Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy

Если M2 = 0 , то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то r (A)=1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отлич-

ный от нуля, то r (A)≥ 2 .

Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элемен-

тами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr ≠ 0 , но все Mr+1 = 0 .

Метод элементарных преобразований

Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.

Кэлементарным преобразованиям матрицы относятся следующие:

транспонирование;

перестановка строк (столбцов);

умножение строки (столбца) на число α ≠ 0 ;

прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число;

отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.

Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:

1.Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.

2.Все элементы первого столбца, кроме a11 , обратить в ноль с помощью эле-

ментарных преобразований строк:

3.Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a22 ≠ 0 . Повторить операцию 2) со вторым столбцом: во втором столбце

все элементы, кроме a12 и a22 , обратить в ноль.

Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:

Тогда ранг матрицы A равен rang A = rang A .

101

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы m линейных уравнений с n неизвестными. Определения

Решением системы линейных уравнений (1) называется такое множество чисел {x1, x2 ,..., xn }, при подстановке которых в каждое из уравнений системы по-

Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица B не является нуль−матрицей O , и называется однородной, если B = O . Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Системы n линейных уравнений с n неизвестными

В этом случае матрица A – квадратная. Определитель матрицы A называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом ∆.

Метод Крамера решения систем n линейных уравнений с n неизвестными

Правило Крамера. Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

102

x1 = ∆∆1 , x2 = ∆∆2 ,… xn = ∆∆n .

Здесь ∆i - определители, получаемые из главного определителя системы ∆ заменой i -го столбца на столбец свободных членов.

Системы m линейных уравнений с n неизвестными

Теорема Кронекера−Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang (Α Β).

Если rang(Α) ≠ rang (Α Β) то система заведомо не имеет решений. Eсли rang(Α) = rang (Α Β), то возможны два случая:

1) rang (A)= n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть полу-

чено по формулам Крамера;

2) rang (A)< n − решений бесконечно много.

Схема отыскания решения системы m линейных уравнений с n неизвестными

Пусть rang(Α) = rang (Α Β)= r и rang (A)< n . Тогда любой отличный от ну-

ля минор, составленный из коэффициентов матрицы порядка r , можно выбрать в качестве базисного, при этом неизвестные xi , имеющие своими коэф-

фициентами элементы базисного минора, называются базисными неизвестными, а остальные (n −r) неизвестных − свободными. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения. Пусть, для определенности, ба-

Тогда x1, x2 , ..., xr – базисные неизвестные, а xr+1, ..., xn – свободные

неизвестные.

Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:

Система (2) равносильна исходной системе (1); ее решение может быть най-

103

дено или по формулам Крамера, или матричным способом. При этом базисные неизвестные x1, x2 , ..., xr выражаются определенным образом через свободные. Если свободные неизвестные принимают значения xr +1 = c1 , xr +2 = c2 , …,

Общее решение неоднородной системы A X = B можно записать в виде мат- рицы–столбца:

Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Элементарными преобразованиями системы являются следующие: 1) перемена местами двух любых уравнений системы;

2) умножение любого уравнения системы на произвольное число k ≠ 0 ;

3) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k ≠ 0 .

Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы (ΑΒ). Заметим, что эле-

ментарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных, при этом матрица, соответствующая базисному минору (см. систему (4)), преобразуется к треугольному виду элементарными преобразованиями строк:

Наиболее удобен метод Гаусса – Ньютона, в котором матрицу, соответствующую базисному минору, приводят не к треугольному, а к единичному виду. При этом сразу получается решение системы уравнений:

104

Заметим, что в полученной слева матрице некоторые диагональные элементы могут быть не единицами, а нулями. В этом случае, если справа выражение не равно нулю, то система несовместна.

Однородные системы

Однородная система имеет вид:

ей соответствует матричное уравнение Α Χ = O .

•Однородная система всегда совместна, так как r( A) = r (A B), посколь-

ку нулевой столбец не меняет ранг матрицы, всегда существует нулевое решение (0, 0, ..., 0) .

•Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r( A) < n .

•Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы

∆= 0 .

•Если r < n , то заведомо ∆ = 0 , тогда возникают свободные неизвестные

c1, c2 , ..., cn−r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.

•Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:

X = c1 X1 + c2 X 2 +... + cn −r X n −r ,

где решения X1 , X2 , ...Xn −r образуют фундаментальную систему решений.

•Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы

105

если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0),

(0, 1, …, 0),…, (0, 0, …,1).

• Запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе, именуется разложением общего решения по фундаментальной системе решений.

106

8.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бугров Е.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

/ Е.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

2.Бугров Е.С. Высшая математика: Задачник / Е.С. Бугров, С.М. Никольский.

М.: Наука, 1982.

3.Сборник задач по математике для втузов / под редакцией А.В. Ефимова. М.:

Наука, 1993. Т.1; 1994. Т.2.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

/ Д.В. Беклемишев. М.: Наука, 1984.

5.Наумов В.А. Руководство к решению задач по линейной алгебре и аналитической геометрии / В.А. Наумов. М.: Наука, 1993.

6.Фадеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре / Д.К. Фадеев, Н.С. Соминский. М.: Наука, 1997.

7.Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. М.: Наука, 1987.

8.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике / Л.А. Кузнецов М.: Высшая школа, 1994.

107