Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_5_DifUr
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н.Ельцина
МАТЕМАТИКА
Часть 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Курс высшей математики для бакалавров
Научный редактор - доц., канд. физ.-мат. наук Л.П. Мохрачева
Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов строительных специальностей направления 6533500 «Строительство» всех форм обучения
Екатеринбург
УрФУ
2011
УДК 512.643(075.8) ББК 22.143я 73
М 33
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета; д-р физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН
Авторы:
М.А. Вигура, О.А. Кеда, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, Л.П. Мохрачева, Н.М. Семенова М 33 МАТЕМАТИКА. Часть 5. Дифференциальные уравнения: учебно-
методическое пособие/ М.А. Вигура, О.А. Кеда, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко, Л.П. Мохрачева, Н.М. Семенова. Екатеринбург: УрФУ, 2011. 115 с.
ISBN 978-5-321-01846-0
Данное пособие представляет собой пятую часть курса высшей математики и предназначено для бакалавров, программа обучения которых предусматривает равные количества аудиторных часов и часов для самостоятельной работы студентов.
В пособии излагаются основные положения теории дифференциальных уравнений.
Пособие включает теоретические сведения, примеры решения задач, текст домашнего задания, пример оформления и задания индивидуальной расчетной работы, образец контрольной работы и справочный материал по теме.
Библиогр.: 11 назв.
Подготовлено кафедрой высшей математики.
УДК 512.643(075.8) ББК 22.143я 73
ISBN 978-5-321-01846-0 |
© УРФУ, 2010 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ |
|
УРАВНЕНИЙ (ДУ) ............................................................................................... |
5 |
1. Основные понятия................................................................................................... |
5 |
2. Дифференциальные уравнения первого порядка................................................. |
6 |
2.1. ДУ с разделяющимися переменными......................................................... |
6 |
2.2. Однородные ДУ первого порядка............................................................... |
7 |
2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка........................................ |
8 |
2.4. Линейные ДУ первого порядка................................................................. |
10 |
2.5. Уравнение Бернулли .................................................................................. |
12 |
2.6. Уравнение в полных дифференциалах..................................................... |
13 |
2.7. Решения ДУ первого порядка .................................................................. |
15 |
2.8. Особые решения ДУ первого порядка ..................................................... |
16 |
3. ДУ высших порядков y( n ) = f (x, y, y′,..., y( n−1 ) ). .......................................... |
17 |
4. ДУ второго порядка .............................................................................................. |
18 |
4.1. Некоторые типы ДУ второго порядка, |
|
приводимые к ДУ первого порядка......................................................... |
18 |
4.1.1. ДУ y′′= f (x)................................................................................... |
18 |
4.1.2. ДУ вида y′′ = f (x, y′)..................................................................... |
18 |
4.1.3. ДУ y′′ = f (y, y′)............................................................................. |
19 |
4.1.4. Решения ДУ второго порядка, |
|
допускающих понижение порядка ................................................ |
20 |
5. ДУ n - го порядка, допускающие понижение порядка..................................... |
20 |
5.1. ДУ вида y(n) = f (x) ......................................................................... |
20 |
5.2. ДУ вида F (y, y ', y ",..., y(n) )= 0 ......................................................... |
21 |
5.3. ДУ вида F (x, y(k ) ,..., y(n) )= 0 ............................................................ |
22 |
5.4. ДУ вида dxd G (x, y, y ',..., y(n−1) (x))= 0 ............................................. |
23 |
6. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего |
|
порядка.................................................................................................................. |
23 |
6.1. Определения и общие свойства ................................................................ |
23 |
6.2. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами .... |
26 |
6.3. Решения ОЛДУ второго порядка.............................................................. |
28 |
6.4. ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами........................... |
29 |
6.5. ОЛДУ n-го порядка .................................................................................... |
30 |
3
6.6. НЛДУ второго порядка.............................................................................. |
31 |
6.7. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации произвольных |
|
постоянных................................................................................................. |
31 |
6.8. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами |
|
методом неопределенных коэффициентов ............................................. |
32 |
6.9. Решение НЛДУ y′′+ py′+ qy = f (x) .................................................... |
36 |
6.10. НЛДУ высших порядков.......................................................................... |
37 |
6.10.1. Метод вариации произвольных постоянных.............................. |
38 |
6.10.2. Метод неопределенных коэффициентов..................................... |
39 |
6.10.3. Решение НЛДУ n-го порядка........................................................ |
41 |
7. Системы дифференциальных уравнений............................................................ |
42 |
7.1. Основные понятия...................................................................................... |
42 |
7.2. Метод исключения неизвестных............................................................... |
44 |
7.3. Линейные системы ДУ............................................................................... |
45 |
7.4. Однородные системы линейных ДУ с постоянными |
|
коэффициентами........................................................................................ |
45 |
7.4.1. Метод исключения неизвестных.................................................... |
45 |
7.4.2. Решение методами линейной алгебры .......................................... |
47 |
7.4.3. Метод интегрируемых комбинаций............................................... |
52 |
7.5. Неоднородные системы линейных ДУ с постоянными |
|
коэффициентами........................................................................................ |
54 |
II. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ............................................................................. |
56 |
III. ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ................................................................................... |
82 |
1. ДЗ № 1. Дифференциальные уравнения первого порядка........................ |
82 |
2. ДЗ № 2. Дифференциальные уравнения высших порядков...................... |
85 |
3. ДЗ № 3. ОЛДУ И НЛДУ с постоянными коэффициентами...................... |
86 |
4. ДЗ № 4. Системы дифференциальных уравнений..................................... |
90 |
IV. РАСЧЕТНАЯ РАБОТА №5................................................................................ |
92 |
1. Титульный лист ............................................................................................. |
92 |
2. Варианты заданий.......................................................................................... |
93 |
V. ОБРАЗЕЦ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ............................................................ |
108 |
VI. ФОРМУЛЫ........................................................................................................ |
109 |
VII. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК............................................................ |
114 |
4
I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ДУ)
Дифференциальные уравнения, содержащие неизвестную функцию, ее производные и известные функции независимого аргумента, начали исследоваться одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчислений. Важность таких уравнений обусловлена тем, что во многих случаях законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчет течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения.
1. Основные понятия
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение,
связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию y = f (x) и ее производные y′, y′′,...y( n ) .
Например, скорость тела v , движущегося под действием силы F , может быть найдена из второго закона Ньютона, т.е. из ДУ m dvdt = F , где m - масса тела,
t - время.
ДУ с одной независимой переменной называется обыкновенным.
Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Общий вид ДУ n-го порядка: F( x, y, y′, y′′,...y( n ) ) = 0 .
Например, 1. y′+ 2x y =sinx , 2. y′′′+ yy′= 0 . |
y = f ( x ) , |
|
|
||||||
|
|
|
Решением ДУ называется всякая функция |
которая, |
будучи |
||||
подставлена в ДУ, превращает его в тождество. |
|
|
|
||||||
|
|
|
График решения называется интегральной кривой. |
|
|
||||
ПРИМЕР |
|
|
|
|
|
|
|||
Найдите решение ДУ y′′= 0 . |
|
|
|
||||||
Решение. |
|
= c1 , y = ∫c1dx +c2 = c1 x + c2 . |
|
|
|
||||
y |
′′ |
|
′ ′ |
′ |
|
|
|
||
|
=( y ) = 0 → y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Общим решением ДУ F( x,y,y′,...,y( n ) ) = 0 |
называется множество всех |
|||||
его |
решений. |
Если это |
множество решений |
можно |
описать |
в виде |
|||
y = f ( x,c1 ,c2 ,...,cn ), где ci , |
i =1,2,...n - независимые произвольные постоянные, |
||||||||
то именно это выражение называют общим решением. При этом число независимых параметров в общем решении совпадает с порядком дифференциального уравнения.
5
Если общее решение задано в неявном виде Φ( x, y,c1 ,c2 ,...,cn ) = 0 , то оно
называется общим интегралом ДУ.
Всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных, называется частным решением этого ДУ.
ПРИМЕР
Найдите решение ДУ y′′+ y = 0 .
Решение.
Так как (sinx)′′= −sinx , (cosx)′′= −cosx , то функция вида y = c1sinx +c2cosx будет удовлетворять уравнению. Если c1 = 2 , c2 = 5 , то y1 = 2sinx +5cosx ; если c1 = 0 , c2 = −4 , то y2 = −4cosx .
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Рассмотрим |
ДУ |
вида F( x,y,y′) = 0 или |
|
y′ =ϕ( x,y ). |
Общим |
решением |
является |
y = f ( x,c ) . Геометрически решение представляет собой однопараметрическое семейство кривых. Значение y′ в точке M ( x,y ): y′= tg α .
Задача Коши для ДУ формулируется следующим образом: найти решение y = f ( x ) ДУ y′ =ϕ( x,y ), удовлетворяющее начальному условию: y0 = f ( x0 ).
Геометрически задача Коши заключается в нахождении частного решения ДУ, проходящего через заданную точку с координатами ( x0 ,y0 ) .
Если y = f ( x,c ) общее решение, то значение параметра c = c0 , отвечающего этому частному решению находится из уравнения y0 = f ( x0 ,c ) .
yС3 С2 С1
С
M ( x, y)
α
0 x
y
M (x0 , y0 ) y0
0 x0
x
x
Теорема Коши (теорема существования и единственности решения ДУ первого порядка, разрешенного относительно производной). Если функция ϕ( x,y ) непрерывна в некоторой области, содержащей точку ( x0 ,y0 ) , и имеет в этой
области ограниченную частную производную ϕ′y (x,y), то в некотором интервале x0 −h ≤ x ≤ x0 + h существует единственное решение y = f ( x ) уравнения y′ =ϕ( x,y ), удовлетворяющее условию f (x0 )= y0 .
2.1. ДУ с разделяющимися переменными
ДУ y′ =ϕ( x,y ) удобно записать в виде
dy |
= |
P( x,y ) |
или P( x, y )dx −Q( x, y )dy = 0 . |
|
dx |
Q( x,y ) |
|||
|
|
|||
|
|
|
6 |
ДУ X ( x )Y ( y )dx + X1( x )Y1( y )dy = 0 называется ДУ с разделяющимися
переменными. |
X ( x ) |
|
|
Y1( y ) |
|
|
Разделим уравнение на Y( y ) X1( x ) ≠ 0 , тогда |
dx |
+ |
dy = 0 . |
|||
|
|
|||||
|
X1( x ) |
|
Y( y ) |
|||
Обозначим входящие в это уравнение функции через |
P( x ) и Q( y ), тогда |
|||||
получим ДУ P( x )dx +Q( y )dy = 0 с разделенными переменными. Считая y
функцией x , перепишем уравнение в виде P( x )dx = −Q(y)dy , т.е. в виде
равенства дифференциалов двух функций одного аргумента. Известно, что если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу, т.е. общий интеграл этого ДУ имеет вид:
∫P( x )dx + ∫Q( y )dy = c .
Заметим, что при делении на Y (y) были потеряны решения Y (y)= 0 . Чтобы этого не происходило, решение необходимо начинать с анализа этих решений.
ПРИМЕР
Найдите решение ДУ y′ = xy .
Решение.
dydx = xy , xdy = ydx . Видно, что уравнение имеет решение y(x)≡ 0 . Далее, умножая уравнение на xy1 , последовательно получаем dyy = dxx , ∫dyy = ∫dxx ,
±y =| cx | |
y |
C = 2 |
|
|
|
|
|
C =1 |
|
0 |
x |
ln y = ln x +ln c , с ≠ 0 , где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме, значит, ln | y |= ln | cx |, | y |=| cx |, x ≠ 0 , т.е. y = cx , причём ограничение с ≠ 0 снято для того, чтобы учесть решение y(x)= 0 .
2.2. Однородные ДУ первого порядка
Функция F( x, y ) называется однородной функцией n-го порядка, если для любого числа k имеет место тождество F( kx,ky ) ≡ kn F( x, y ) .
Например, если |
F( x,y ) = 3 x3 + y3 , то |
F( kx,ky ) = 3 ( kx )3 +( ky )3 |
= k 3 |
x3 + y3 , |
|
значит, F( x, y ) |
является однородной |
функцией первого порядка. Функция |
|||
F( x, y ) = ex−y |
не является однородной. |
|
|
|
|
ДУ y′ = |
f ( x, y ) называется однородным относительно х и у, |
если |
f ( x, y ) |
||
есть однородная функция нулевого порядка, т.е. f ( kx,ky ) = f ( x, y ).
7
|
Решим однородное уравнение |
dy |
|
= f ( x,y ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Преобразуем функцию f (x, y) к виду |
f (x, y) = f 1, |
|
|
, считая k = |
. Решаем |
|||||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ДУ |
dy |
= f 1, |
y |
. Сделаем подстановку |
u = |
y |
, тогда |
|
y = u x , |
dy |
= u + |
du |
x |
и |
||||||
dx |
|
|
|
dx |
dx |
|||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
уравнение примет вид: u + x dudx = f (1,u ) - ДУ с разделяющимися переменными.
x |
du |
= f (1,u ) −u , |
du |
= |
dx |
, ∫ |
du |
= ∫ |
dx |
+ c . |
|
dx |
f (1,u ) −u |
x |
f (1,u ) −u |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Заметим, что ещё необходимо учесть потерянные решения, которые находятся их уравнения f (1,u ) −u = 0 .
ПРИМЕР |
y |
|
y |
|
|
Найдите решение ДУ y′= |
ln |
+1 . |
|||
x |
x |
||||
|
|
|
Решение.
Это ДУ является однородным, т.к. правая часть есть функция только отноше-
ния xy . Отметим, что xy > 0 .
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Положим |
x =u , |
y =ux , тогда |
|
y |
и |
уравнение принимает вид: |
||||||||||||||||||||
|
|
=u x +u |
||||||||||||||||||||||||
′ |
=u (lnu +1) |
|
′ |
|
du |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= ln |
|
x |
|
+ ln |
|
c |
|
, с ≠ 0 , lnu = cx , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u x +u |
, u x =ulnu, |
|
ulnu = |
x , ln |
|
lnu |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда |
u = ecx , значит, y = xecx . |
Если в полученном выражении считать с |
||||||||||||||||||||||||
произвольным, то при с = 0 оно включает и решение u =1, т.е. y = x . |
||||||||||||||||||||||||||
2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ДУ вида y′= |
f |
a1x +b1 y |
|
, где a1b2 −a2b1 ≠ 0 , называется обобщен- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 x +b2 y + c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ным однородным ДУ первого порядка и решается путем сведения к однородному ДУ преобразованием параллельного переноса координат с помощью замены переменных
x = X +α, |
a α +b β +c = 0, |
||
|
при условии, что 1 |
1 |
1 |
y =Y + β, |
a2α +b2β +c2 = 0. |
||
При условии a1b2 −a2b1 ≠ 0 система уравнений для нахождения α, β имеет единственное решение.
8
Проиллюстрируем решение обобщенных однородных ДУ первого порядка на примере. Найдем общий интеграл дифференциального уравнения
y′ = |
y + 2 |
|
|
. |
|
2x + y −4 |
||
Сведение к однородному уравнению достигается преобразованием параллельного переноса системы координат, x = X +α , y =Y + β .
При этом |
dy |
= |
d(Y + β ) |
= |
dY |
, и в новых переменных уравнение принимает |
||||||
dx |
d( X +α ) |
dX |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вид: |
|
|
|
|
dY |
|
|
Y +( β + 2 ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 X +Y +( 2α + β − 4 ) |
|||||
|
|
|
|
|
dX |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β + 2 = 0, |
|
|
|
Выбирая постоянные α и β из условия |
= 0, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α + β −4 |
|||
получаем α = 3, β = −2 , т.е. искомое преобразование переменных имеет вид:
|
|
|
x = X +3 , y = Y −2 , |
|
|
||||||||||||
а уравнение упрощается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dY = |
|
|
|
Y |
|
. |
|
|
|
|
|
(1) |
||||
2X +Y |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dX |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Поделив числитель и знаменатель в правой части на Х (при |
X ≠ 0 ), получаем |
||||||||||||||||
однородное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dY |
|
= |
|
|
Y X |
|
|
при X ≠ |
0 . |
(2) |
|||
|
|
|
|
dX |
|
2 +Y X |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Используя подстановку Y X = u( x ), получаем |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
X |
|
du |
= |
−u2 |
−u |
. |
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
dX |
2 +u |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Разделяя переменные, приходим к уравнению |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 +u |
du = − |
dX |
|
|
( u ≠ 0 , u ≠ −1, X ≠ 0 ). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
u2 +u |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрируя, находим общий интеграл в форме
∫ 2 +u du = ∫ u2 +u
Случай X
(1+u2u+)2u−u du 2ln | u | −ln |1+u | +ln | X |=C1 , ( u ≠ 0,u ≠ −1,X ≠ 0 ).
= 0 следует проверить подстановкой в уравнение (1), а случаи
9
u = 0 и u = −1 - подстановкой в уравнение (3), поскольку возможна потеря решений. Находим, что X = 0 не является, а u = 0 и u = −1 являются решениями уравнения (1).
Таким образом, уравнение (3) имеет следующие решения: |
|
2ln |u | −ln |1+u | +ln | X |=C1 (общий интеграл), |
(4а) |
u = 0 , |
(4б) |
u = −1 (частные решения). |
(4в) |
Возвращаясь к старым переменным, получаем
2ln |
|
y + 2 |
|
−ln |
|
1 + |
y + 2 |
|
|
+ln | x −3 |
|=C |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
x −3 |
|
|
|
|
x −3 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y + 2 = 0 ,
y + 2 = −1. x −3
После упрощения общий интеграл (5а) принимает вид:
2ln | y + 2| −ln | x + y −1|=C .
Ответ: общий интеграл имеет вид: 2ln | y + 2| −ln | x + y −1|=C . Замечание: общий интеграл (6) можно представить также в форме
ln |
( y + 2 )2 |
=C |
или |
( y + 2 )2 |
|
= C |
2 |
. |
|
|
|||||||
|
x + y −1 |
1 |
|
x + y −1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда частное решение (5б) получается при C2 = 0 .
2.4. Линейные ДУ первого порядка
(5а)
(5б)
(5в)
(6)
Линейным ДУ первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y и ее производной y′: y′+ P( x )y = Q( x ).
Далее мы, как правило, будем рассматривать уравнения, в которых P(х) и Q(х) непрерывные функции.
Ищем решение в виде произведения двух функций y = u( x ) υ( x ), одна из которых считается произвольной (υ ), а другая находится из уравнения.
10