2. Принципы назначения страховой надбавки на основании вероятности разорения.

2.1. Описание динамической модели разорения.

Динамическая модель отличается от статической тем, что в ней события разворачиваются во времени. Простейшая модель такого рода включает в себя два процесса: процесс поступления премий и процесс страховых выплат. Премии поступают гораздо чаще, чем предъявляются иски, и при этом величина премии намного меньше величины иска. Поэтому, если в качестве основного рассматривать процесс исков, то в масштабах этого процесса поступление премий можно взять за непрерывный детерминированный процесс.

В таком случае поступление премий характеризуется одним параметром – скоростью поступления средств, обозначаемую как . Это означает, что если в некоторый момент временикомпания имела резервный фонд, и до моментаиски не предъявлялись, то резервы компании в моментбудут равны

В качестве модели процесса поступления исков выберем пуассоновский процесс. Основные свойства такого процесса:

1. Стационарность:для любой группы из конечного числа непересекающихся промежутков времени вероятность появления определенного числа страховых исков на протяжении каждого из них зависит только от этих чисел и от длительности промежутков времени и не изменяется от сдвига всех отрезков времени на одну и ту же величину.

2. Ординарностьвыражает собой свойство практической невозможности появления двух или более исков за малый промежуток времени

3. Отсутствие последствия:вероятность поступленияисков в течение промежутка временине зависит от того, сколько раз и как поступали иски раньше, т.е. величины, выражающие число исков, поступивших за непересекающиеся промежутки времени, независимы.

Динамическая модель разорения основана на следующих предположениях:

1. Моменты предъявления исков образуют пуассоновский процесс интенсивности.

2. Поступающие иски независимы, не зависят от моментов и одинаково распределены с функцией распределенияи со средним.

3. Премии поступают непрерывно со скоростью

Величины последовательных исков будем считать независимыми и одинаково распределенными величинами, которые не зависят от процесса поступления исков. Обозначим черезфункцию распределения, среднее значение и дисперсию предъявленного иска соответственно.

Теперь изменение резервов компании можно описать следующим образом. В момент компания имеет некоторый начальный капиталК моментупредъявления первого иска капитал вырастет до величины. К моментупредъявления второго иска резервы увеличатся на суммуи составятВ моментпредъявляется иск величинойи резервы уменьшатся до величины

Этот процесс может продолжаться бесконечно долго, если только в момент предъявления некоторого иска средств компании не хватит, чтобы оплатить иск. В этом случае компания разоряется. Итак, компания не разорится, если

Если же

но

то в момент предъявленияn-го иска компания разорится.

Основной характеристикой этой модели является вероятность разорения зависящую от начального капитала.

Введем случайную величину как номер иска, который привел к разорению. Если компания никогда не разорится, то положим. Вероятность разорения тогдаа вероятность неразорения

Будем полагать, что

Это условие означает, что за единицу времени предъявляется в среднем исков, что приводит к выплате в виде страховых пособий в среднем суммы. С другой стороны, за это же время компания получит в виде премий сумму

где – относительная страховая надбавка.