyzzzz+syyzyzy+syyzxzx+syyxyxy
zz=szzxxxx+szzyyyy+szzzzzz+szzzyzy+szzzxzx+szzxyxy
zy=szyxxxx+szyyyyy+szyzzzz+szyzyzy+szyzxzx+szyxyxy
zx=szxxxxx+szxyyyy+szxzzzz+szxzyzy+szxzxzx+szxxyxy
xy=sxyxxxx+sxyyyyy+sxyzzzz+sxyzyzy+sxyzxzx+sxyxyxy
или в краткой записи с учетом суммирования по повторяющимся индексам
i = sijkl kl ,
где sijkl – модули упругости (постоянные упругости, постоянные упругой податливости), Можно написать и обратное соотношение, связывающее механическое напряжение и механическую деформацию:
kl = cklij ij ,
где cklij – упругие постоянные (константы жесткости).
Модули упругости sijkl и упругие постоянные cklij являются элементами тензора IY ранга, связывающего два тензора второго ранга. Полное число элементов тензора четвертого ранга равно 34=81. Однако, поскольку тензор механического напряжения и тензор деформации симметричные тензоры (т.е. инвариантны относительно перестановки значков), компоненты тензора упругих постоянных также инвариантны относительно перестановок двух пар индексов ij и kl , так что из 81 компонент независимыми остаются только 36. Физический смысл отдельных компонент можно понять, предполагая, что на кристалл действуют различные простые напряжения. При приложении чистого сдвигового напряжения 12=21 (12 не может быть в отсутствие объемных моментов приложено без 21) элемент 11 тензора деформации был бы равен (здесь использована замена x1, y2, z3):
11=s111212+s112121=(s1112+s1121)12.
Все сказанное для тензора модулей упругости sijkl справедливо также и для тензора упругих постоянных cklij.
Благодаря симметричности sijkl и cklij по первым двум и последним двум индексам, можно применить более короткую запись с использованием так называемых матричных обозначений. В этой записи пары первых и последних индексов заменяются одним индексом, пробегающим значения от 1 до 6 по следующим правилам:
Тензорные обозначения 11 22 33 23,32 31,13 12,21
Матричные обозначения 1 2 3 4 5 6.
При этом для тензора упругой податливости sklij вводятся множители 2 и 4 следующим образом:
sijkl = smn при m,n=1,2,3
2sijkl = smn при m,n=4,5,6
4sijkl = smn при и m и n=4,5,6.
Для тензора упругих постоянных cijkl множители 2 и 4 вводить не нужно, т.е. всегда cijkl = cmn.
Тензор механических напряжений и деформаций в матричной записи выглядит так:
Закон Гука, следовательно, более кратко можно записать следующим образом:
I = sijj I = cij j i, j=1,2,3,4,5,6.
Таблицы |smn| и |сmn| представляют собой квадратные матрицы 6х6 и, разумеется, не являются, несмотря на наличие двух индексов, тензорами II ранга. Поскольку матрицы коэффициентов |smn| и |сmn| симметричны, число назависимых упругих констант может быть только 21 (6 диагональных элементов и (36–6)/2=15 недиагональных).Это можно показать, рассматривая энергию деформированного тела. Действительно, при упругой деформации твердого тела, выполненная работа идет на увеличение свободной энергии деформированного кристалла и должна выражаться через величину деформации ij и упругие постоянные cijkl.
Рассмотрим малый куб кристалла с единичным ребром, на который действуют компоненты механического напряжения ij . Если в рассматриваемом кубе возникает только деформация сжатия., т.е. компоненты деформации xx, yy, zz изменяются соответственно на xx, yy, zz,, то работа производится только нормальными компонентами напряжений и поэтому равна:
W1=xxxx+yyyy+zzzz
Если же рассматриваемый куб претерпевает и деформацию сдвига, то противоположные грани куба смещаются в противоположных направлениях на величину xy, xz и yz , а компонента силы, действующая на грани равняется xy, xz и yz , так что работа этих сил равна:
W2=xyxy+xzxz+yzyz .
В итоге полная запасенная энергия деформации (или выполненная работа) на единицу объема в тензорной свернутой записи равна:
W = ij ij i, j =1,2,3; W =k k k=1,2,3,4,5,6.
Если выполняется закон Гука, это уравнение принимает вид:
W = cijkl ij kl или W =cmn n m.
Следовательно,
поскольку W есть функция состояния тела, определяемого компонентами деформации, то порядок дифференцирования не имеет значения, так что левая сторона соотношения симметрична по перестановке индексов kl. Поэтому ckl=clk и, разумеется, skl=slk, и благодаря симметричности матриц число независимых констант жесткости и податливости уменьшается до 21.
Упругие волны в кристалле
Случайные флюктуации деформации в кристалле приводят к появлению напряжений, вызывающих распространение деформаций в среде. Если – плотность кристалла, и на элементарный объем xyz действуют силы, выраженные через напряжения ij, то можно написать уравнения движения среды вдоль направления x (см. рис.16):
.
Рис.16. Неравновесные напряжения в макроскопическом кубе кристалла, возникающие в результате флюктуаций и вызывающие неравновесную деформацию среды и как следствие механические колебания в кристалле. Показаны механические напряжения, действующие на все грани куба вдоль направления x. Силы, действующие на эти грани, равны произведению величины напряжения на площадь грани, так что легко написать уравнение движения среды вдоль оси x.
Аналогично для направлений y и z:
(d2u/dt2)=(dxx/dx)+(dxy/dy)+(dxz/dz)
(d2v/dt2)=(dyx/dx)+(dyy/dy)+(dyz/dz)
(d2w/dt2)=(dzx/dx)+(dzy/dy)+(dzz/dz)