Горяйнов / Temnov_cernovik

Содержание.

Введение………………………………………………………………….…..…2

1.Нетто-премия и обоснованность страховой надбавки…….....…4

2.Принципы назначения страховой надбавки на основании вероятности разорения………………………………………....…….……12

2.1.Описание динамической модели разорения……………….….……12

2.2.Характеристический коэффициент…………………………………14

2.3.Неравенство Лундберга………………………………….….………17

2.4Точный расчет вероятности разорения…………………….……..…20

3.Анализ величины страховой премии с использованием

функции полезности………………………………………….……....…….26

3.1Функция полезности…………………………………………..…….26

3.2Тарифная политика с учетом функции полезности…..….…………28

3.3Границы страховой надбавки, вычисленные на основе функции полезности страхователя…………………………………………………36

Список использованной литературы……………...…………………....…..39

2

Введение

Человек или фирма заключает договора страхования для того, чтобы избавиться от финансовых потерь, связанных с неопределенностью наступления тех или иных случайных событий. До заключения договора страхования клиент имел некоторый риск, который мог привести к случайным потерям Х (а мог и не привести к ним). После заключения договора страхования, заплатив некоторую сумму d, клиент избавился от этого риска. Иными словами, клиент идет на небольшие детерминированные расходы с тем, чтобы избавиться от случайных потерь, которые хоть и маловероятны, но могут быть катастрофически большими для него. Однако,

сам риск не исчез – его приняла на себя страховая компания. Поэтому финансовый риск и связанная с ним опасность разорения объективно присутствуют в деятельности любой страховой компании.

В рамках теории риска разработана система понятий, моделей и методов, которые позволяют количественно оценивать финансовые риски в деятельности страховой компании. Общематематической базой для теории риска служат теория вероятности и математическая статистика.

Цель данной дипломной работы: выяснить, какой должна быть стоимость договора страхования в рамках разных математических моделей и каким образом решается данный вопрос, используя методы теории полезности.

В первой главе «Нетто-премия и обоснованность страховой надбавки» рассмотрен традиционный подход к назначению страховой премии, показана обоснованность начисления страховой надбавки и методы ее вычисления.

Во второй главе «Принципы назначения страховой надбавки на основании вероятности разорения» рассмотрена динамическая модель разорения, модель Крамера-Лундберга и точный расчет вероятности разорения.

Наконец, в третьей главе «Тарифная политика с учетом функции полезности» исследован вопрос о влиянии предпочтений клиента или

3

страховой компании при определении стоимости страховки, получены результаты для различных типов функции полезности.

В приложении к дипломной работе найден интервал величины страховой премии, которую согласится оплачивать страхователь. Расчет произведен на основании функции полезности страхователя.

4

1. Нетто-премия и обоснованность страховой надбавки

Рассмотрим модель индивидуального риска в достаточно общей форме.

Объектом исследования является распределение случайной величины итогового страхового фонда или остатка средств страховой компании по некоторому фиксированному множеству договоров страхования:

уплачивает страхователь страховщику, зачисляемая в страховой фонд по j-му договору, выплата по j-му договору страхования (при наступлении страхового случая).

Сумма d, за которую человек или организация покупает себе страховку,

называется премией. Вопрос в том, какую плату страховая компания должна назначать за то, что примет на себя тот или иной риск. При его решении учитывается большое число разных факторов: вероятность предъявления иска, его ожидаемая величина и связь с другими рисками, которые уже приняты компанией, организационные расходы компании на ведение дела,

соотношение между спросом и предложением по данному виду рисков на рынке страховых услуг и т.д. Однако основным обычно является принцип эквивалентности финансовых обязательств страховой компании и застрахованного. Считаем, что плата за страховку полностью вносится в момент заключения договора, обязательства застрахованного выражаются в уплате суммы d. Обязательства компании заключаются в оплате иска,

величиной Х. Таким образом

5

Посчитаем теперь вероятность разорения (в рамках модели индивидуального риска). Пусть случайные величины Х1, …, ХN выражают иски от этих договоров, S = Х1 + …+ ХN – величина суммарного иска.

Резервный фонд компании:

Поэтому вероятность разорения

Применяя нормальное приближение, получим:

Очевидно, что эта величина совершенно неприемлемая для вероятности разорения. Хотя в среднем и компания, и застрахованный платят одну и ту же сумму, компания имеет риск, связанный с тем, что в силу случайных обстоятельств ей, возможно, придется выплатить гораздо большую сумму, чем . Справедливо, чтобы плата за страховку включала некоторую надбавку l, которая служила бы эквивалентом случайности,

влияющей на компанию. В таком случае резервы компании

где .

И вероятность разорения компании равна

Снова применяя нормальное приближение, получим:

Если нужно, чтобы вероятность не разорения страховой компании была , то должно равняться квантилю (значению, которое

6

заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью)

т.е.

Поскольку описывает величину случайных отклонений от среднего

значения суммарного, добавочная сумма действительно в некотором смысле является компенсацией страховой компании за то, что она взяла на себя опасности, связанные с непредсказуемостью исков.

Соответственно величина премии:

надбавкой. В рассматриваемом случае относительная страховая надбавка одна и та же для всех договоров.

Однако назначение индивидуальных премий по правилу (1.6) не справедливо по отношению к договорам с малыми дисперсиями (Если нетто-

премия велика). Эти договора фактически оплачивают случайности,

связанные с другими договорами.

7

2. Имея ввиду то, что страховая надбавка l связанна именно с суммарной

Для индивидуальных премий получим:

Относительные страховые надбавки равны

Для индивидуальных премий:

Относительные страховые надбавки равны

Вопрос о том, какое из этих правил является более справедливым

(конечно, с точки зрения застрахованных; компания в любом случае получит

8

одну и ту же требуемую сумму ), в актуарной математике

однозначно не решен. Однако, если все договора статистически однородны,

то правила (1.4), (1.7) и (1.11) дают один и тот же результат(т.к.

и ):

Отметим, кроме того, что переход от простейшего правила (1.4) к

правилу (1.7) приводит к уменьшению страховой надбавки для i – го договора, если

Переход от простейшего правила (1. 4) к правилу (1. 11) приводит к уменьшению страховой надбавки для – го договора, если

Рассмотрим теперь конкретную практическую задачу.

Предположим что страховая компания заключила

договоров страхования жизни сроком на один год на следующих условиях: в

случае смерти застрахованного в течение года от несчастного случая

Компания не платит ничего, если застрахованный не умрет в течение года.

Вероятность смерти от несчастного случая одна и та же для всех

обеспечивающую вероятность выполнения компанией своих обязательств,

денежных сумм. Тогда для первой группы договоров индивидуальный иск принимает значения: 0, 1 и 4 с вероятностями

соответственно. Среднее значение и дисперсия величины индивидуального иска есть

Для второй группы договоров индивидуальный иск принимает значения 0, 1

и 4 с вероятностями В этой группе среднее значение и дисперсия индивидуального иска есть

Среднее значение и дисперсия суммарного иска равны:

Рассмотрим теперь вопрос о назначении индивидуальных премий.

1. Если добавочная сумма делится пропорционально нетто-премиям,

то в соответствии с (1.5) относительная страховая надбавка одна и та же для всех договоров и равна

Поэтому для договоров из первой группы премия равна

10

Для договоров из второй группы премия равна

2. Если добавочная сумма делится пропорционально дисперсиям, то в соответствии с (1.8) коэффициент пропорциональности

Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна

так что премия есть

а относительная страховая надбавка

Для договоров второй группы страховая надбавка равна

так что премия есть

а относительная страховая надбавка

Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна

премия

а относительная страховая надбавка

11