Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy

Посчитаем значения неизвестных:

x1 = ∆∆1 = 2 , x2 = ∆∆2 =3, x3 = ∆∆3 = −2 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Формулы Крамера могут быть получены при решении системы (2) матричным способом. Если ∆ ≠ 0 , то существует обратная матрица

A−1 , и решение системы (1) можно записать в виде X = A−1 B ; i -я строка этого матричного равенства выглядит как

2.3.Схема отыскания решения системы m линейных уравнений

сn неизвестными

Отыскание решения системы линейных уравнений вида (1):

начинается с исследования совместности этой системы. Необходимые и достаточные условия совместности определяются теоремой:

Теорема. (Кронекера−Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений

(1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы:

21

по теореме Кронекера – Капелли система несовместна.

После установления совместности схема отыскания решения выглядит следующим образом: пусть rang(A) = rang (A B)= r и r < min (m, n). Тогда

любой отличный от нуля минор, составленный из элементов матрицы A порядка r , можно выбрать в качестве базисного, при этом неизвестные xi , имеющие своими коэффициентами элементы базисного минора, называются базисными неизвестными, а остальные (n − r) неизвестных − свободными. Свободные

неизвестные могут принимать произвольные значения. Без ограничения общности можно считать, что базисный минор располагается в первых r строках и r столбцах матрицы A системы:

Тогда x1, x2 , ..., xr – базисные неизвестные, а xr +1, ..., xn – свободные неизвестные.

1). Выделяем базисные и свободные неизвестные.

2). Отбросив последние m −r уравнений системы (1), записываем укороченную систему:

3). Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:

22

4). Решаем систему (4).

ЗАМЕЧАНИЕ. Система (4) является следствием исходной системы (1) и ее решение может быть найдено по формулам Крамера, матричным способом или методом Гаусса, который будет изложен ниже. При этом базисные неизвестные x1 , x2 , ..., xr выражаются через свободные. Если свободные неизвестные

принимают значения

xr +1 = c1 , xr +2 = c2 , ..., xn = cn−r ,

то базисные неизвестные выражаются через свободные xi = xi (c1 , c2 , ..., cn−r ) , i =1, 2,..., r .

Общее решение неоднородной системы A X = B можно записать в виде матрицы–столбца:

Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений.

2.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Элементарными преобразованиями системы являются следующие:

1)перемена местами двух любых уравнений системы;

2)умножение любого уравнения системы на произвольное число k ≠ 0 ;

3)прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число k ≠ 0 .

Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования строк расширенной матрицы системы (A B). Заметим, что эле-

ментарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных, при этом матрица, соответствующая базисному минору (см. систему (4)), преобразуется к треугольному виду элементарными преобразованиями строк:

23

Наиболее удобен метод Гаусса – Ньютона, в котором матрицу, соответствующую базисному минору, приводят не к треугольному, а к единичному виду. При этом сразу получается решение системы уравнений:

Заметим, что в полученной слева матрице некоторые диагональные элементы могут быть не единицами, а нулями. В этом случае, если выражение в этой же строке справа от черты не равно нулю, то система несовместна.

2.5. Однородные системы

Однородная система имеет вид:

24

что в матричном виде записывается как Α Χ = O .

Однородная система всегда совместна, так как r( A) = r (A B), поскольку

нулевой столбец не меняет ранг матрицы; всегда существует нулевое решение

(0, 0, ..., 0) .

Теорема. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r( A) < n .

Следствие. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ∆ = 0 .

Если r < n , то заведомо ∆ = 0 и тогда возникают свободные неизвестные c1, c2 , ..., cn−r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.

Теорема. Если X1 и X 2 нетривиальные решения системы (5), то их линейная комбинация X = c1 X1 + c2 X 2 также является решением системы (5).

Доказательство. Α Χ = A(c1 X1 + c2 X 2 )= c1 AX1 + c2 AX 2 = O + O = O .

Теорема. Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:

X = c1 X1 +c2 X 2 +... +cn−r X n−r , где решения

X1, X2 , ...Xn−r образуют фундаментальную систему решений.

Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы

25

если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …,0),

(0,1, …,0),…, (0, 0, …,1).

Запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе, именуется разложением общего решения по фундаментальной системе решений.

x1 −4x2 + 2x3 = 0,

ПРИМЕР: Решите систему 2x1 −3x2 − x3 −5x4 = 0,

3x1 −7x2 + x3 −5x4 = 0.

Рассмотрим матрицу системы:

ответствующей данной неоднородной системе.

Следующая теорема устанавливает связь между общими решениями произвольной неоднородной системы и ее приведенной системы.

Теорема. Общее решение неоднородной системы A X = B может быть представлено в виде суммы общего решения приведенной системы и произвольного частного решения неоднородной системы.

Общее решение X в матричном виде:

26

Рассмотрим расширенную матрицу системы:

Следовательно, r(Α) = r( A B) = 2 , поэтому система совместна и не определена. Выберем x1 и x2 в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему:

27

3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

3.1. Определители второго и третьего порядка и их свойства

28