3.4. Одномерная двухатомная цепочка

Рассмотрим бесконечную одномерную цепочку, показанную на рис.27, элементарная ячейка которой содержит 2 частицы. Трехмерным аналогом такой модели могут быть кристаллы NaCl, KBr и др. Постоянная решетки a=a′/2, a′–расстояние между соседними атомами, массы частиц – m₁>m₂, упругие силовые постоянны – ₁=₂=. Будем использовать четную нумерацию для частиц массы m₁ и нечетную – для частиц массы m₂. Соответствующие смещения U_2n и U_2n+1.

Рис.27. Двухатомная линейная цепочка а) модель цепочки с массами m₁>m₂и постоянной решеткиa=2a′. На рисунке выделена элементарная ячейка. Тяжелые атомы решеткиm₁имеют нечетные номера, а более легкие атомыm₂– четные; б) дисперсионная зависимость(k) для двухатомной линейной цепочки. 1 – дисперсивная область (зона собственных колебательных состояний); 2 – реактивная область (запрещенная зона частот). Дисперсионные зависимости (акустическая и оптическая ветви) непрерывны в зоне Бриллюэна и имеют экстремумы как в центре зоны (k=0), так и на ее границе (k=/a). В этом случае колебания цепочки представляют собой стоячую волну.

Система дифференциальных уравнений, описывающая движение частиц, имеет бесконечное число уравнений, имеющих для легкой и тяжелой частицы следующий вид:

Решение этой системы ищем в виде, удовлетворяющем теореме Блоха, т.е. в виде периодической функции, определенной в элементарной ячейке, домноженной на фазовый множитель expi(k,r_n).

где A₁ и A₂ – амплитуды смещений частиц массы m₁ и m₂,  – частота колебаний, а k – волновой вектор возбуждения.

Подстановка этих решений в бесконечную систему дифференциальных уравнений приводит eё к однородной системе из двух алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд колебаний А₁ и А₂. Чтобы система имела нетривиальное (ненулевое) решение, необходимо, чтобы ее детерминант равнялся нулю. Это дает связь между частотой возбуждения  и волновым вектором k, которая, как известно, носит название дисперсионного соотношения:

A₁(m₁²–2)+A₂2coska′=0

A₁2coska′+A₂(m2²–2)=0

.

Поскольку 1–2sin²ka′=coska, дисперсионное соотношение можно записать так:

Если частота  удовлетворяет дисперсионному уравнению, можно найти соотношение амплитуд А₁ и А₂ соответствующих волновых возбуждений, а из начальных условий можно найти и сам амплитуды. Поскольку дисперсионное условие имеет два корня ₁, ₂ каждому значению волнового вектора k соответствует две волны. В зависимости от k возбуждения цепочки имеют целый набор частот – ветвь (рис.28).

Рис.28. Вид акустических (a) и оптических (б) колебаний двухатомной цепочки для значений волновых векторов k=0 (1),k=/a(2) и волнового вектора внутри зоны Бриллюэнаk=/7a(3). Колебания с волновым векторомk=/aна границе зоны Бриллюэна представляют собой стоячие волны. В акустической ветви колеблются тяжелые атомы, а легкие покоятся; в оптической ветви колеблются легкие атомы, а тяжелые находятся в покое.

Таким образом, дисперсионная кривая имеет две ветви – акустическую (знак –) и оптическую (знак +). Так как дисперсионная зависимость (k) периодична по k с периодом 2/a, нет необходимости рассматривать вс возможны значения k. Область изменения волнового вектора k выбирается симметричной (–/a, +/a ), чтобы учесть волны, бегущие в противоположных направлениях. Эта область носит название первой зоны Бриллюэна.

Легко получить значения частот при k=0 и на границе зоны Бриллюэна (k=/a):

	центр зоны Бриллюэна	граница зоны Бриллюэна
Акустическая ветвь	a=0	а=(2/m1)1/2
Oптическая ветвь	о=(2(1/m1+1/m2))1/2	o=(2/m2)1/2

Внутри зоны ветви непрерывны. Ход ветвей вблизи центра зоны Бриллюэна при k0 можно получить, рассматривая разложение дисперсионой зависимости (k) в ряд по k, и учитывая, что сoska 1–k²a²/2+...:

1. Акустическая ветвь (знак –):

Скорость этой волны является скоростью звука, поскольку:

.

2. Оптическая ветвь (знак +):

Оптическая ветвь, таким образом, имеет максимум при k=0, а вблизи центра зоны Бриллюэна имеет параболическую зависимость от волнового вектора.

Ход ветвей на границе зоны Бриллюэна (k=/a) также можно получить, разлагая (k) в ряд в этой точке и учитывая, что :

сoska  сos(–)=–сos =–1+²/2+...

1. Акустическая ветвь (знак –):

Групповая скорость волны равна V_гр=(d/dk)_k=0=0 , т.е. это – стоячая волна.

2. Оптическая ветвь (знак + ):

.

Таким образом, частоты акустической и оптической ветви вблизи границы зоны Бриллюэна меняются по параболическому закону, а групповая скорость волны на границе зоны Бриллюэна равна нулю, т.е. это – стоячая волна.

Если ограничиться взаимодействием лишь ближайших соседей, то ветви внутри зоны гладки. Обе ветви идут не пересекая друг друга и имеет место область запрещенных частот от значения (2/m₁)^1/2 до (2/m₂)^1/2.

Характер движения частиц в ветвях можно получить, вернувшись к алгебраическим уравнениям для амплитуд А₁ и А₂. Если А₁/А₂>0, то движения частиц происходит в фазе, если А₁/А₂0 – в противофазе. Используя второе уравнение для амплитуд для нулевого волнового вектора, можно получить:

.

В акустической ветви (знак плюс) это отношение равно +1:

(А₁/А₂)_ak=(m₁–m₂+m₁+m₂)/2m₁=+1 ,

т.е. частицы с массами m₁иm₂движущая в фазе.

В оптической ветви (знак минус) это отношение отрицательно:

(А₁/А₂)_opt=(m₁–m₂–m₁–m₂)/2m₁= –m₂/m₁,

т.е. частицы колеблются в противофазе, а амплитуды движений обратно пропорциональны массам. Важно, что если на частицах 1 и 2 есть заряды, то такое колебание сопровождается изменением дипольного момента элементарной ячейки и, значит, оно может взаимодействовать со светом. Поэтому ветвь таких колебаний называется оптической.

В случае малых волновых векторов можно получить, что для акустической и оптической ветвей справедливо

(А₁/А₂)_ak=1+k²;

(А₁/А₂)_opt= –(m₂/m1)(1–k² ),

где  = (m₁–m₂)/8(m₁+m₂)

В акустических колебаниях отношение амплитуд возрастает, а в оптических – уменьшается, но колебания тяжелых и легких частиц остаются в противофазе. Вблизи границы зоны Бриллюэна при k=(–)/a, coska –1+²/2+…, и отношения амплитуд имеет вид:

,

.

Поскольку в цепочке m₁–m₂>0, то в колебаниях оптической ветви движения происходят в противофазе, причем при0 (А₁/А₂)_opt0, т.е тяжелые частицы покоятся, а легкие движутся. Длина волны при этом минимальна и равна=2a. В акустической ветви при колебаниях на границе зоны частицы движутся в фазе. При уменьшенииотношение(А₁/А₂)_akвозрастает и при0 стремится к бесконечности. Это означает, что легкие частицы покоятся, а тяжелые движутся. Вид этих колебаний приведен на рис.28.

Рис.28. Вид акустических (a) и оптических (б) колебаний двухатомной цепочки для значений волновых векторов k=0(1),k=/a(2) и волнового вектора внутри зоны Бриллюэнаk=/7a(3). Колебания с волновым векторомk=/aна границе зоны Бриллюэна представляют собой стоячие волны. В акустической ветви колеблются тяжелые атомы, а легкие покоятся; в оптической ветви колеблются легкие атомы, а тяжелые находятся в покое.

Для цепочки конечных размеров можно использовать циклические граничные условия Борна–Кармана, устанавливающие идентичность атома n и n+N:

U_n=U_n+N; exp[i(t+2nka′)]=exp[i(t+(2n+N)ka′)]

exp[iNka′]=1; Nka′=2p; p=0,1,2...N–1;

–/a<k=p2/Na<+/a; –N/2<p<+N/2

Таким образом, имеется N различных волновых векторов k, причем каждому волновому вектору k соответствует два колебания с частотами _ak и _opt, так что полное число типов движений ограничено и равно 2N (N – для оптической ветви и N – для акустической).

Трансформация ветвей в зоне при изменении периода решетки показана на рис.29.

Как и в случае одноатомной цепочки можно рассмотреть функцию плотности частот в ветвях g()=dZ/d, определяемую как число мод (типов колебаний) dZ, приходящихся на единичный интервал частот d. Ясно, что существует две области частот, где g() отлична от нуля. Эти области соответствуют акустической и оптической ветвям. Они разделены запрещенной областью частот, где g()=0. В граничных точках зоны Бриллюэна функция плотности частот стремиться к бесконечности, что является следствием приближения ближайших соседей. Полное число колебаний в цепочке конечно и равно 2N, так что

.

При рассмотрении реальной двухатомной цепочки необходимо учесть, что частицы могут смещаться не только вдоль цепочки, но и поперек, т.е. каждая частица будет иметь 3 степени свободы. Поэтому уравнений движения будет в 3 раза больше, и в 3 раза больше будет решений. Для каждого волнового вектора k будет существовать шесть волн с различными частотами, т.е. дисперсионная кривая будет иметь шесть ветвей. Три из них имеют частоты равные нулю при k0 (трансляционные движения частиц в фазе вдоль и поперек цепочки) и являются акустическими, остальные три – оптические.

Рис.29.Трансформация ветвей в зоне при изменении периода решетки. а) Ветвь одноатомной цепочки с периодом aи одним атомом массыmв элементарной ячейке (сплошная кривая) переходит в две ветви типаА(акустическая) иО(оптическая) в случае неконгруэнтности (отсутствия трансляционной инвариантности) атомов (m₁m₂). Поскольку элементарная ячейка в этом случае должна имеет удвоенный размерa′=2a, частоты обоих ветвей на границе зоны почти равны=/m₁  =/m₂. В этом случае говорят, что зона Бриллюэна складывается в направленииk_. Трехмерный аналог этого случая – кристаллыC, Si, Ge,в решетке которых2атома в элементарной ячейке, и в которых в направлении (100) LA и LO ветви вырождены в точке X зоны Бриллюэна (см. рис.41). б) Складывание зоны Бриллюэна в случае двухатомной линейной цепочки. Появление сверхструктуры с периодамиa′=2a, a′′=4aи т.д. приводит к последующему уменьшению зоны Бриллээна и увеличению числа частот в центре зоны сk=0. в) мягкие моды в линейной двухатомной цепочке: 1– равновесная конфигурация цепочки с постояннойaи массамиm₁ и m₂; 2 – оптическое колебание в этой цепочке сk=0. При «замораживании» смещений число частиц в ячейке не изменяется; 3 и 4 – оптическое и акустическое колебания двухатомной цепочки с волновым векторомk=/a,т.е. на границе зоны Бриллюэна. При «замораживании» этих колебаний (т.е. смещений) число частиц в элементарной ячейке удваивается; 5 – замороженная конфигурация акустической моды 4, приводящая к цепочке с элементарной ячейкой удвоенного размера. Штриховкой показана неконгруэнтность атомов в новой ячейке . Смещения частиц в этой конфигурации полностью подобны смещениям в случае 4, но представляют теперь нормальное колебание с волновым векторомk=0. Случаи 4 и 5 иллюстрируют складывание зоны, показанной на рис.28б, и переход точки сk=/aв точкуk=0зоны Бриллюэна другой фазы.

В общем случае при наличии s частиц в элементарной ячейке полное число степеней свободы ячейки равно 3s. Полное число ветвей тогда будет 3s. Из них 3 ветви акустические, остальные 3s–3 ветви – оптические (рис.30).

Рис.30. Схематический вид дисперсионных зависимостей для кристалла с sатомами в элементарной ячейке для различных направленийk распространения волны.