Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

					2ab a2 +b2 +b a +b																1 b a +b
					2ab a2 +b2 +b a +b																1 b a +b
					2ab a2 +b2 + c b + c											= 2ab					1 c b + c				.
					2ab a2 +b2 + d c + d																1 d c + d
																						−8		0	0	0
																						0		0	0	8
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы																					0		0	0	8
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы																					0		0	8	0


																						0		−8	0	0
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение AXB =C , где
	2 1			B =		−3 2							C =		−2 4
	A =		,	B =						,			C =						.
	3 2						5 −3								3			−1
											2		7		−1	4

6.	Вычислите ранг матрицы										0		−3		2		0 .
											1		3		−1	0
											1		3		−1	0
											3		0		3	2
7.	Решите системы:
	−5x + x		+ x	=14,							x + 2x −3x								− 2x			+ 4x		=1,
		1 2	3									1			2	3					4		5
а) 2x1		− x2 − x3 = −5,							б)			4x1 − 4x2 − x3 + x4 + 6x5 = 2,
		−5x2	=1.									2x − 2x2 − x3 + 6x4 + 2x5 = 0.
	3x1	−5x2	=1.									2x − 2x2 − x3 + 6x4 + 2x5 = 0.
													Вариант 24
						3		−	1		0				3	1			0		2

						2			2					2		2
						2			2					2		2
						1			3						1	3
1. Вычислите: а)											0		i −						0			;
1. Вычислите: а)						2		2			0		i −		2	2			0			;
						2		2							2	2
						0		0			1			0		0			1



								5 4			T		2 0							1		0
								5 4					2 0				−3
				б) 3								+			−1 2					2		1	.
							−2 1						4		−1 2					1		3
																				1		3

	1	2	−1	5

2. Вычислите определитель	1	5	6	3
	−1	−2	3	5

	2	4	−2	8

а) методом понижения порядка, б) методом приведения к треугольному виду. 3. Используя свойства определителя, докажите тождество:

				2b + a a +b							a		= 2(a +b + c + d )					b	a +b a
				2b + a a +b							a							b	a +b a
				2c −b					c		b						c −b			c	b	.
					d −c				d	d +c								0		1	1
																		0	0	9	0
																		0	−9	0	0
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы																	0	−9	0	0
4.	Найдите матрицу, обратную для матрицы																	−9	0	0	0


																		0	0	0	9
	а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.
5.	Решите матричное уравнение XA −2B = E , где
			1 −1 3								1 3 −2
	A =		−2 5 7						B =					0
	A =		−2 5 7				,		B =	−1 2				0	.
			−1 1 2								3 −1 4
			−1 1 2								3 −1 4
											2		7	−1 0

6. Вычислите ранг матрицы											1		−3	2	6 .
											2		−6	4	12
											2		−6	4	12
											3		0	3	2
7. Решите системы:
	−5x + x − 2x = 9,													x − x +5x − 2x + 4x =1,
		1			2	3								1	2	3		4		5
а) 2x1 −3x2 − x3 = 7,													б)	x1 − x2 +5x3 + x4 + 7x5 = 3,
	x +		x		−	x = 0.								x	− 2x	+ x + x + 2x				=	2.
	1		2			3								1	2	3		4	5
													Вариант 25
													3
								1	0		0
								1	0		0
1.	Вычислите:					а)		0	1			3		;

									2		2
									3			1
								0	3		−	1

									2			2
									2			2

	2 −3 1	T			5	1	2 1
	2 −3 1			−2 0			2 1
б)	3		+	−2 0			1 2	.
	4 0 2			−1		3	1 2
				−1		3
		2	3		1	0
		2	3		1	0
2. Вычислите определитель		4	7		0	0
2. Вычислите определитель		−8	2		1	0
		−8	2		1	0
		5	7		0	1

	b2	b 1			(b +1)2	(c +1)2 (d +1)2
	b2	b 1			(b +1)2	(c +1)2 (d +1)2
	c2	c	1	=	b		c		d	.
	d 2	d	1		1		1		1
								0	3	0	0
								−1	0	0	0
4. Найдите матрицу, обратную для матрицы								−1	0	0	0
4. Найдите матрицу, обратную для матрицы								0	0	3	0


								0	0	0	3

а) методом Гаусса, б) методом присоединенной матрицы.

5. Решите матричное уравнение AXB = 2BC +3D , где
A =		2 1	B =	3 −1				1 0			5 −1
A =		,	B =		−1 0		, C =			, D =	2 1	.
		0 −1			−1 0			0 2			2 1
						1	4	−1
						0	1	1
6. Вычислите ранг матрицы						0	1	1	.
						3	12	−3
						3	12	−3
						2	1	−1
7. Решите системы:
5x −2x − x = 3,								x − x +3x − 2x + 4x = 3,
	1	2	3					1	2	3	4	5
а) x1	−3x2 + x3 = 6,						б) 2x1 − 2x2 +5x3 + x4 + 7x5 = 7,
		− x2 = 0.								+ x3 +8x4 + 2x5 = 2.
3x1		− x2 = 0.						x1 − x2		+ x3 +8x4 + 2x5 = 2.

6. ПРИМЕР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Вычислите 3A +2B , если			2 1 −1			,	−2		1	0
1. Вычислите 3A +2B , если			A =		−4	,	B =	−3	2	2	.
			0 1		−4			−3	2	2
	2	5	−3
ОТВЕТ: 3A +2B =	−6	7	−8	.
	−6	7	−8

					2	1	1			3	1
2. Найдите	C	=	AB					,		2	1

				, если A =					B =			.
					3	0	1			1	0
										1	0

	ОТВЕТ: -3.																				1	1	1		1
																					1	1	1		1

3.	Найдите матрицу обратную для матрицы																			A = 1		1	−1	−1 .
																						−1	1
																					1	−1	1	−1
																					1	−1	−1		1
			1 4		1 4				1 4		1 4									1 1 1 1
	ОТВЕТ: A	−1	1	4	1 4			−1 4				−1 4				=			1	1 1		−1	−1	=	1	A.
	ОТВЕТ: A		=		−1 4				1 4			−1 4				=			4		−1 1			=	4	A.
			1	4	−1 4				1 4			−1 4							4	1	−1 1		−1		4
					−1 4			−1 4			1 4										−1
			1 4		−1 4			−1 4			1 4									1	−1	−1 1
										1		−1				1
4.	Найдите ранг матрицы A =									2		−2				2
4.	Найдите ранг матрицы A =									2		−2				2			.
										1	1
										1	1					−1
	ОТВЕТ: Ранг матрицы r( A) = 2 .
																			x −4x +2x				= 0,
																				1	2	3
5.	Найдите общее решение системы																		2x1 −3x2 − x3 −5x4					= 0,.
																							−5x4 = 0.
																			3x1 −7x2 + x3				−5x4 = 0.
							19		c +			3	c		−		1		c
									c +				c		−	2			c
						8			1		8			2		2			3
						7					25							1
						7		c −			25		c		+			1	c
								c −					c		+				c
						8			1		8			2		2			3
	ОТВЕТ: X (c1,c2 ,c3 )=					8					8					2				.
												c1
												c2
												c3
												c3

7. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ

Определители второго и третьего порядка

Определитель первого порядка представляет собой число.

a		a	называется матрицей второго
Квадратная таблица чисел вида A =	11	12	называется матрицей второго
	a	a
	21	22

порядка.

Определителем квадратной матрицы A второго порядка называется число, рав-

ное det A =

a11

a12

= a a

−a

a .

a21

Квадратная таблица чисел вида

называется матрицей

A =

a22

a23

a32

a33

a31

третьего порядка.

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное

		a11	a12	a13
det A =	A	= a21	a22	a23 =

a31 a32 a33

= a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 −a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 .

Правило треугольников:

Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель. Число всех элементов определителя 3-го порядка равно 3 3 = 9.

Свойства определителей

1 ) . Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании:

AT = A .

2). При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:

a11	a12	a13		a21	a22	a23
a21	a22	a23	= −	a11	a12	a13	.
a31	a32	a33		a31	a32	a33

3 ) . Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

4). Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:

k a1 1	a1 2	a1 3		a1 1	a1 2	a1 3
k a1 1	a1 2	a1 3		a1 1	a1 2	a1 3
k a 2 1	a 2 2	a 2 3	= k	a 2 1	a 2 2	a 2 3	, k = const .
k a3 1	a3 2	a3 3		a3 1	a3 2	a3 3

5). Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):

a11	a12	a13
0	0	0	= 0 .
a31	a32	a33

6). Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.

7). Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:

+a//

a//

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a21

a22

a23

a31

a32

a33

a31

a32

a33

a31

a32

a33

8 ) . Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:

a11 + k a21	a12 + k a22	a13 + k a23		a11	a12	a13	.
a11 + k a21	a12 + k a22	a13 + k a23		a11	a12	a13
a21	a22	a23	=	a21	a22	a23
a31	a32	a33		a31	a32	a33

9). Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения (определены ниже):

		a11	a12	a13
A	=	a21	a22	a23	=ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +ai3Ai3, i =1, 2, 3

		a31	a32	a33		.

10). Определитель произведения матриц А и В (определено ниже) равен произведению их определителей:

A B = A B

Определители n–го порядка

Число всех слагаемых в определителе n -го порядка равно n!= n(n −1)(n −2) 3 2 1.

Минором Мij элемента аij ( иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка называется определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых

стоит элемент aij.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij называется его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит

элемент aij, Aij = (−1)i+ j Mij .

Для определителей n -го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей.

Методы вычисления определителей n–го порядка

Метод понижения порядка.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Метод сведения к треугольному виду

Используя свойства 1) – 9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.

Матрицы. Виды матриц

Матрицей размерности m ×n называется прямоугольная таблица чисел aij :

										a11			a12	...	a1n
										a			a	...	a
				A =	a		= (a )	m,n	=			21	22		2n	,
					ij	m,n	ij	m,n						...	...
										... ...				...	...
Частные виды матриц										am1			am2	...	amn
Частные виды матриц										7
										7
A =(2		1	7,3)- матрица-строка, B =							3,5
A =(2		1	7,3)- матрица-строка, B =							3,5	- матрица-столбец,
										0
										0
	0	0	0									6	0	0
	0	0	0									0	2	0	- квадратная диагональ-
O =	0	0	0	- квадратная нулевая, C =								0	2	0	- квадратная диагональ-
	0 0 0											0 0
	0 0 0											0 0		−11

	1	0	0		4	1	2
	0	1	0		0	7	5	- верхняя треугольная,
ная, E =				- единичная, D =
	0	0	1		0	0	1

	4	0	0
	1	7	0	- нижняя треугольная.
F =
	2	3	1

,			- главная и побочная диагонали.

Операции над матрицами

		1	2	3			1	4
Транспонирование.		1	2	3	T		2	5	- транс-
Транспонирование.	A =	4	5	6	- исходная матрица, A	=	2	5	- транс-
		4	5	6			3	6
							3	6

понированная.

Равенство. A = B aij =bij .

Сумма. C = A + B cij = aij +bij ; A + B = B + A (слагаемые одной размерности).

Умножение на число. B =α A bij =αaij ;

(α β) A =α(βA) , α( A + B) =αA +αB , 0 A = O; 1 A = A .

Умножение матриц. Произведением матрицы A = (ail )m,n размерности (m ×n)

на матрицу			B = (blj )n,k	размерности	(n ×k ) называется матрица
C =(cij )	m,k	= A B	размерности (m ×k ), элементы			которой	вычисляются по
	m,k
формуле		k
		k
	cij	= ∑aip	bpj = ai1 b1 j	+ ai2 b2 j +... + aik	bkj ,	i =1,..., m ,	j =1,..., k .

p=1

Иначе: элемент, стоящий на пересечении i – й строки и j – го столбца матрицы произведения cij , равен сумме произведений элементов i –й строки матрицы А

на соответствующие элементы j–го столбца матрицы В.

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

В общем случае A B ≠ B A ; если A B = B A, то матрицы перестановочные (коммутирующие).

Свойства:


1)	(A B) C = A (B C ).
2)	(A + B) C = A C + B C .
3)	A (B +C )= A B + A C .
4)	A E = E A = A.
5)	A O =O A =O .
6)	(A B)T = BT AT .

(Свойства 4) и 5) справедливы только для квадратной матрицы А).

Обратная матрица

Квадратная матрица A n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, A = 0 , и невырожденной, если A ≠ 0 .

Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матри-

цы А, если выполняется соотношение: A A−1 = A−1 A = E .

Если матрица A не вырождена, то существует, и притом единственная, обрат-

ная матрица A−1 , равная A−1 = det1 A (AV )T , где AV = (Aij )- присоединенная мат-

рица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).

	1)	(A−1 )−1 = A .
	2 (α A)−1 =		1	A−1 .
	2 (α A)−1 =			A−1 .
			α
	3	(A B)−1 = B−1 A−1 .
	4	(A−1 )T = (AT )−1 .

Алгоритм нахождения обратной матрицы
с помощью присоединенной матрицы:
1.	Находим det A , проверяем det A ≠ 0 .
2.	Находим Mij		- все миноры матрицы A .
3.	Определяем		A = (−1)i+ j M		ij	.
			ij		ij
4.	Строим матрицу алгебраических дополнений AV = (Aij ) и транспонируем:
	(AV )T = (Aji ).
5.	Делим каждый элемент матрицы на det A : A−1 =						1		(AV )T .
5.	Делим каждый элемент матрицы на det A : A−1 =						det	A	(AV )T .
К элементарным преобразованиям строк (столбцов) матрицы относятся
следующие:
		перестановка строк (столбцов);
		умножение строки (столбца) на число α ≠ 0 ;
		прибавление к элементам строки (столбца) матрицы соответствующих

элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число;

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк

Для данной матрицы A n -го порядка строим прямоугольную матрицу

ΓA = (A E ) размера n ×2n , приписывая к A справа единичную матрицу. Далее, используя элементарные преобразования строк, приводим матрицу ΓA к виду (E B), что всегда возможно, если матрица невырождена. Тогда B = A−1 .

Решение матричных уравнений

Равенство, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, C,…, называется матричным уравнением относительно матрицы X, например, A X = B .

Простейшие типы матричных уравнений:

A X = B . Матрица A – квадратная и невырожденная,

≠ 0, следователь-

но, существует обратная матрица A−1 .

Умножим уравнение на A−1

слева: A−1 A X = A−1B, E X = A−1B , X = A−1B .

X A = B . Матрица A – квадратная,

≠ 0.

Умножим уравнение на A−1

справа:

X AA−1 = B A−1 X = B A−1 .

A X B = C . Матрицы A и B – квадратные,

≠ 0,

≠ 0.

Умножим уравнение на A−1

слева: A−1 A X B = A−1C X B = A−1C .

Умножим уравнение на B−1

справа:

X B B−1 = A−1C B−1 X = A−1 C B−1 .

Ранг матрицы

Пусть в матрице A размерности (m ×n) выбраны k строк и k столбцов, причем k ≤ min (m,n). Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных

строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k -го порядка. Определитель Mk этой матрицы называется минором k -го порядка матрицы A .

Рангом матрицы A называется число, равное максимальному порядку r отличных от нуля миноров M k этой матрицы:

r = r (A)= rang A.

Матрицы называются эквивалентными, что обозначается A B , если r (A)= r (B).

Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.

Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0 , тогда M1 ≠ 0 и r (A)≥1. Окаймляем

этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например, ( j +1)–го столбца и (i +1)–й строки), получаем минор 2-го порядка:

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR

#
29.05.20151.95 Mб18Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy.pdf
#
29.05.20154.52 Mб26Chast_2_Vekt_i_anal_2010_07_29.pdf
#
29.05.20154.89 Mб19Chast_3__Mat_an_2010_23_09.pdf
#
29.05.20151.09 Mб37Chast_5_DifUr.pdf
#
29.05.2015934.06 Кб26Chast_6_FNP.pdf
#
29.05.2015608.76 Кб16Модуль 2_4 Формулы пр.pdf