Горяйнов / ivanova

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОЛЖСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

факультет естественных и гуманитарных наук

кафедра прикладной математики и информатики

Группа ПМФ-081

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

по направлению подготовки бакалавров: прикладная математика и информатика

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В СТРАХОВАНИИ

руководитель _______________________Виктор Владимирович

(подпись)

Волжский 2012 г.

Содержание

§2. Модели индивидуального и коллективного риска . . . . . . . . . . . . 10

§3. Оптимизация начального капитала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

§4. Применение асимптотических методов к оценке вероятности разорения 21

2

Введение

Вдеятельности любой страховой компании естественным образом возникает ряд оптимизационных задач. Наиболее важными среди них являются: оптимизация начального капитала, назначение страховых премий, политика выплаты дивидендов и др. Хотя решению этих задач посвещено много работ, законченных результатов крайне мало. Многие из полученных результатов носят более теоретический характер, нежели направлены на практическое применение. В частности задача о вероятности разорения связана с событием которое таковым не является, так как в случае превышения суммарного иска резервного фонда компания может взять кредит.

Вданной выпускной работе исследуются, в основном, две задачи.

Первая касается оптимизации начального капитала. При этом используется новый подход, основанный на минимизации издержек, связанных с резервированием капитала, с одной стороны, и возможным кредитом, с другой стороны.

Вторая задача связана с расчетом вероятности разорения страховой компании. Новым здесь является использование асимптотических методов в модели коллективного риска. Асимптотические методы использовались ранее в модели индивидуального риска и это было связано с непосредственным применением центральной предельной теоремы. Такой подход не применим в случае модели коллективного риска. Возникающие трудности удается преодолеть используя недавний результат Круглова В. М. и Королева В. Ю. о предельных распределениях случайных сумм.

Выпускная работа состоит из четырех параграфов.

Впервом параграфе "Цели страхования и участники "описана история возникновения страхования как системы, выделены основные участники страхования и рассмотрено зарождение профессии актуария.

Во втором параграфе "Модели индивидуального и коллективного риска"приводится описание двух основных математических моделей в страховании. Модель индивидуального риска связана с фиксированным портфелем , в котором число договоров является детерминированной величиной. Она, в основном, предназначается для расчета вероятности разорения компании. В модели коллективного риска иски поступают в случайные моменты времени. Таким образом, модель индивидуального риска - статическая модель страхования, а модель коллективного риска - динамическая модель.

Третий и четвертый параграфы являются основными.

Втретьем параграфе "Оптимизация начального капитала"описан классический подход к решению задачи о минимизации капитала, и предложен новый, принципиально другой, подход к определению оптимального значения начального капитала.

Наконец, в четвертом параграфе "Применение асимптотических методов

3

к оценке вероятности разорения"целью исследования является использование недавних результатов об асимптотическом поведении пуассоновских сумм случайных величин, для оценки вероятности разорения в модели коллективного риска.

4

§ 1. Цели страхования и участники

Актуарная математика непосредственно связана с деятельностью, которая носит название страхования. Само страхование как система создания специальных фондов для компенсации ущерба от случайных потерь возникла достаточно давно. Например, в древние времена правитель любого государства создавал запасы зерна на случай неурожая в будущем. Так же и в настоящее время, у каждого из нас есть планы на будущее и некоторые предположения о том, что его или ее в будущем ожидает. Однако опыт учит, что планы не всегда осуществляются, а ожидания подчас не оправдываются. Стремление смягчить последствия возникающих случайных событий и связанных с ними материальных потерь на практике достаточно быстро привело к двум способам действий. В первом случае предприниматели, вкладывающие средства в рискованное дело, объединяются, создавая совместное предприятие и таким образом разделяя случившийся ущерб по участникам. Во втором случае предприниматель платит определенную плату лицу или организации за покрытие будущего случайного ущерба. Здесь уже возникают понятия страхователя и страховщика.

Страховщик - страховая организация, цель которой - уменьшить финансовые последствия повреждения или уничтожения собственности. Страховщик выпускает контракты (договоры), которые являются обязательствами выплатить владельцу собственности определенную сумму (страховую сумму), равную или меньшую, чем понесенные финансовые потери,если собственность повреждена или уничтожена в течение периода действия договора. Платежи, обусловленные этими обстоятельствами и связанные с размером ущерба, называются страховыми выплатами.

Страхователь - в обмен на обязательства, закрепленные в договоре (контракте), владелец собственности выплачивает страховщику вознаграждение (премию).Величина премиальных выплат определяется принципом экономических решений, которые принимаются как страховщиком, так и страхователем. Существует возможность взаимовыгодного страхового договора, когда величина премии по договору, определяемая страховщиком, меньше, чем максимальная сумма, которую владелец собственности готов платить за страхование .

При заключении страхового договора сразу возникает вопрос о его цене. Эта цена должна быть приемлемой как для страхователя, так и для страховщика, и одновременно должна учитывать такие факторы, как вероятность наступления страхового случая, величину возникающего при этом ущерба и т. д. Таким образом, при продаже договора страховщик должен сделать расчеты по финансовым обязательствам страхователя, имея ввиду, что он сам выполнит свои обязательства перед страхователем в будущем, причем в некоторый случайный момент. Эти расчеты делают специалисты - актуарии. В страховой деятельности невозможно обойтись без актуарных расчетов и выводов. В страховании

5

имущества и других видах краткосрочного страхования необходимо достаточно точно описать характер тех рисков, которые страховая компания на себя берет. На основе информации о рисках необходимо определить величину взимаемой с клиента страховой премии. При этом требуется, с одной стороны, привлекать большое количество договоров, а с другой стороны , необходимо, чтобы по каждому заключенному договору можно было расплатиться. Это означает, что ответственность за обеспечение финансовой устойчивости страховой компании в значительной степени лежит на актуариях [9].

Вообще cлово actuarius в Древнем Риме относилось, с одной стороны, к тем, кто вел записи актов в Acta P ublica в сенате и, с другой стороны, к офицерам, которые оперировали с военными счетами и вели контроль над военными поставками.

Ванглийской версии это слово претерпело различные изменения. Сначала так назывались клерки - регистраторы, затем секретари и советники акционерных обществ и, в особенности, страховых компаний. Со временем термин актуарный стали соотносить с теми, кто делает математические вычисления, связанные с вероятностями длительности человеческой жизни, дающими основу расчета контрактов страхования жизни, годовой ренты и т. д.

Всовременном понимании актуарий - это эксперт в математике страхования. Их часто называют социальными математиками, так как они играют ключевые роли в определении стратегии и политики не только страховых компаний, но

ипенсионных и других фондов; правительственные актуарии ответственны за вопросы национального страхования, государственных пенсионных и других схем.

Страхование - это социальный механизм, позволяющий индивидуумам и организациям компенсировать экономические потери, вызванные теми или иными неблагоприятными обстоятельствами.

Страхование призвано заменить определенностью ту неопределенность в экономической стоимости, которая может быть обусловлена будущими потерями.

Страхование может быть определено как некоторый социальный инструмент, в котором индивидуумы, организации посредством своих вкладов исключают определенную долю риска возможных потерь.

Человечество довольно быстро осознало, что наиболее эффективный способ уменьшения потерь от неопределенностей - это кооперативные устройства, позволяющие распределять стоимость потерь для конкретного индивидуума между всеми членами сообщества. Индивидуумы довольно быстро осознали, что трудно предсказывать время, место, величину событий, способных отрицательно повлиять на их экономическое состояние. Страхование стало именно тем инструментом, который помогает индивидууму уменьшить, смягчить влияние неопределенности, неуверенности, неизвестности и т.д.

6

Было бы неправильно страхование (и соответствующую ему математику) сводить лишь, скажем, к страхованию жизни и имущества. Страхование нужно понимать в более широком смысле, а именно, как страхование риска, что включает ситуации, связанные например, с игрой на рынке ценных бумаг.

В страховании не все виды "неопределенностей"и не все "риски"подлежат страхованию. Здесь приняты следующие терминология и классификация, позволяющие описать сферу действия страхования.

Все "неопределенности"принято относить к одной из двух групп: чистые и спекулятивные.

Спекулятивная неопределенность - это та, в которой возможен как финансовый выигрыш, так и финансовый проигрыш (и такие неопределенности, вообще говоря, не страхуются).

Чистые неопределенности связаны с возможностью лишь только потерь (например, от пожара), и многие из них страхуются.

Часто эти два вида неопределенности заменяют одним словом риск. Источником риска и вызванных им потерь является случайность, которую

в страховании относят к одной из двух групп - физических и моральных случайностей.

Кморальным относят те случайности, которые связаны с нечестностью, недобросовестностью, небрежностью и т. п. Риски, вызванные такими случайностями, не рассматриваются как страховые.

Кфизическим же случайностям относят, например, погоду, землятресения, разные природные явления и т. п., затрагивающие всех членов сообщества.

С риском можно "бороться"разными способами.

1.Можно риск сознательно избегать, предотвращая его сознательными решениями и действиями, разумным поведением.

2.Риск можно сократить, перекладывая (перемещая) возможные потери на другие лица или организации.

3.Риск можно стараться редуцировать предсказанием. Статистические методы - важное оружие актуария в предсказании возможных потерь. В страховании предсказание с аккумулированием фондов играет определяющую роль для успешного и гарантированного функционирования страховых компаний.

Хотя страхование - вполне логичное и во многих отношениях замечательное средство "борьбы"с риском, разумеется, не все, неопределенности и связанные с ними финансовые потери им охватываются. Чтобы "риск"подлежал страхованию, он должен удовлетворять определенным требованиям:

7

1.должна существовать достаточно большая группа таких "однородных" страхуемых участников, что их "характеристики"в прошлом действенны и в будущем;

2.причины и серьезность потерь не должны затрагивать сразу большое число участников страхования;

3.причины и серьезность потерь не должны определяться умышленными действиями страхуемых; эти причины должны быть случайными; компенсация за потери осуществляется только при условии возможности определения природы потерь;

4.рассматриваемые опасности должны давать потери, которые легко идентифицируются ("потери трудно подделать");

5.потенциальные потери, вызванные опасностями, должны быть достаточно большими ("нет смысла страховать то, что связано с малыми, легко восполнимыми потерями");

6.вероятность потерь должна быть достаточно малой, с тем чтобы цена страхования была экономически возможной;

7.должна быть доступной статистика реальных данных как база для расчета вероятностей потерь ("репрезентативность и возможность статистического оценивания").

Эти и другие сходные требования составляют некий стандарт требований для страховой деятельности, некоторый минимум "необходимых"условий для выработки правил страхования.

Предмет страхование, его цели и задачи нельзя понять не только без знания внутренней структуры страхования, но и без соответствующей истории.

Можно сказать, что в определенном смысле страхование так же старо, как и само человеческое общество.

Старейшими известными формами страхования являются так называемые bottomry и respondenci контракты (на морские перевозки), обнаруженные в Вавилонских записях, относящихся к периоду 4 - 3 тысяч лет до нашей эры.

Bottomry (bottom - дно, днище) - контракт, являющийся по своей сути закладом, - имел форму заема судовладельцу (например, в виде товара, требующего доставки в определенное место), который в качестве залога предлагал не только судно или другую "осязаемую"ценность, но также и свою жизнь (что означало быть рабом), и жизнь членов семьи. (В случае respondencia в качестве залога выступал товар.)

8

Вавилоняне разработали также систему страховых контрактов, в которых поставщик товара в случае его рискованной перевозки соглашался аннулировать предоставляемый заем, если бы перевозчик был ограблен, захвачен в плен в расчете на выкуп и т. п.

Кодекс Hammurabe (2100 г. до н. э.) легализовал эту практику. Этот кодекс предоставлял также возможность возмещения убытков и компенсации государством или двором индивидуумам, чьи дома пострадали от пожара, насилия, грабежа [8].

Известно, что впоследствии практика этих соглашений - контрактов перешла через финикийцев к грекам, римлянам и индусам. Она использовалась в ранних кодексах Римской цивилизации, законах Византийской империи; она находит свое отражение и в современных законах о страховании.

Задачами актуарной математики являются:

1.расчет риска разорения;

2.оптимизация размера премий;

3.политика выплаты дивидендов;

4.развитие практических навыков решения актуарных задач.

9

§ 2. Модели индивидуального и коллективного

риска

Модель индивидуального риска - это простейшая модель функционирования страховой компании, предназначенная для расчета вероятности разорения. Она базируется на следующих предположениях:

1.Анализируется фиксированный относительно короткий (так что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования) промежуток времени - обычно это один год;

2.Число договоров страхования равно N и неслучайно;

3.Плата за страховку вносится полностью в начале анализируемого периода, никаких поступлений в течение этого периода нет;

4.Известны статистические свойства связанного с отдельным договором страхования индивидуального иска X (поскольку не все договора приводят к иску, некоторые из случайных величин X1; : : : ; XN где Xi - выплата i-му клиенту, равны нулю).

Врамках этой модели разорение определяется суммарным иском

SN = X1 + : : : + XN

к страховой компании. Если этот суммарный иск больше, чем резервы компании, то компания не сможет выполнить все свои обязательства и разориться. Поэтому вероятность разорения компании равна

Иными словами, вероятность разорения - это дополнительная функция распределения величины суммарного иска к компании за рассматриваемый промежуток времени.

Предположим, что в модели (1) случайные величины X1; : : : ; XN - независимы (таким образом, исключаем катастрофические несчастные случаи, влекущие иски сразу по нескольким договорам).

Поскольку суммарный иск представляет собой сумму независимых случайных величин, его распределение может быть посчитано с помощью классических теорем и методов теории вероятностей.

Прежде всего это использование сверток. Пусть 1 и 2 - две независимые, неотрицательные случайные величины с функциями распределения F1(x) и

10