Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

det A = A = ∑aik Aik = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ...ain Ain .

k =1

Для определителя 3-го порядка это разложение имеет вид

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 =ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +ai3Ai3, i =1, 2, 3.

a31 a32 a33

При разложении по элементам первой строки для определителя 3 –го порядка имеем

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

a21

a22

a23

= a11

−a12

+a13

a31

a32

a33

ПРИМЕР:

Вычислим определитель 3-го порядка разложением по элементам первой

	2	0	5	= 2	3	16	−0	1	16	+5	1	3	= 2(30 +16)+5(−1)= 92 −5 =87.
	2	0	5
строки:	1	3	16
	0	−1	10		−1	10		0	10		0	−1
	0	−1	10

В качестве следствия из приведённой выше теоремы получаем следующее свойство:

Свойство 10. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

1.2.3. Методы вычисления определителей произвольного порядка

Методы вычисления определителей n-го порядка основаны на рассмотренных выше свойствах определителей, справедливых для определителей любого порядка: определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов

любой его строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Тем самым определитель n-го порядка мы выражаем через определители (n-1)-го порядка, определители (n-1)-го порядка, – через определители (n-2)-го порядка, и т.д., пока не дойдем до определителей 3-го или 2-го порядка, правила вычисления для которых заданы.

1. Метод разложения по строке или столбцу (метод понижения порядка):

det A = A = ∑aik Aik = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ...ain Ain .

k =1

ПРИМЕР:			2	−1	0	1
			2	−1	0	1
Вычислим определитель 4-го порядка	A	=	0	1	−1	2	методом понижения
Вычислим определитель 4-го порядка	A	=	0	1	−1	2	методом понижения
			3	−1	3	2
			3	−1	3	2
			3	1	1	6

порядка.
				2	−1				0		1						1					−1			2												0			−1	2


				0 1 −1 2										1+1																		1+2
	A	=																−1 3 2																			3 3 2					+

				3 −1 3 2									= 2 (−1)														+(−1)	(		−1)
				3 −1 3 2									= 2 (−1)				1						1		6		+(−1)	(		−1)							3		1		6
				3	1			1			6						1						1		6												3		1		6
				3	1			1			6						0				1				2	+1 (−1)1+4							0			1				−1
												+ 0 (−1)1+3

																3 −1 2																	3 −1 3								=
																	3				1				6								3			1			1
						1+1				3 2						1+2						−1 2						1+3						−1 3
						1+1				3 2						1+2						−1 2						1+3						−1 3
= 2 1 (−1)										1	6			+(−1) (−1)								1			6		+2 (−1)								1	1				+
										1	6											1			6										1	1
							3 2							1+2						3 2							1+3		3 3
			1+1
			1+1
+ 0 (−1)							1 6				+(−1) (−1)									3 6				+2			(−1)		3 1						−
					1+1			−1			3			1+	2				3		3						1+3				3				−1
								−1			3								3		3										3				−1
− 0																							+															=
− 0			(−1)						1		1			+1 (−1)					3		1		+		(−1) (−1)						3				1			=
									1		1								3		1										3				1

= 2 (16 −8 −8)+12 −12 −(−6 +6)= 0.

Вычисления можно упростить, преобразовав определитель так, чтобы в строке или столбце было как можно больше нулевых элементов. Приведем определи-

тель к виду, в котором a11 =1 , а остальные элементы первого столбца равны нулю. Для этого переставим первый и четвертый столбцы, при этом определитель изменит знак. Обозначим строки определителя через α1 ,α2 , α3 , α4 и обратим в нули элементы первого столбца во второй, третьей и четвертой строках с помощью следующих преобразований строк:α2 − 2α1 , α3 − 2α1 , α4 − 6α1 .

		2	−1	0	1		1	−1	0	2		3	−1	−4


		0	1	−1	2		0	3	−1 −4
A	=					= −					= −	1	3	−1	.

		3	−1	3	2		0	1	3	−1		7	1	−9

		3	1	1	6		0	7	1	−9

В полученном определителе третьего порядка переставим первую и вторую строки (определитель сменит знак) и вычтем из новых второй и третьей строки

первую, умноженную, соответственно, на 3 и 7:

A		3	−1 −4		= (α		α	)=	1	3	−1		α		− 3α	=

	= −	1	3	−1					3	−1	−4	=		2	1
		7	1	−9		2	1		7	1	−9		α		− 7α

														3	1

=	1	3	−1		10	−1	= 0.


	0	−10	−1	=
	0	−20	−2		20	−2
	0	−20	−2

2. Метод приведения к треугольному виду

Используя свойства, добьемся такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Тогда определитель будет численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

			a11	a12	...	a1n				n
			0	a22	...	a2n				n
	A	→					,	A	= ∏aii =a11				a22 ... ann		.
	A	→					,	A	= ∏aii =a11				a22 ... ann
			...	...	...	...				i=1
			0	0	...	ann
ПРИМЕР:											1	0	2	1	3


											4	−1	3	2	5
Вычислим определитель 5-го порядка									A	=	−3	2	−4	5	−7	методом
Вычислим определитель 5-го порядка									A	=	−3	2	−4	5	−7	методом
											2	3	19	5	8
											5	−3	−5	−1	4

приведения к треугольному виду.

Решение:

		1	0	2	1
		4	−1	3	2
Α	=	−3	2	−4	5
Α	=	−3	2	−4	5
		2	3	19	5
		5	−3	−5	−1

	1	0	2	1	3	(α1 )
	1	0	2	1	3	(α1 )
	0	−1 −5 −2 −7				(α2 )
=	0 2		2	8	2	(α3 )= (α5
	0	3	15	3	2	(α4 )
	0	−3 −15 −6 −11				(α5 )

3	(α1 )					α		− 4α
3	(α1 )
5	(α2 )						2		1
5	(α2 )						2		1
−7	(α	3	)	=		α3 + 3α1				=
		3				α4 − 2α1
8	(α4 )					α4 − 2α1
4	(α5 )					α5 − 5α1
4	(α5 )											(α1 )
				1		0		2		1	3
				1		0		2		1	3
				0	−1 −5 −2 −7							(α2 )
+α4 )= 2				0 1				1		4	1	(α3 )=
				0		3		15		3	2	(α4 )
				0	0			0	−3 −9			(α5 )

						1	0	2	1	3	(α1 )		1	0	2	1	3


	α		+α			0	−1 −5 −2 −7				(α2 )		0	−1 −5 −2 −7
		3		2	= 2	0	0	−4	2	−6	(α3 ) = (α5	−α4 ) = 2	0	0	−4	2	−6	= −240.
=
	α4		+3α2			0	0	0	−3	−19	(α4 )		0	0	0	−3 −19
						0	0	0	−3	−9	(α5 )		0	0	0	0	10

1.3.Обратная матрица

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожден-

ной, если |A| ≠ 0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица A–1 называется обратной к квадратной матрице A, если

A A−1 = A−1 A = E .

Один из методов вычисления обратной матрицы A–1 – метод присоеди-

ненной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица AV , составленная из алгебраических дополнений Aij соответствующих элементов aij матрицы A, называется присоединенной к матрице A:

		Α11	Α12	Α1n
V		Α	Α	Α
V		21	22	2n
Α	=			.
		Α	Α	Α
		n1	n2	nn

Теорема. Если матрица A невырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица A–1 , равная Α−1 = ∆1 (ΑV )T , где ∆=|A|, (AV)T – транспони-

рованная присоединенная матрица. Доказательство теоремы проводится непо-

средственной проверкой того факта, что A A−1 = A−1 A = E .

Второй метод – метод элементарных преобразований строк.

Кэлементарным преобразованиям матрицы относятся:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;

3)прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Для нахождения обратной матрицы посредством элементарных преобразований строк применяется следующий алгоритм:

1)к квадратной матрице А приписываем справа единичную матрицу того же порядка, отделив от исходной матрицы чертой;

2)к полученной расширенной матрице применяем элементарные преобразования строк, добиваясь, чтобы матрица, стоящая слева от черты, стала единичной;

3) после таких преобразований справа от черты получим обратную матрицу.

																																																								2			1			0
ПРИМЕР: Найти матрицу, обратную к матрице A =																																																1	2			1
ПРИМЕР: Найти матрицу, обратную к матрице A =																																																1	2			1		.
																																																								0			1			2
	Решение:																																																							0			1			2
	Решение:
1) метод присоединенной матрицы:
	A					2					1			0			=8 + 0 + 0 − 0 − 2 − 2 = 4 , A																												=	A					=			2 1						= 3, A =								2 0			= 4 ,


			=			1 2 1
			=			1 2 1
																																									11						33							1				2						22					0	2
						0					1			2													1 2																	2 1										1				2											0	2
						0					1			2
	A = −							1 1								= −2 , A =																	=1, A					= −												= −2 ,
	A = −							1 1								= −2 , A =																	=1, A					= −												= −2 ,
12									0				2											13			0				1						23							0		1
									0				2														0				1													0		1
	A = −								1 0						= −2 , A =										1 0							=1, A						= −				2 0								= −2 .
	A = −								1 0						= −2 , A =										1 0							=1, A						= −				2 0								= −2 .
21									1				2											31		2					1					32						1				1
									1				2													2					1											1				1
							3						−2							1									T
	V						−2							4										V					T									V			– симметрическая матрица.
	A				=		−2							4						−2				= (A					)		, так как A										– симметрическая матрица.
							1						−2							3
							1						−2							3
																						3 −2 1													3	4			− 1					2			1			4
							1													1		3 −2 1														4								2						4
		−1					1						V			T				1
	Α				=						(Α			)				=					−2 4							−2		=			− 12						1					− 1					2 ;
							A													4

																							1 −2								3				1				− 1								3
																							1 −2								3
																																				4								2
																																				4								2						4
2) метод элементарных преобразований строк:
										2 1 0 1 0 0																														1					1	2				0 1					2			0 0
(A				E)=																															1											2									2								→(α2 −α1 )→
												1 2 1 0 1 0																							1		→			1 2 1 0 1 0
												1 2 1 0 1 0																	→ α1						2		→			1 2 1 0 1 0
												0 1 2 0 0 1																							2					0 1 2 0 0 1
												0 1 2 0 0 1																												0 1 2 0 0 1

				1			1				2			0 1						2				0 0															1						1	2					0				1		2				0 0
							3				2									2															2											2											2
→					0									1 −					1					1 0											2		→			0 1											2				− 1						2			0		→(α3 −α2 )→
→					0						2			1 −					1		2			1 0					→ α2						3		→			0 1											2	3			− 1			3			2	3		0		→(α3 −α2 )→
											2										2														3																	3						3				3
					0 1 2 0																			0 1																0 1											2 0										0 1
					0 1 2 0																			0 1																0 1											2 0										0 1

					1			1				2		0							1	2		0							0																1					1	2					0			1		2			0				0
												2										2																	3														2										2
→					0 1									2					− 1					2							0								3				→				0 1											2			−	1				2				0		→
→					0 1									2				3	− 1				3	2	3						0			→ α3					4				→				0 1											2	3		−	1		3		2	3			0		→
																		3					3		3														4																				3					3			3
					0 0									4							1			−2							1																0 0											1 1							− 1					3
					0 0									4				3			1	3		−2				3			1																0 0											1 1					4		− 1				2	3	4
																		3				3						3																																			4						2		4

							1	12	0	1	2		0		0
	α			2 α			1	12	0		2		0		0				α −		1 α
→	α	2	−	2 α	3	→ 0 1			0	− 1			1		− 1			→	α −		1 α	2	→
		2		3	3							2					2			1	2	2
				3								2	− 1				2				2
						0		0	1	1	4		− 1	2	3	4
											4			2		4

	1 0 0	3	4		− 1	2	1	4					3	4	−	1	2	1	4
	1 0 0		4			2		4						4			2		4
→	0 1 0	− 1			1		− 1			, Α	−1	=	− 12			1
→	0 1 0	− 1		2	1		− 1		2	, Α		=	− 12			1		− 12 .
				2					2				1			1		3
0 0 1		1			− 1		3						1	4	−	1	2	3	4
0 0 1		1	4		− 1	2	3	4						4	−		2		4
			4			2		4

Для обратной матрицы выполняются следующие равенства:

(αA)−1 = α1 A−1 ,

(AB)−1 = B−1 A−1,

(A−1 )T = (AT )−1 .

1.4.Матричные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Равенство, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, C,…, называется матричным уравнением относительно матрицы X, например, AXB = C .

При выполнении условий возможностей соответствующих преобразований умножим обе части уравнения слева на A–1 и справа на B–1:

A−1 A X B B−1 = A−1 C B−1 ,

т.к. A−1 A = E и B B−1 = E , то получаем решение:														X = A−1 C B−1 .
															1	2		3	5
ПРИМЕР: Решите матричное уравнение A·X = B, где Α =															3	4	;Β =	5	9	.
															3	4		5	9
Решение:
Вычислим	A	=	1		2		= −2 ≠ 0, значит, матрица A – невырожденная.


			3		4
			3		4
Построим матрицу A–1 , обратную матрице A:
					1		T		1	4 −3	T		1	4 −2
		Α−1		=			(ΑV )	= −				= −			.
						Α			2				2

										−2 1				−3 1

Записываем решение матричного уравнения:

Χ =		Α−1Β = −		1		4 −2 3			5	= −	1	4 3 +( −2 ) 5 4 5 +( −2 ) 9	=
								5	9			( −3 ) 3 +1 5 ( −3 ) 5 +1 9
				2							2
				2		−3 1					2
	1	2	2				−1 −1
= −	1				=		.
= −	2		−6		=		.
	2	−4	−6				2 3

1.5.Ранг матрицы

Пусть в матрице A размерности (m×n) выбраны k строк и k столбцов, причем k ≤ min (m,n). Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель Mk этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы A.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку r отличных от нуля миноров Mk этой матрицы: r = rang A=r(A).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисным минором матрицы A называется любой минор порядка r(A), отличный от нуля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы называются эквивалентными и обозначаются

A B, если r(A) = r(B).

Ранг матрицы A можно вычислить двумя способами. 1 . Метод окаймляющих миноров.

Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0 , тогда M1 ≠ 0 и r (A)≥1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки, получаем минор

2-го порядка, например, M 2 =	ai, j	ai, j +1	.
	ai+1, j	ai+1, j +1

Если M2 = 0 , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то r (A)=1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, от-

личный от нуля, то r (A)≥ 2 .

Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его эле-

ментами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr ≠ 0 , а все Mr +1 = 0 . Тогда ранг матрицы

будет равен r.

2 . Метод элементарных преобразований.

Напомним, что элементарные преобразования матрицы – это:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;

Теорема. Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Замечание: ранг матрицы также не изменится при:

1)транспонировании матрицы;

2)отбрасывании нулевой строки или нулевого столбца.

Вычисление ранга матрицы A с помощью элементарных преобразований (и отбрасывания нулевых строк(столбцов)) сводится к приведению матрицы к

форме, когда все элементы матрицы, кроме a11 , a22 ,…, arr , r ≤ min (n, m) рав-

ны нулю. Тогда ранг матрицы A равен числу отличных от нуля диагональных элементов.

−3

ПРИМЕР: Вычислите ранг матрицы

Α =

−1

методом элемен-

−1

тарных преобразований.

Решение:

2 3 5 −3

2 1 5 −3

3 4 3

−1

~ (β

−

β ) 3 1 3

−1 ~

5 6 −1 3

5 1 −1 3

β1

β2 β3

β4

1 2 5 −3 α

1 2 5 −3

~ (β

↔

) 1 3 3 −1 α1

α2 −α1

0 1 −2 2

−α

α3

0 3 −6 6

1 5 −1 3

1 2 5 −3

0 1

−2 2

0 1 −2 2

α2 ~ (α3 −α2 )

−2 2

0 1

−2 2

α3

0 0 0 0

0 1

β1

β2

β3 β4

−2β

β2

−5β1

1 0 0 0

β3 +

2β2 1 0 0 0

1 0

+3β

0 1 −2 2

β4 −

2β2

0 1 0 0

0 1

rang A = 2.

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений вида

a11x1 +a12 x2 +…+a1n xn = b1,
a21x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2 ,
…………………………………		(1)

a x +a x +…+a x = b .
m1 1 m2 2	mn n m

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решением системы линейных уравнений (1) называется такое множество чисел {x1, x2 ,..., xn }, при подстановке которых в каждое из урав-

нений системы получается верное равенство.

Система (1) может быть записана в матричном виде A X = B , где

a11	a12	...	a1n
a	a	...	a	- основная матрица системы,
A = 21	22		2n	- основная матрица системы,
	...	...	...
...	...	...	...
am1	am2	...	amn

		x1
X =		x
X =			2
			...	- матрица-столбец неизвестных,
			...
		xn
	b1
	b			- матрица-столбец свободных членов.
B =		2
B =
		...
	bm

Матрицы A и B объединяют в расширенную матрицу системы:

a11

(A B)= a...21

am1

a12			...	a1n		b1

a		22	...	a		b
					2n	2
...			... ...			...
a			...	a		b
	m2				mn
						m

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица B не является нуль−матрицей, B ≠ O , и называется одно-

родной, если B = O .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две системы называются эквивалентными, если их множества решений совпадают.

2.2.Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными методом Крамера

Рассмотрим систему вида

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn = b1 ,
a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn = b2 ,
……………………………… .				(2)

a x +a	x	+…+a x	= b .
n1 1	n2 2	nn n	n

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель матрицы A называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом ∆.

Теорема. Если главный определитель системы (2) не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

x	=	∆1	, x		=	∆2	, ... , x	n	=	∆n ,
1		∆		2		∆		n		∆

Здесь ∆i - определители, получаемые из главного определителя системы ∆ заменой i -го столбца на столбец свободных членов.

ПРИМЕР: Решите систему:

2x1 +3x2 + 2x3 = 9,

x1 + 2x2 −3x3 =14,3x1 + 4x2 + x3 =16.

По формулам Крамера:

	2	3	2			9	3	2
∆ =	1	2	−3	= −6 ≠ 0,	∆1 =	14	2	−3	= −12,
	3	4	1			16	4	1

	2	9	2			2	3	9
∆2 =	1	14	−3	= −18,	∆3 =	1	2	14	=12.
	3	16	1			3	4	16

<<< < Предыдущая 12 / 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR

#
29.05.20151.95 Mб18Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy.pdf
#
29.05.20154.52 Mб26Chast_2_Vekt_i_anal_2010_07_29.pdf
#
29.05.20154.89 Mб19Chast_3__Mat_an_2010_23_09.pdf
#
29.05.20151.09 Mб37Chast_5_DifUr.pdf
#
29.05.2015934.06 Кб26Chast_6_FNP.pdf
#
29.05.2015608.76 Кб16Модуль 2_4 Формулы пр.pdf