Методички / Г.Б. Исаева Изучение абсолютно упругого удара шаров
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра физики
ИЗУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО УПРУГОГО УДАРА ШАРОВ
Методические указания по выполнению лабораторной работы № 202 по курсу общей физики для подготовки студентов всех направлений
Составители Г.Б. Исаева Л.Г. Соколова
Утверждены на заседании кафедры. Протокол № 5 от 3.03.2000
Рекомендованы к печати методической комиссией по направлению 550600
Протокол № 77 от 21.03.2000
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса КузГТУ
Кемерово 2000
1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 202
ИЗУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО УПРУГОГО УДАРА ШАРОВ
1. Цели работы: 1. Изучить способ определения скорости тел до и после удара на основе законов сохранения.
2. Убедиться в выполнении третьего закона Ньютона при упругом ударе тел.
2. Оборудование: установка для изучения ударов шаров с микросекундомером, набор шаров, миллиметровая линейка.
3.Подготовка к работе: прочитать в учебнике [1] разделы 3, 9, 12 и [2]
§§5.1, 5.2. Ответить на вопросы в конце методических указаний.
4.ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Установка для изучения ударов шаров (рис. 1) представляет собой основание (1), которое располагается строго горизонтально с помощью регулировочных винтов (2). На основании смонтирована стойка (3) с двумя кронштейнами: верхним (4) и нижним (5). На верхнем кронштейне укреплены подвески (6), к которым на нитях подвешены шары
(7). На нижнем кронштейне закреплен электромагнит (8) и две шкалы
(9) для измерения углов отклонения шаров. С помощью винта (10) подвески устанавливаются так, чтобы в положении равновесия шары лишь слегка касались друг друга. При этом указатели шаров должны находиться над нулевыми делениями шкал, которые можно смещать относительно кронштейна (5). Центральности удара добиваются путем перемещения подвесок нитей вдоль стержней, на которых они укреплены.
Время упругого удара шаров измеряется с помощью микросекундомера.
5. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Удар – явление, при котором скорости точек соударяющихся тел за очень малый ( порядка 10-4! -10-5 с) промежуток времени изменяются на конечную величину. Если V - скорость тела массой m до удара,
2
3
!
u - его скорость после удара, то из закона измерения импульса можно найти, что изменение скорости соударяющихся тел равно
|
" |
! |
1 |
|
τ ! |
|
u − |
v = |
|
|
∫ F dt , |
|
m |
||||
где τ |
! |
|
0 |
||
|
|
|
|
||
- время удара; F - результирующая всех сил, действующих на |
|||||
тело: |
" |
! |
|
|
! |
|
|
|
|||
|
F = |
Fвнеш + |
Fудар. . |
||
Здесь |
" |
|
|
|
|
Fвнеш. - результирующая внешних (по отношению к соударяю- |
|||||
щимся телам) сил, например сил тяжести, натяжения, трения и т.д.
Вследствие малости времени |
удара τ импульсом внешних сил |
||||
τ |
" |
|
|
|
|
∫ |
Fвнеш. dt можно пренебречь, поэтому |
||||
0 |
|
|
1 τ |
|
|
|
" |
" |
" |
||
|
u − |
v = |
|
0∫ |
Fудар dt ; |
|
m |
||||
где Fудар − “ударные” силы, возникающие в процессе удара, изменяются в значительных пределах и обусловливают большие давления (порядка 109 –1011 н/м2) на площадях контакта. Следствием удара могут быть остаточная деформация, нагревание тел, звуковые явления.
Перемещения тел за время удара τ пренебрежимо малы, поэтому тела в процессе удара можно считать неподвижными. Процесс удара целесообразно рассматривать в виде совокупности двух фаз.
1 фаза. Происходит сближение (рис. 2,а) тел с относительной скоро- |
|||
" |
− |
" |
" |
стью (v2 |
v1) по линии общей нормали n , в результате чего проекция |
||
относительной скорости точки контакта на нормаль:
4
" − " "
(v2 v1) n
уменьшается до нуля, тела максимально деформируются.
2 фаза. Тела начинают удаляться друг от друга, восстанавливают свою форму, нормальная составляющая относительной скорости точки
контакта |
|
|
" |
|
(" |
− |
" |
||
) n |
||||
u2 |
|
u1 |
||
переменив знак, возрастает до возможных максимальных значений, во- |
||||||||||
обще говоря, меньших значения относительной скорости (" |
− |
" |
||||||||
" ) n до |
||||||||||
удара (рис. 2,б). |
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно гипотезе Ньютона, величина |
|
|
|
|||||||
|
|
" |
− |
" |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
K = |
|
(u2 |
u1) n |
|
|
, |
|
(1) |
||
|
" |
− |
" |
" |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
(v2 |
v1) n |
|
|
|
|
|||
равная отношению модуля нормальной составляющей относительной |
|||||||||||
скорости точки контакта тел после удара |
|
" |
" |
" |
|
к модулю ее зна- |
|||||
|
|
||||||||||
|
(u2 − |
u1) n |
|
||||||||
чения до удара |
|
" |
" |
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(v2 − |
v1) |
|
n , есть коэффициент восстановления, неко- |
|||||||
торая постоянная для соударяющихся тел величина, характеризующая их физические свойства и не зависящая от масс тел и их относительной скорости.
Если коэффициент восстановления K = I, т.е. происходит восстановление относительной скорости, то удар – абсолютно упругий. При абсолютно упругом ударе не происходит переход механической энергии во внутреннюю и другие виды энергии, т.е. механическая энергия сохраняется.
Если коэффициент восстановления К = 0, т.е. относительная скорость после удара равна нулю (тела движутся как одно целое), то удар называют абсолютно неупругим. В остальных случаях 0 < K < I.
Удар называют прямым и центральным, если центры масс соударяющихся тел и векторы"скоростей центров масс в начале удара находятся на общей нормали n , проведенной в точке контакта.
Рассмотрим абсолютно упругий центральный удар двух однородных идеально гладких шаров. Скорость v"1 шара массой m1 до удара отлична от нуля, скорость v" 2 шара массой m2 до удара равна нулю (рис. 3, а).
Так как импульсом внешних сил за время удара τ можно пренебречь, то импульс рассматриваемой системы для удара остается неиз-
менным: |
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
" |
|
+ |
" |
|
|
|
, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 v1 = |
|
m1 u1 |
m2 u2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
(рис. 3,а; |
|
3,б): |
|
|
|
|
|
||||||||||
или в проекции на нормаль n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m1v1=m2u2-m1u1 . |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||
Коэффициент восстановления K = I, поэтому из (1) следует: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
" |
|
" |
" |
|
|
|
u2 − |
(− u1) |
|
|
|
u1 |
+ u2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 = |
|
|
(u2 |
− u1) n |
|
= |
|
|
= |
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
" |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
v1 |
|
|
|
v1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
v1 = u1 + |
u2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||
Решая совместно уравнения (2) и (3), находим “теоретические” |
||||||||||||||||||||||||||
значения скоростей шаров после удара: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
u1т = |
m2 − |
|
m1 |
v1 ; |
|
|
|
|
u2Т = |
|
|
|
2 m1 v1 |
|
|
. |
|
(4) |
||||||||
m1 + |
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
m1 + m2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При изучении удара в данной работе нить длиной l с шаром массой m1 отклоняют на угол α 1 из положения равновесия. После удара
нить с шаром массой m1 отклоняется на угол β 1, нить с шаром массой m2 отклоняется на угол β 2 . Найдем связь угла отклонения нити и ско-
рости шара в положении равновесия (рис. 4).
Примем потенциальную энергию Wpo шара в положении равновесия равной нулю. При отклонении нити на угол α центр масс шара поднимается на высоту h, и потенциальная энергия принимает значение Wph = mgh, где h находится из геометрических соотношений:
l-h =l cosα ,
6
h = l(1− cos α ) = 2l sin2 α2 ,
т.е. Wph = 2mgl sin2 α2 .
Кинетическая энергия в этом положении равна нулю: Wkh= 0, а в mv2 2 .
При переходе из крайнего правого положения в положение равновесия действуют только консервативные силы, поэтому механическая энергия на высоте h равна механической энергии в положении равновесия:
|
mv2 |
|
= 2mgl sin2 α |
|
||||
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||
и |
|
|
α |
|
|
|
||
v = 2 |
gl |
sin |
. |
|
(5) |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Таким образом, зная угол отклонения нити α 1 , можно найти ско- |
||||||||
рость шара v1 до удара, зная углы отклонения нити β 1 |
и β 2 , можно по |
|||||||
формуле (5) найти скорости u1э и u2э после удара экспериментально: |
||||||||
|
u1э = |
2 |
gl sin |
β 1 , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
u2э = |
2 |
gl sin |
β 2 . |
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
7
6.ПОРЯДОК РАБОТЫ НА УСТАНОВКЕ 1. Убедитесь в правильности настройки установки:
а) шары едва касаются друг друга так, что отклонение одного из них не вызывает смещение другого;
б) центры обоих шаров лежат на одной горизонтальной прямой и в одной плоскости с осью электромагнита; в) указатели шаров расположены над нулевыми делениями шкал.
2. Включите сетевой шнур установки в сеть и нажмите клавишу “Сеть”. При этом включится электромагнит, который удерживает отклоненный на угол α 1 правый шар массой m1.
3. Нажмите клавишу “Пуск” - электромагнит отключается, шар “1” сталкивается с шаром “2”, время удара фиксируется микросекундомером. Шары после удара разлетаются в разные стороны на углы β 1 и
β2, соответственно.
4.Чтобы повторить опыт, нажмите на клавишу “Сброс” для обнуления показаний микросекундомера и отожмите клавишу “Пуск”, при этом вновь включится электромагнит.
7.ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ Задание 1. Определение коэффициента восстановления К
1. Изучите инструкцию к работе, ответьте на контрольные вопросы.
2.Измерьте длину нити l от оси подвеса до центра масс шара, угол
α1 отклонения нити в момент времени, когда шар массой m1 удержива-
ется электромагнитом.
3. По формуле (5) найти скорость шара v1, по формулам (4) найдите
скорости u1Т и u2Т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1= |
м; m1 = 0,167 кг; m2 = 0,264 кг. |
|
|
|
|
|
К Fудар |
|
Fудар |
|
||||||
№ |
α , |
β 19, |
β 2Э, |
τ , |
U1T, |
U2т, |
β 1T, |
β 2T, |
ε |
1β , |
ε |
2β , |
, |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
|
град |
град |
град |
с |
м/с |
м/с |
град |
град |
|
% |
|
% |
Н |
|
Н |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средние
значения
8
4.По формуле (6) вычислите углы отклонения нити β 1Т и β 2Т после удара шаров.
5.Измерьте и запишите углы β 1Э и β 2Э отклонения нитей после удара шаров, запишите время τ удара шаров. Найдите средние значения <β 1Э> и <β 2Э>, вычислите погрешности измерений по формулам
ε 1β = |
β 1Т − |
β 1Э 100% |
и ε 2β = |
β 2Т − |
β 2Э 100% . |
|
β |
1Т |
|
β |
2Т |
Сделайте выводы.
6.По формуле (6) вычислите u1Э и u2Э по измеренным значениям
β1Э и β 2Э.
Найдите коэффициент восстановления К по формуле
|
|
|
К = |
u1Э + |
u2Э |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сделайте выводы. Результаты измерений и вычислений занесите в |
|||||||||||||
таблицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. |
Проверка выполнимости третьего закона Ньютона при |
||||||||||||
упругом ударе шаров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Найдите изменение импульсов шаров при ударе: |
" |
||||||||||||
|
" |
" |
|
" |
|
; ∆ |
" |
|
|
" |
|
||
∆ (m1 v) = |
m1 u1 − |
m1 v1 |
(m2 v) |
= m2 u2 − |
m2 v2 , |
||||||||
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или в проекции на нормаль n для “экспериментальных” значений ско- |
|||||||||||||
рости ( vn - проекция скорости на нормаль): |
|
|
|
|
|||||||||
∆ (m1 vn) = − m1(u1Э + v1) ; ∆ (m2 vn) = m2 u2Э . |
|||||||||||||
2. Найти среднее значение времени удара |
τ . |
|
|
||||||||||
Вычислите среднее значение “ударных” сил по формуле |
|
||||||||||||
|
|
|
F |
удар |
|
= |
∆ |
(mvn) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравните Fудар |
и |
Fудар |
, сделайте выводы. |
|
|
|
|||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Оцените величину механической энергии, перешедшей в другие виды энергии (и какие?).
|
m1 v2 |
|
m1 u2 |
|
m2 u2 |
|
|
1 |
|
1Э |
|
2Э |
|
∆ W = |
2 |
− |
|
+ |
|
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
.
9
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называют ударом? Какие фазы можно выделить в процессе удара?
2.Какой удар называется центральным?
3.Что называют коэффициентом восстановления?
4.Почему можно полагать, что закон сохранения импульса выполняется для удара? Сформулируйте этот закон.
5.Может ли импульс “ударных” сил изменить импульс системы соударяющихся тел?
6.Какие силы называются консервативными? Какие из сил, действующих на шарик, консервативные?
7.Какие силы называются диссипативными?
8.Что называют потенциальной энергией? Имеет ли потенциальная энергия абсолютное значение?
9.Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
10. Какой удар называют абсолютно упругим? Какие законы сохранения выполняются для абсолютно упругого удара? Запишите эти законы для центрального удара гладких шаров.
11. В какие виды энергии переходит механическая энергия, если коэффициент восстановления К < I?
12. Каким будет удар, если коэффициент восстановления К = 0? Найдите скорости тел после этого удара.
13. Примените закон сохранения механической энергии для процесса перехода шарика из крайнего правого положения в положение равновесия.
14. Как найти среднее значение “ударных” сил?
ТЕМЫ ДЛЯ УИРС
1. Исследовать зависимость времени упругого удара шаров от угла отклонения шара “I” от положения равновесия перед ударом.
2. Выяснить экспериментально, зависит ли коэффициент восстановления скорости стальных шаров при ударе: а) от массы шаров; б) от угла отклонения шара “I” от положения равновесия.