Постановка решения в виде функции Блоха

сводит систему дифференциальных уравнений к одному (!) алгебраическому уравнению, характеризующему связь между частотой  и волновым числом k=(2/) для возможных собственных возбуждений системы:

Дисперсионная зависимость (k) периодична, таким образом достаточно рассмотреть область периодичности волнового вектора k, которая выбирается симметричной от –(/a)<k<+(/a) и носит название первой зоны Бриллюэна. Колебания, отличающиеся по волновому вектору k на целочисленную величину (2/a), физически характеризуют одно и то же движение частиц. Легко видеть, что ближайшая частица, имеющая такое же отклонение U_n+m, как и заданная U_n для колебания с волновым вектором k расположена на расстоянии ma=:

Волны с частотами >_max будут распространяться через цепочку с затуханием, поскольку при этом условии из дисперсионного соотношения следует, что sin(ka/2)>1, т.е. волновой вектор k представляет собой комплексную величину k+i :

Мнимая часть этого выражения равна нулю, т.к. частота действительна. Следовательно, cos(ka/2)=0 и k=/2, т.е. соседние частицы при таком движении колеблются в противофазе, а само движение имеет вид затухающей с коэффициентом  волны (рис.20 а):

.

Рис.20. Колебания моноатомной цепочки: а) мода колебания с волновым вектором k0; б) мода колебания на границе зоны Бриллюэна сk= /a; в) вид движений при вынужденных колебаниях цепочки с частотами²²_max=4/msin²ka/2. Если частота внешнего воздействия_max, это означает, чтоволновой вектор k является комплексным числом =k+i, так что sin(a/2)=sin[(k+i)a/2]=sin(ka/2)ch(a/2)+icos(ka/2)sh(a/2); поскольку sin(a/2), определяет физическую частоту и должен быть действительным числом, мнимая часть этого выражения равна нулю, что может иметь место только когда значение ka/2=/2. Таким образом, соседние частицы колеблются в противофазе. Поэтому смещение частиц в цепочке должно иметь вид: un=Aexp[i(t+an/a)]exp(–an). Это показано на рисунке. г) моды колебаний цепочки с конечным числом атомов N, расположенные по порядку увеличения частоты колебаний.

Вид колебаний для различных волновых векторов показан на рис.20. Для малых волновых векторов k0 () движение частиц происходит в фазе с частотами, пропорциональными величине k (ka<<1):

где V=a(/m)^1/2– скорость звуковых волн в линейной цепочке, состоящей из масс m. Действительно, V_звука=(C₁₁/)^1/2, где C₁₁ – упругая постоянная

.

Таким образом, при малых k =kV_звука. Фазовая скорость V_ф=/k и групповая скорость V_гр=d/dk в этом случае равны. Для коротких волн на границе зоны Бриллюэна k=/a; =2a соседние частицы колеблются в противофазе и образуют стоячую волну с частотой =_max=(4/M)^1/2. Перенос энергии при этом отсутствует, а групповая скорость равна нулю

При рассмотрении цепочки конечных размеров (N частиц) необходимо использовать граничные условия. Среди них можно рассматривать условия закрепленных или свободных концов, или циклические граничные условия (условия Борна-Кармана), когда цепочка представляется замкнутой:

Таким образом, в цепочке из N атомов волновой вектор k может принимать N разных значений, которым соответствуют различные решения U_n(, k) и различный тип движения частиц (моды колебаний). Поскольку число частиц N в реальных объектах чрезвычайно велико, можно считать, что волновой вектор k и соответствующие значения частот от 0 до _max квазинепрерывны.

Важным вопросом является вопрос о числе dZ различных частот (колебаний, мод), приходящихся на единичный интервал частот d. Эта величина g() носит название функции плотности частот (функции плотности состояний).

Поэтому плотность частот для одноатомной одномерной цепочки выглядит следующим образом:

Для линейной цепочки при учете взаимодействия только ближайших соседей функция плотности частот g() имеет особенность при _max.

3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)

Дисперсионное соотношение, связывающее частоту  и волновой вектор k нормальной моды колебания одномерной моноатомной цепочки,

представляет собой важное соотношение, встречающееся в ряде физических задач. Сразу отметим, что волны, удовлетворяющие линейной связи между частотой и волновым вектором, т.е. удовлетворяющие соотношению /k=const, называются недиспергирующими волнами. Среда, в которой распространяются такие волны, называются также недиспергирующей. Если отношениe /k зависит от длины волны (а значит и oт частоты), волны называются диспергирующими. В этом случае график функции =(k) нелинеен.

1. ИДЕАЛЬНАЯ СТРУНА. В частном случае идеальной упругой струны уравнение колебаний таково

где C₁₁– упругая постоянная. Дисперсионная зависимость в этом случае имеет вид=k(C₁₁/)^1/2, так что волны для нормальных мод однородной упругой струны – недисперсионны. Это означает, что последовательные моды идеальной струны (т.е. моды с длинами волн=2l/1, 2l/2, 2l/3, 2l/4... и т.д.) создают гармоническую последовательность частот:₁, ₂=21, ₃₌3₁ и т.д.

Для реальной струны (например гитары или рояля) дисперсионное соотношение, вообще говоря, нелинейно и может быть приближенно описано формулой ²=(C₁₁/)k²+k⁴, где– некоторая положительная константа, показывающая, что струна при возбуждении коротковолновых мод более жестка, чем при возбуждении длинноволновых. Поэтому частоты колебаний мод с длинами волн=2l/1, 2l/2.. и т.д. не будут удовлетворять гармонической последовательности₁, ₂ =2₁, ₃ =3₁..., а будут выше обертонов идеальной струны (т.е. будут диезными).

Можно рассмотреть струну с закрепленными на ней N грузами массой m, расположенных через равные интервалы a. Очевидно, что такая система представляет собой рассмотренный ране случай одномерной моноатомной цепочки, так что дисперсионная зависимость для этой системы имеет вид (см рис.19):

.

2. ДВУХПРОВОДНАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ. Другим примером системы с аналогичной дисперсионной зависимостью является цепочка из связанных контуров (емкостей C и индуктивностей L) (рис.21).

Рис.21. Двухпроводная электрическая линия: а) эквивалентная электрическая схема; б) уравнение токов в каждом из контуров; система этих N дифференциальных уравнений для N контуров для полностью идентична системе уравнений, описывающих одноатомную цепочку, и проводит к дисперсионной зависимости (k), в) дисперсионная зависимость (k), показывающая, что такая электрическая линия является фильтром низких частот с максимальной частотой пропускания ²_max=4C^–1/L.

Легко показать, что из уравнений Кирхгоффа следует

.

Это система уравнений полностью аналогична системе механической линейной цепочки с массами m. Дисперсионное соотношение поэтому имеет такой же вид, как и у одномерной одноатомной цепочки, если произвести замену величины /m на C^–1/L:

3. СВЯЗАННЫЕ МАЯТНИКИ. Наглядным примером из механики является также систем связанных математических маятников (рис.22).

Рис.22. Модель связанных маятников: а) схематический вид цепочки маятников; б) дисперсионная зависимость (k) для системы связанных маятников: область возможных частот от ²_min=g/l до ²_max=g/l+4/m– область синусоидальных волн; в), г) – области затухания: в) область высоких частот _max – экспоненциально-затухающие волны при колебаниях соседних маятников в противофазе; г) – область ниже низкочастотного порога – экспоненциально-затухающие волны; д) – график амплитуд колебаний маятников для области частот ниже низкочастотного порога – колебания соседних маятников происходят в фазе (см. рис. а)).

На каждый маятник длины lдействует возвращающие силы двух типов: "внешняя" сила, создаваемая силой тяжести, не зависит от относительного смещения соседних маятников; другая сила, возникающая из-за того, что маятники связаны пружинами, зависит только от их взаимного расположения. Если бы не существовало силы тяжести, то такая система была бы подобна одноатомной линейной цепочке, так что дисперсионное соотношение имело бы вид=(4/m)^1/2 sin(ka/2).

При введение же силы тяжести g, к возвращающей силе нужно добавить величинуg/l. При этом можно показать, что мода колебания (т.е. тип движения) сохранится, а частота изменится до величины

В предельном случае непрерывной системы (ka<<1) имеем

Этот закон дисперсии описывает дисперсию электромагнитных волн в волноводах и в иносфере Земли.

4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Распространение электромагнитных волн в ионосфере Земли. В вакууме электромагнитные волны дисперсии не имеют, поскольку =ck, где c скорость света. В ионосфере, где высока концентрация заряженных частиц – ионов и электронов, существует собственная частота колебаний плазмы – это частота самой низкой моды колебаний свободных электронов. Плазменную частоту _p легко получить из уравнения движения – флюктуации концентрации электронов N быстро компенсируются из-за появления электрического поля E в результате перераспределения зарядов в среде: E=4=4Nex. Здесь е – заряд, а x – смещение электрона. Уравнение движения электронов в этом поле приводит к следующему результату:

Для дневного времени типичное значение _p=10–30MHz, что соответствует плотности электронов N10⁶–10⁷см^–3. Поскольку в общем случае для электромагнитного поля /k=c/^1/2, то для среды с одним резонансом на частоте _о:

Свободный электрон имеет как бы "нулевую" резонансную частоту _o=0. Поэтому

или

.

Дисперсионная зависимость такого типа показана на рис.23. Очевидно, что для частот выше _p=10–30MHz ионосфера дисперсивна, т.е. прозрачна.

Рис.23. Дисперсионная зависимость (k) электромагнитных волн в атмосфере происхождение которой связано с наличием электрических зарядов в ионосфере существованию колебаний зарядов на так называемой плазменной частоте _р. Ниже этой частоты существует область затухания электромагнитных волн – реактивная область; выше этой частоты – дисперсивная область частот. Плазменная частота зависит от времени суток и равна 10–30 MHz.

Это типичные частоты TV передатчиков и радиостанций FM (УКВ). Очевидно, ионосфера дисперсивна и для частот видимого света (10¹⁴Hz). В то же время для широковещательных радиостанций AM (частоты 10³ kHz) ионосфера ведет себя как реактивная среда. Электромагнитные волны экспоненциально затухают в ней (но не поглощаются) и отражаются от ионосферы снова к Земле. Это и создает возможность передачи длинных радиоволн на большие расстояния.

5. ВОЛНЫ ДЕ-БРОЙЛЯ. Дисперсионное соотношение справедливо также для квантовых частиц, описываемых волнами де-Бройля. Частице с импульсом p соответствует волновой вектор k, определяемый из соотношения p=hk. Кроме того, частица с энергией Е имеет волновую частоту , поскольку E=h. Объединяя эти два соотношения, можно получить классическое соотношение между энергией Е и волновым вектором k для частицы с массой m :

.

Для частицы, помещенный в одномерный "ящик" длины L, возможными состояниями являются нормальные волны де-Бройля, т.е. стоячие волны, у которых частота и длина волны связаны упомянутым уравнением (рис.24).

Рис.24. Волны де-Бройля в одномерном ящике длины L. Энергии таких состояний растут как квадраты натуральных чисел n, в то время как частоты, а значит и энергии механических колебаний струны, растут пропорционально номеру гармоники n: =(С₁₁/)^1/2k=(С₁₁/)^1/2(2/) =(С₁₁/)^1/2(2/2L)n.

Такие стоячие волны де-Бройля имеют такую же последовательность конфигураций, что и моды идеальной струны, поскольку на границе (и вне) интервала L вероятность нахождения частицы равна нулю. В то же время частоты не являются гармониками частоты самой низкой моды, как это имеет место для идеальной струны:

Таким образом, частота волн де-Бройля пропорциональна не номеру гармоники, как это имеет место для идеальной струны, а квадрату номера гармоники (квадрату квантового числа).