Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный профессионально-педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

1.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

	1	0	0			1	= −1.

=	0	2	1	=1 2	−
						2
	0	0	−0,5

x + y

Вычислите определитель

x + y

РЕШЕНИЕ:

x + y

поправилу

x + y

треугольников

=3xy (x + y)−x3 − y3 −(x + y)3 =

=−(x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 )−

−x3 − y3 + 3x2 y + 3xy2 = −2 (x3 + y3 )

−2 (x3 + y3 )

x + y

преобразования

=(α −α

x + y

−α

строк

x + y

x −y −x −y y −x −y −x x + y −x − y

x + y

α2 −α1

y x 0

=−2

x + y x

= α

−α

=−2

0 y x

x + y

x 0 y

поправилу

=−2(x3 + y3 )

треугольников

1 +cosα

sinα

Решите уравнение

1 −sinα

cosα

= 0 .

α1 = 2πn,

РЕШЕНИЕ:

α2 = π

+ 2πk ,

1 + cosα

sinα

β1

− β3

cosα

sinα −1

1 −sinα

cosα

−sinα

cosα −1

− β3

n,k Z

β2

cosα

sinα −1

= cosα(cosα −1)+sinα(sinα −1)=

−sinα

cosα −1

= cos2 α +sin2 α −(cosα +sinα) =1 −(cosα +sinα) = 0 . cosα +sinα =1 ,

2		(cosα +sinα)= cos										π						π			2
												4 sinα +sin 4 cosα =														,
	2											4 sinα +sin 4 cosα =												2		,
		π			=sin				π			α1 =				2πn, α2			=	π	+2πk, n,k Z .
	sin		+α		=sin				4			α1 =				2πn, α2			=	2	+2πk, n,k Z .
		4							4											2
										1		2			3
										1		2			3
Для определителя										4		5			6	найдите миноры и алгеб-
										7		8			9
раические дополнения элементов a13 и a32 .
12 РЕШЕНИЕ:																													-3,-3,-6,6
M13 =			4 5		, M32 =						1 3		;
M13 =			4 5		, M32 =						1 3		;
			7	8							4	6
	A = (−1)1+3 M					13		= (−1)4 M					13		= M		13	= −3,
13						13							13				13
	A = (−1)3+2 M						32		= (−1)5 M					32		= −M		32	= 6 .
32							32							32				32

									3.2. Определители n–го порядка

																									2 −1 0 1
																									2 −1 0 1
Вычислите определитель 4-го порядка																						A	=		0	1	−1	2	ме-
Вычислите определитель 4-го порядка																						A	=		0	1	−1	2	ме-
																									3	−1	3	2
																									3	−1	3	2
																									3	1	1	6

тодом понижения порядка. РЕШЕНИЕ:

Обозначим строки определителя через α1 ,α2 , α3 , α4 , а столбцы - β1 , β2 , β3 , β4 . Приведем определитель к виду, в котором a11 =1 , а остальные элементы первого столбца равны нулю. Для этого поставим четвертый столбец на место первого, при этом определитель изменит знак:

13			1	−1	0	2		0

	A	= −	2	1	−1	0	.

			2	−1	3	3

			6	1	1	3

Обратим в нули элементы первого столбца во второй, третьей и четвертой строках с помощью преобразований

α2 − 2α1 , α3 − 2α1 , α4 − 6α1 :

		1	−1	0	2		3	−1	−4			1	3	−1


		0	3	−1 −4						= (α2	α1 )=				=
A	= −					= −	1	3	−1			3	−1	−4

		0	1	3	−1		7	1	−9			7	1	−9
		0	7	1	−9

	α		− 3α	=	1	3	−1	=	10	−1	= 0 .


=	α	2	1		0	−10	−1		20	−2
	α		− 7α						20	−2
		3	1		0	−20	−2
		3	1		0	−20	−2

																																			3	1	1	1
	Вычислите определитель 4-го порядка																															A	=		1	3	1	1		.
	Вычислите определитель 4-го порядка																															A	=		1	3	1	1		.
																																			1	1	3	1
																																			1	1	3	1
																																			1	1	1	3
РЕШЕНИЕ:																	1 + 2
								3	1		1		1								1		1		1
								3	1		1		1								1		1		1
	A		= ∆ =					1 3 1 1							=		1 + 0 3 1 1										=
	A		= ∆ =					1 3 1 1							=		1 + 0 3 1 1										=
								1	1		3		1				1 + 0				1		3		1
								1	1		3		1				1 + 0				1		3		1
								1	1		1		3				1 + 0				1		1		3
		1		1	1				1			2	1		1			1
		1		1	1				1			2	1		1			1
=		1 3 1 1								+		0 3 1 1								= ∆ + ∆					2
		1		1	3				1			0	1		3			1				1			2
		1		1	3				1			0	1		3			1
		1		1	1				3			0	1		1			3
14				1	1				1		1			β2 − β1									1		0			0		0								48
				1	1				1		1												1		0			0		0
				1 3 1 1																			1 2 0 0

	∆ =												=		β			−	β			=									=1 2 2 2 =8 ,
1				1 1 3 1											β	3		−	1				1 0 2 0								=1 2 2 2 =8 ,
				1 1 1 3											β			−	β				1 0 0 2
				1 1 1 3												4			1				1 0 0 2
					2				1		1		1												3			1		1					1 + 2		1	1


					0 3 1 1										= 2 (−1)1+1
	∆2 =				0 3 1 1										= 2 (−1)1+1										1 3 1						= 2				1 + 0 3 1				=
					0				1		3		1												1			1		3					1 + 0		1	3
					0				1		1		3												1			1		3					1 + 0		1	3
					0				1		1		3
							1 1 1							2 1 1												1 0 0									3	1
							1 1 1							2 1 1												1 0 0
							1 3 1						+	0 3 1												1 2 0						+ 2
	= 2						1 3 1						+	0 3 1								= 2				1 2 0						+ 2			1	3
							1 1 3							0 1 3												1 0 2									1	3


						= 2(4 + 2 (9 −1))= 40 ,
														∆ = ∆1 +∆2									= 48 .
																						a1			0				b1			0
																						a1			0				b1			0
15 Вычислите определитель																						0 c1							0 d1											(a1a2 −b1b2 )
15 Вычислите определитель																						b			0			a		2		0		.						(c1c2 − d1d2 )
																						2		d2						2		c2								(c1c2 − d1d2 )
																						0		d2					0			c2
РЕШЕНИЕ:

a1	0	b1	0
0	c1	0	d1	разложим определитель
b	0	a	0	=	по первой строке	=
2		2
0	d2	0	c2

(−1)1+1

(−1)3+1

= a

+ b

0 0

разложим определители

по второй строке

=(a a −b b

)

=(a a

−b b

)(c c

− d d

)

Вычислите определитель

РЕШЕНИЕ:

Разложим определитель по элементам первой строки:

a b 0 0

a b

c b 0

(a2 −bc)2 −

c a b 0

= a

c a b

−b

0 a b

−a

−b

−b c

= a a

= (a2 −bc)

a b

−ab

c b

= (a2 −bc)2 −a2bc .

17 Вычислите определитель 4-го порядка

мето-

дом приведения к треугольному виду.

1	1	1	1		α2 −α1
1	2	3	4	=		α	3	−α	=
1	3	6	10				3	1
1	3	6	10			α		−α
1	4	10	20				4	1

	РЕШЕНИЕ:								1	1			1			1				α3	− 2α2
							=		0 1 2 3											α3	− 2α2					=
							=		0 2 5 9									=			−3α					=
									0 2 5 9											α4	−3α				2
									0	3			9			19
								1	1	1					1
								1	1	1					1
							=	0 1 2 3									= (α4 −3α3 )=
								0	0	1					3
								0	0	3				10
								1	1	1				1											.
								1	1	1				1											.
							=	0	1	2				3		=1
								0	0	1				3
								0	0	0				1

							Вычислите определитель 5-го порядка
															1			0		2			1		3
															1			0		2			1		3
															4		−1			3			2		5
											Α		=	−3				2		−4			5		−7
											Α		=	−3				2		−4			5		−7
															2			3		19			5		8
															5		−3			−5 −1 4
	методом приведения к треугольному виду.
	РЕШЕНИЕ:											(α1 )
				1 0 2 1 3													α			−4α
				1 0 2 1 3													α			−4α
				4 −1 3 2 5								(α2 )						α2		+3α1
		Α	=	−3 2 −4					5	−7		(α		3	)	=			3	1			=
18																		α		−2α						-240
																		α		−2α
				2 3			19		5	8		(α4 )							4	1
				5 −3 −5 −1 4								(α5 )						α5 −5α1
					1		0	2		1				3			(α1 )
					1		0	2		1				3			(α1 )
					0 −1 −5 −2 −7											(α2 )
	=				0 2			2		8				2		(α3 )=(α5 +α4 )=
					0		3	15		3				2		(α4 )
					0 −3 −15 −6 −11											(α5 )
						1	0		2	1				3			(α1 )
						1	0		2	1				3			(α1 )
						0 −1 −5 −2 −7										(α2 )				α		+α
				= 2		0 1 1					4 1					(α3 )				α	3	+α		2
				= 2		0 1 1					4 1					(α3 )				=	3			2	=
						0	3		15	3				2			(α4 )			α4 + 3α2
						0 0 0 −3 −9										(α5 )


								1		0				2			1		3			(α1 )
								0 −1 −5 −2 −7														(α2 )
					= 2			0 0 −4 2 −6														(α3 )=(α5 −α4 )=
								0 0 0 −3 −19														(α4 )
								0 0 0 −3 −9														(α5 )
							1			0				2		1			3
							1			0				2		1			3
							0			−1				−5		−2		−7
					= 2		0			0				−4			2	−6				= −240 .
							0			0				0		−3		−19
							0			0				0		0		10

																						1		2		3		4
																						1		2		3		4
	Вычислите определитель																					2		2		3		4	.
	Вычислите определитель																					3		3		3		4	.
																						4		4		4		4
	РЕШЕНИЕ:
		1 2 3 4											1 2 3 4											α −α							0 1 2 3
		1 2 3 4											1 2 3 4											α −α							0 1 2 3
		2 2 3 4											2 2 3 4											1			4				0 0 1 2
		3 3 3 4							=		4		3 3 3 4								=			α2 − 2α4						= 4	0 0 0 1		=
		3 3 3 4											3 3 3 4																		0 0 0 1
19		4 4 4 4											1 1 1 1											α3 −3α4							1 1 1 1					-4
															0	1		2			3
															0	1		2			3
	= (α3					α4 )				= −4					0 0 1 2								= (α2					α3 )=
															1	1		1			1
															0	0		0			1
				0	1	2				3															1	1		1		1
				0	1	2				3															1	1		1		1
	= 4			1 1 1 1								= (α						α	2	)= −4					0 1 2 3							= −4
				0	0	1				2				1					2						0	0		1		2
				0	0	1				2															0	0		1		2
				0	0	0				1															0	0		0		1


															3.3. Матрицы и действия с ними

№			Задание																															Ответ
п/п
											1						3																		4
											2						2																		4
20			Найдите								2			+			2	.																	4
											1																								0
											1						−1																		0
											−1						2																		1

	1		3		4
	2		2		4
РЕШЕНИЕ:	2	+	2	=	4	.
	1				0
	1		−1		0
	−1		2		1

	Найдите				1			2			−1
	Найдите			4	2 1 1								.
21					2 1 1																4 8 −4
21							1 2 −1									4 8 −4						8 4 4
	РЕШЕНИЕ:						1 2 −1									4 8 −4						8 4 4
	РЕШЕНИЕ:				4			2			1		1		=		4	.
								2			1		1			8	4	4
	Найдите			3А+2В,							если
	2 1 −1					,	B =		−2 1 0
	A =	0 1 −4				,	B =								.						2 5 −3
22		0 1 −4									−3 2 2										2 5 −3
22	РЕШЕНИЕ:
	РЕШЕНИЕ:																				−6 7		−8
	3A +2B =			6 3 −3					−4 2 0								2 5 −3
	3A +2B =										+					=			.
				0 3 −12					−6 4 4								−6 7 −8
														2		1	1	3		1
	Найдите C = AB , если													2		1	1		2	1
	Найдите C = AB , если												A =			0	,	B =	2	1	.
														3		0	1		1	0
																			1	0
	РЕШЕНИЕ: Размерность матрицы А (2×3), раз-
	мерность матрицы В (3×2), число столбцов матри-
	цы А совпадает с числом строк матрицы В, в ре-																					9	3
23 зультате получится матрица С, размерность кото-																						9	3
23 зультате получится матрица С, размерность кото-
	рой (2× 2).																					10	3
	рой (2× 2).
	c11 = 2 3 +1 2 +1 1 =9 ,												c12 = 2 1+1 1+1 0 =3 ,
	c21 =3 3 +0 2 +1 1 =10 ,												c22 =3 1+0 1+1 0 =3 .
		2 1 1				3		1			9 3
	AB =	2 1 1					2 1				9 3
	AB =			×			2 1			=		10 3		.
			3 0 1									10 3
							1	0
							1	0
	Найдите C = AB ,
	если			1	3			B			1 9 10
	если		A =			,		B	=				2 1		.
				2	4						0		2 1
24	РЕШЕНИЕ: c11 =1 1+3 0 =1 ,														c12 =1 9 +3 2 =15 ,						1 15		13
24			c =1 10 +3 1 =13 ,												c = 2 1+ 4 0 = 2 ,							2 26 24
			13												21
			c22 = 2 9 +4 2 = 26 ,												c23 = 2 10 + 4 1 = 24 .
	1 3			1 9 10 1 15 13
	С =									=
	2 4			0 2 1 2 26 24
25 Найдите C = AB ,																						(32	14)

							4		1
	если		(			) ,	B =	5	2
	если		(	2	3	) ,				.
		A = 1		2	3
								6	3
								6	3
	РЕШЕНИЕ:
	C = AB =
	=(1 4 + 2 5 + 3 6 1 1 + 2 2 + 3 3)= (32 14).
	(размерность матрицы C (1×2)).

	Найдите		А×В и В×А,
			1	2			1		2			3	6
	если A =					, B =			.			3	6	,
			3 4				1 2							,
26			3 4				1 2					7 14
26	РЕШЕНИЕ:			A×B			1 2 1 2				3 6	7	10
	РЕШЕНИЕ:			A×B		=	×			=	,	7	10
							3 4 1 2				7 14		.
		1 2 1 2					7 10					7	10
	B× A =			×			=		.
		1 2 3 4					7 10
	Найдите матрицу, обратную для матрицы
	1	2
	A =		.
		4
	3	4

РЕШЕНИЕ:

1)det A = 4 −6 = −2 ≠ 0 .

2)M11 = 4, M12 = 3, M 21 = 2, M 22 =1.

3)A11 = 4, A12 = −3, A21 = −2, A22 =1.

27 4)			4 −3						T			=	4 −2							−2					1
27 4)		A	=					, ( A )				=		1	.						3 / 2			−0,5
			−2			1							−3	1							3 / 2			−0,5
				1	4			−2		−2				1
	5)	A−1 = −		1					=						.
	5)	A−1 = −				−3		1	=			3 / 2			.
			2			−3		1				3 / 2		−0,5
	Проверка:						−2
	A		1		2		−2		1
	A	A−1 =			4				−0,5				=
			3		4		1,5		−0,5
	−2 +3 1				−	1 1 0
	=	−6 +6 3			−	2	=				= E.
		−6 +6 3			−	2	0 1
	Методом				элементарных									преобразований строк
	найдите				матрицу,								обратную			к	матрице
		1 1 1 1															1 4				1 4			1 4			1 4
																		1			1			−	1		−	1
28	A = 1 1				−1 −1 .														4			4		−		4	−		4
28		1	−1 1 −1														1 4				−1 4			1 4			−1 4
			−1															1			−	1		−	1		1
		1	−1		−1 1														4		−		4	−		4		4
	РЕШЕНИЕ: Составляем и преобразуем вспомога-
	тельную матрицу								(A		E ):
	тельную матрицу								(A		E ):

	1				1						1		1			1		0			0				0									α				2 +α1
	1				1						1		1			1		0			0				0
															0 1 0 0
	1 1 −1 −1														0 1 0 0
	1			−1 1 −1											0 0 1 0																					α3 +α1
	1			−1 1 −1											0 0 1 0																					α				+α
																																				α		4		+α				1
				−1 −1 1											0 0 0 1																							4						1
	1			−1 −1 1											0 0 0 1
	1
			1				1				1		1	1			0				0		0								α2 2
			1				1				1		1	1			0				0		0
			2 2 0 0											1 1 0 0
			2 2 0 0											1 1 0 0																	α				3
			2 0 2 0											1 0 1 0																					3		2
			2 0 2 0											1 0 1 0
																															α4						2
			2				0				0		2	1			0				0		1														2
			2				0				0		2	1			0				0		1

		1					1				1		1	1				0			0					0

		1 1 0 0 1 2																1 2			0					0								(α1 −α2 −α3 −α4 )
		1					0				1		0 1 2					0			1 2					0
														1												1
							0				0		1	1	2			0			0					1		2
		1					0				0		1		2			0			0							2
		−2 0 0 0 − 1 2																			− 1 2							− 1 2										− 1 2
				1					1			0	0			1 2					1 2										0								0
				1					1			0	0			1 2					1 2										0								0
				1					0			1	0			1 2						0									1 2								0
				1					0			1	0			1 2						0									1 2								0
																1																							1
				1					0			0	1			1		2				0									0								1		2
				1					0			0	1					2				0									0										2
												1	0				0				0 1 4						1 4							1 4						1 4						α2 −α1
					α1																						1 2							0 0												α2 −α1
			−		α1							1 1 0 0 1 2															1 2							0 0
			−				2					1 0 1 0										1	2				0							1		2					0					α3 −α1
							2					1 0 1 0											2				0									2					0					α		−	α
																						1																		1						α	4	−	α	1	.
													0				0				1	1	2				0							0						1		2					4			1	.
												1	0				0				1		2				0							0								2
			1				0				0		0 1 4						1 4					1 4										1 4
			0 1 0 0 1 4																1 4				−1 4
			0 1 0 0 1 4																1 4				−1 4									−1 4							.
			0 0 1 0 1 4															−1 4						1 4								−1 4							.
			0 0 1 0 1 4															−1 4						1 4								−1 4
														1						1					1									1
			0 0 0 1											1	4			−		1	4		−		1	4								1	4
			0 0 0 1												4			−			4		−			4									4
							14					14				14					14												1 1 1 1
		−1		=					14			14				−	14				−	14								1			1 1												−1		−1					1	A.
	A			=								−14									−	14		=						4									−1 1										=			4	A.
							14					−14				1	4				−	14								4			1						−1 1								−1					4
												−14				−	14																						−1 −1 1
							14					−14				−	14				1	4											1						−1 −1 1
	Решите											матричное														уравнение																					AX = B , где
						1			2			;Β	=			3		5
	Α =					3			4			;Β	=			5		9		.
						3			4							5		9
	РЕШЕНИЕ: Вычислим																												Α				=				1				2		= −2 ≠ 0 , значит,


																																					3				4													−1 −1
																																					3				4
29	матрица A – невырожденная. Построим матрицу
29	матрица A – невырожденная. Построим матрицу																																																					2	3
		−1				, обратную матрице A, двумя способами.																																																2	3
	A					, обратную матрице A, двумя способами.
	1). Метод присоединенной матрицы:
		−1					1					V	T					1	4 −3 T																			1		4 −2
	Α			=						(Α )				= −													= −																			.
								Α										2																				2

																			−2 1																							−3 1
	2). Метод элементарных преобразований строк:

		1 2					1 0		(α		2	−	3α )						1 2					1 0
		1 2					1 0		(α			−	3α )						1 2					1 0
		3 4					0 1								1				0		−2			−3 1
		3 4					0 1												0		−2			−3 1

	(α1 +α2 )								1 0					−2 1							α		2				1 0		−2 1
									1 0					−2 1							α						1 0		−2 1
																														3		1
									0 −2					−3 1							−2						0 1				−
									0 −2					−3 1							−2						0 1				−
																														2		2	.
	Записываем решение матричного уравнения:
	Χ = Α−1Β = −								1	4					−2			3			5
									1													=
									2							1		5				=
									2	−3						1		5			9
	= −			1			4 3 +(−2) 5 4 5 +(−2) 9																		=
							(−3) 3 +1 5							(−3) 5 +1 9
				2
				2
				1		2 2					−1 −1
	=−								=			2 3					..
	=−			2					=								..
				2		−4 −6
	Решите матричное уравнение ABXC = E , где
					1		0				0									1				0				0
	A=				0 3 2										,	B =				0 1 2											,
	A=				0 3 2				−1 2							B =				0 1 2								3 2
					0 1 2															0		−			3 2 1 2
					0 1 2						3 2									0		−			3 2 1 2
				−1 2 0 0														1 0 0
	C =						0 1 2 0						,			E =				0 1 0						.
	C =						0 1 2 0									E =				0 1 0
							0													0 0 1
							0	0 1 2												0 0 1
	РЕШЕНИЕ:
	Запишем уравнение в виде DXC = E , где
	D = AB .
	Умножим уравнение DXC = E слева на D−1 и																																		−2		0	0
30	справа на C								−1		:																									0	3	−1
30	справа на C										:						= D−1							E C−1 ,												0	3	−1
	D−1 AB X C C−1																= D−1							E C−1 ,												0	1	3
	(D−1D) X (CC−1 )																= D−1 E C−1 = D−1C−1 , тогда																			0	1	3
	X = D−1C−1 .
	Найдем
							1				0						0				1						0				0
								0			3 2 −1 2											0			1 2						3 2			=
	D = AB =							0			3 2 −1 2											0			1 2						3 2			=
								0 1 2									3 2					0			− 3 2 1 2									;
								0 1 2									3 2					0			− 3 2 1 2									;
			1				0			0
	=		0				3 2		1 2
	=		0				3 2		1 2
			0				−1 2
			0				−1 2			3 2
	Вычислим D−1											и C−1 .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Arkhiv_ZIP_-_WinRAR

#
29.05.20151.95 Mб18Chast_1_Opredeliteli_Matritsy_Sistemy.pdf
#
29.05.20154.52 Mб26Chast_2_Vekt_i_anal_2010_07_29.pdf
#
29.05.20154.89 Mб19Chast_3__Mat_an_2010_23_09.pdf
#
29.05.20151.09 Mб37Chast_5_DifUr.pdf
#
29.05.2015934.06 Кб26Chast_6_FNP.pdf
#
29.05.2015608.76 Кб16Модуль 2_4 Формулы пр.pdf