Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Решите систему линейных уравнений

x		− 2x	+ 3x	− 4x	= 4,
	1	2	3	4
x2 − x3 + x4 = −3,
x		+ 3x	−3x	=1,
	1	2	4
−7x + 3x + x = −3.
		2	3	4

РЕШЕНИЕ:

Воспользуемся методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы:

	1	−2	3	−4				4
	1	−2	3	−4				4
	0	1	−1	1
	0	1	−1	1				−3				→		α		3	−α			→α		3	}	→
												→		α			−α			→α				→
	1	3	0	−3				1						{					1
	1	3	0	−3				1
	0	−7	3	1				−3
	0	−7	3	1				−3
		1	−2	3		−4						4
		1	−2	3		−4						4
		0 1		−1 1							−3					α			− 5α			→α				,		→
→														→				3			2				3			→
		0 5 −3					1									α4 + 7α2 →α4
		0 5 −3					1				−3					α4 + 7α2 →α4
40		0	−7	3		1					−3
40		0	−7	3		1					−3
		1	−2	3		−4						4
		1	−2	3		−4						4
		0 1 −1 1									−3																}→
→		0 1 −1 1									−3			→{α					4	+ 2α		3	→α			4	}→
		0	0	2		−4						12							4			3				4
		0	0	2		−4						12
		0	0	−4		8					−24
		0	0	−4		8					−24
		1	−2	3		−4					4
		1	−2	3		−4					4
		0 1		−1 1							−3					α		3
→														→				3	→α		3		→
→														→					→α				→
		0 0 2 −4							12							2
		0 0 2 −4							12							2
		0	0	0		0					0
		0	0	0		0					0
		1	−2	3		−4					4
		1	−2	3		−4					4
		0 1 −1 1
→		0 1 −1 1								−3 .
		0	0	1		−2					6


В левом верхнем углу стоит треугольный опреде-
литель третьего порядка
					1			−2					3		=1 ≠ 0 ,
					1			−2					3
					0	1							−1
					0	0							1

	0		−8
	1		3
	1		3
X = c	2	+	6
	2		6
	1		0
	1		0

	значит, ранг основной матрицы системы равен 3,
	равен рангу ее расширенной матрицы, и система
	совместна.
			Чтобы получить ее решение, получим нули под
	главной диагональю базисного минора с помощью
	преобразования α2 +α3 →α2 :
		1		−2	3	−4			4
		1		−2	3	−4			4
		0 1 0 −1						3				→{α +					2α				2		→α }→
																1					2						1
		0		0	1	−2			6


				1	0	3	−6					10
				1	0	3	−6					10
	→			0 1 0 −1						3				→		{α		−		3α				3	→α }→
																1								3			1
				0	0	1	−2						6


				1	0	0	0					−8
				1	0	0	0					−8
	→			0	1	0	−1						3
	→			0	1	0	−1						3	.
				0 0 1 −2									6


			Восстановим по матрице решение системы
	уравнений при x4								= c :
	x1 = −8,																0						−8
				= 3 + c,
	x2			= 3 + c,													1								3
				= 6 + 2c,									X = c				2			+					6
	x3			= 6 + 2c,													2								6		.
				= c,													1								0
	x4			= c,
	Решите систему линейных уравнений
						2x + x							2	− x	3	+ x		4		=			1,
							1						2		3			4
						3x1 − 2x2 + 2x3 −3x4 = 2,

						5x1 + x2 − x3 + 2x4 = −1,
						2x − x							2	+ x	3	−3x			4			= 4.
							1						2		3				4
41	РЕШЕНИЕ:																												несовместна
			Запишем расширенную матрицу системы урав-
	нений					−1
				2	1		1						1
				2	1		1						1
				3 −2 2 −3							2					α		−α					−α				→ α	,
														→		3						1				2	3	→
				5 1 −1 2												α4		−α1 → α4
				5 1 −1 2								−1				α4		−α1 → α4
				2	−1	1	−3						4
				2	−1	1	−3						4

	2	1	−1	1		1
	2	1	−1	1		1
	3	−2	2	−3		2
→	3	−2	2	−3		2		{	4	+α		3	→α		4	}	→
→	0	2	−2	4		−4		→ α		+α			→α				→
	0	−2	2	−4		3


	2	1	−3	1	1
	2	1	−3	1	1
	3	−2 2		−3	2
→	3	−2 2		−3	2		.
	0	2	−2	4		−4
	0	2	−2	4		−4
	0	0	0	0		−1
	0	0	0	0		−1
Система		несовместна,					так как				ранг			основной

матрицы системы не равен рангу расширенной матрицы. Убедимся, что ранг основной матрицы меньше ранга расширенной матрицы. Чтобы не работать с дробями, проделаем вспомогательное

преобразование α2 +α1 →α2 , α3 : 2 →α3 :
	2	1	1	1	1
	2	1	1	1	1
	1	−3	3	−4	1
	1	−3	3	−4	1	→	α	1	↔ α	2}	→
	0	1	−1	2	−2		{	1		2}
	0	0	0	0	−1

	1	−3	3	−4	1

	2	1	1	1	1
→						.
	0	1	−1	2	−2

	0	0	0	0	−1

		Таким образом, элемент a11 = 1, что удобно для
вычислений.
		С		помощью				преобразования											α2 −2α1 →α2
получим
	1		−3	3	−4		1
	1		−3	3	−4		1
	0 7			−7 9			−1		α		↔α				,
								→		2				3				→
	0 1			−1 2			−2		α4 (−1) →α4
	0 1			−1 2			−2		α4 (−1) →α4
	0		0	0	0		−1
			1	−3	3	−4		1
			1	−3	3	−4		1
			0	1	−1	2		−2
→			0	1	−1	2		−2	→		α		−7α				→α		3}	→
→									→		α		−7α				→α			→
			0	7	−7	9		−1		{		3				2
			0	7	−7	9		−1
			0	0	0	0		1
			1	−3	3	−4		1
			1	−3	3	−4		1

→		0		1	−1	2		−2
			0	0	0	−5		13
			0	0	0	−5		13
			0	0	0	0		1

Ранг основной матрицы равен 3, так как она содержит минор третьего порядка

1 −3 −4

0 1 2 = −5 ≠ 0

0 0 −5

и не содержит отличных от нуля определителей большего порядка.

Ранг расширенной матрицы равен 4, так как она содержит минор

1	−3	−4	1
1	−3	−4	1
0	1	2	−2	= −5 ≠ 0
0	0	−5	13
0	0	0	1

четвертого порядка. Следовательно, по теореме Кронекера–Капелли система несовместна.

Решите систему уравнений

3x −2 y +5z = 0,

x +2 y −3z = 0

и ответьте на вопросы об этой системе. РЕШЕНИЕ:

Ранг основной матрицы системы равен двум и

совпадает с рангом расширенной матрицы систе-

мы, следовательно, по теореме Кронекера–

Капелли система линейных уравнений совместна.

−

качестве базисных

неизвестных

выберем

x, у,

считаем свободным.

Система,

равно-

42 сильная исходной, имеет вид:

X = c

3x −2 y = −5z,

+ 2 y = 3z

−5с − 2

−5 −1

2с

При

z = c ,

x =

∆x

3с

= −

∆

− 2

∆y

−5с

−5

y =

1 3с

1 3

7с

− 2

∆

−

X =

= c

Данная система линейных уравнений:

1)однородна - да;

2)неоднородна - нет;

3)основная матрица системы имеет ранг, равный единице, - нет;

4)основная матрица системы имеет ранг, равный двум, - да;

5)основная матрица системы имеет ранг, равный трем, - нет;

6)основная матрица системы имеет ранг больше трех - нет;

7)ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы - нет;

8)ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы - да;

9)система несовместна - нет;

10)система совместна - да;

11)может быть решена методом Крамера - нет;

12)может быть решена методом Гаусса - да;

13)имеет базисный минор первого порядка - нет;

14)имеет базисный минор второго порядка - да;

15)имеет базисный минор третьего порядка - нет;

16)имеет базисный минор более третьего порядка - нет;

17)имеет одно базисное неизвестное - нет;

18)имеет два базисных неизвестных - да;

19)имеет более двух базисных неизвестных - нет;

20)не имеет свободных неизвестных - нет;

21)имеет одно свободное неизвестное - да;

22)имеет более двух свободных неизвестных -

нет;

23)решений не имеет - нет;

24)имеет единственное решение - нет;

25)имеет бесконечно много решений - да.

								x1 −4x2 + 2x3 = 0,
	Решите систему 2x1 −3x2 − x3 −5x4 = 0,
									−7x2 + x3						−5x4 = 0.
	РЕШЕНИЕ:							3x1	−7x2 + x3						−5x4 = 0.
	РЕШЕНИЕ:
	Рассмотрим матрицу системы:
	1 −4 2 0									α2 −2α1						1 −4 2 0
			2 −3			−1 −5				α2 −2α1							0 5		−5	−5
	Α =		2 −3			−1 −5			~			−3α1					0 5		−5	−5	~
			3 −7 1 −5							α3		−3α1					0 5		−5	−5
			3 −7 1 −5														0 5		−5	−5
				1 −4 2 0													1 0 −2 −4
	~ (α3 −α2 )				0 1 −1 −1 ~ (α1 + 4α2 )													0 1 −1 −1 .						2								4

					0 0 0 0													0 0 0 0
43	Следовательно,							r (A)= 2 . Выберем x1											и x2	в каче-		X = c1				1		+c2					1
	стве базисных неизвестных и запишем преобразо-																									1							0
	стве базисных неизвестных и запишем преобразо-																									0							1
	ванную систему:																									0							1
								x	= 2x				+ 4x				,
								1	3						4
								x2 = x3 + x4 .
	Полагая x3 = c1 ,							x4 = c2 , где c1 и c2 − произвольные
	числа, получаем общее решение однородной сис-
	темы в виде:
	2				4
		1				1
	X = c1	1		+c2		1	.
		1				0
		0				1
		0				1
	Найти фундаментальную систему решений и об-
	щее решение однородной системы уравнений:
					3x1 + x2 −8x3 +2x4										+ x5 = 0,							X = c X							1	+
				2x1 −2x2 −3x3 −7x4											+ 2x5 = 0,										1				1
				2x1 −2x2 −3x3 −7x4											+ 2x5 = 0,							+c	2	X	2		+ c X					3	,
				x		+	11x −12x +34x +5x = 0,																2		2					3		3
				x		+	11x −12x +34x +5x = 0,																			19 /8
				1				2	3						4			5
					x	−5x +			2x −			16x			+		3x	= 0.										7 /8
					1			2	3				4				5														,
	Матрица коэффициентов																					X1 =							1		,
	Матрица коэффициентов																					X1 =							1
44							3 1 −8								2			1											0
44							3 1 −8								2			1											0
								2 −2 −3							−7 2														0
				A =				2 −2 −3							−7 2										3 / 8
				A =				1 11 −12 34 −5																			−25 / 8
																											−25 / 8
								1 −5 2 −16 3														X 2		=						0	,
	имеет ранг r = 2 (проверьте!). Выберем в качестве																													1
	имеет ранг r = 2 (проверьте!). Выберем в качестве																													1
	базисного минор																													0
								M2	=		3		1	≠ 0 .


											2		−2

Тогда укороченная система имеет вид

3x1 + x2 =8x3 −2x4 − x5 ,

2x1 −2x2 =3x3 +7x4 −2x5 ,

откуда, полагая x3 = c1 ,				x4 = c2 , x5 = c3 , находим
x	= 19 c			+ 3 c		−	1 c			,
1		8	1	8	2		2	3
x =		7 c − 25 c +					1 c .
2		8	1	8	2		2		3
Общее решение системы
				19 c + 3 c						−	1 c
				8	1	8		2			2	3
				7 c		25 c					1 c
X (c ,c ,c		)		7 c	−	25 c				+	1 c
X (c ,c ,c		)	=	8 1		8		2			2 3
1 2	3					c1
						c1
						c2
						c3
						c3

Из общего решения находим фундаментальную систему решений

	19 / 8								3/ 8
		7 / 8							−25 / 8
		7 / 8							−25 / 8
X1	= X (1,0,0)=	1		,	X 2	=	X (0,1,0)=		0	,
		0							1
		0							1
		0							0
		0							0
							−1/ 2
							1/ 2
	X3 = X (		0,0,1)				1/ 2
	X3 = X (		0,0,1)			=	0	.
							0
							0
							1
							1

С использованием фундаментальной системы общее решение может быть записано в виде:

X (c1 ,c2 ,c3 )= c1 X1 +c2 X2 +c3 X3 .

−1/ 21/ 2 .

X3	=	0
		0
		0
		1
		1

4. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ

Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 1: Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определители и матрицы системы линейных уравнений. Линейная алгебра. Основы общей алгебры / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, И. Б. Кожухов и др. / Под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб.

и доп. - М.: Физматлит, 2003. - 288 с.: ил.; 21 см. - ISBN 5-940520-34-0.

ДЗ № 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

№	№ по	Задание	Ответ
п/п	Еф.	Задание	Ответ
п/п	Еф.

		Вычислить определитель	a +b	a −b	.
			a +b	a −b
1	2.2		a −b	a +b		4ab

		Вычислить определитель	2sinϕcosϕ		2sin2 ϕ −1	.
2	2.6		2cos2	ϕ −1	2sinϕcosϕ
						1

		Вычислить определитель
			α2 +1	αβ	αγ
			α2 +1	αβ	αγ
3	2.15		αβ	β2 +1	βγ	.	a2 + β2 +γ 2 +1
			αγ	βγ	γ 2 +1

	Вычислить определи-
		sinα	cosα	1
		sinα	cosα	1
4	2.16 тель	sin β	cos β	1	sin (α − β)+ sin (β −γ )+ sin (γ −α)
		sin γ	cosγ	1
	.

Используя свойства определителей 3-го порядка, доказать тождество:

2.25

a1 +b1x a1x +b1

=(1− x2 )

a2 +b2 x a2 x +b2

a3 +b3 x a3 x +b3

		Используя свойства определителей 3-го порядка,
			x + y			z	1
			x + y			z	1
6	2.27	вычислить определитель	y + z			x	1		.							0
			z + x			y	1

		Используя свойства определителей 3-го порядка,
					(a +1)2					a2 +1 a
					(a +1)2					a2 +1 a
7	2.28	вычислить определитель			(b +1)2					b2 +1 b				.		0
7	2.28				(c +1)2					c2 +1 c						0
					(c +1)2					c2 +1 c

						1	1			1
						1	1			1
		Проверить, что определитель				x		y		z	делится на
8	2.31					x2		y2		z2
		x − y , y − z и x − z .

								2		−1	1		0
								2		−1	1		0
9	2.55	Вычислить определитель						0		1	2		−1		.		0
9	2.55							3		−1	2		3				0
								3		1	6		1

						0	−a			−b	−d
						0	−a			−b	−d
10	2.59	Вычислить определитель				a 0				−c	−e		.			(be −cd )2
10	2.59	Вычислить определитель				b	c			0	0		.
						b	c			0	0
						d	e			0	0

				1		2	3			...	n
				1		2	3			...	n
				−1		0	3			...	n
11	2.67	Вычислить определитель		−1		−2	0			...	n	при-				n!
				.		.	. . .
				−1 −2 −3 ... 0
		ведением к треугольному виду.

												3		2	2	...		2
												3		2	2	...		2
												2 3 2 ... 2
		Вычислить определитель										2		2	3	...		2	приведе-
12	2.68											.		. . . .													2n +1
												2 2 2 ... 3
		нием к треугольному виду.

													0	0	1	−1			−1									5
													1 1 2			−1			−1	4								5
		Вычислить произведение											1 1 2				2	2		4								15
13	2.85	Вычислить произведение											2	2	3		2	2				.						15
13	2.85												2	2	3		1	1		1								25
													3	3	4		1	1										25
													3	3	4													35
																												35

		Вычислить					1	a n		, если a R .																	1	na
14	2.87	Вычислить					0	1		, если a R .																	1	na
14	2.87						0	1																			0	1
																											0	1

		Найти значение многочлена												f (A)
		от матрицы А, если f (x)=3x2 −4 ,																				8		15
15	2.90		2	1																		8		15
15	2.90		2	1																		0		23
		A =	0	3	.																	0		23
			0	3

		Вычислить AB − BA, если
		1		1		1				7	5		3								0			0		0
																					0			0		0

16	2.95	A = 0		1		1		, B = 0			7		5	.							0			0		0
16	2.95	A = 0		1		1		, B = 0			7		5	.							0			0		0
		0 0 1								0 0 7											0			0		0
																					0			0		0

		Найти все матрицы 2-го порядка,
		квадраты которых равны нулевой																a		b
17	2.99							0	0									a		b			, a		2	+bc = 0
17	2.99	матрице O =						0	0	.													, a			+bc = 0
								0	0									c		−a

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 116 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR

#
29.05.20151.95 Mб18Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy.pdf
#
29.05.20154.52 Mб26Chast_2_Vekt_i_anal_2010_07_29.pdf
#
29.05.20154.89 Mб19Chast_3__Mat_an_2010_23_09.pdf
#
29.05.20151.09 Mб37Chast_5_DifUr.pdf
#
29.05.2015934.06 Кб26Chast_6_FNP.pdf
#
29.05.2015608.76 Кб16Модуль 2_4 Формулы пр.pdf