Методички / В.М. Андреева Изучение квазистатических электрических полей
.pdf
10
Задача 2. Исследование поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра и проводящей плоскости.
Так как силовые линии перпендикулярны к поверхности металлических электродов (рис. 4.5), то можно, вместо поля цилиндра и проводящей
плоскости ПП, рассматривать поле двух разноименно заряженных цилиндров, один из которых – данный цилиндр, второй – заряженный с линейной плотностью (+ τ ) и расположенный симметрично данному относительно проводящей плоскости ПП. Это - метод зеркальных изображений. В любой точке рассматриваемого электростатического поля напряженность
E = E1 + E2 .
На линии ОО′, соединяющей центры цилиндров, Er = − (E1 + E2 ), или, учитывая (4.24):
Er = |
− |
|
τ |
|
|
|
( |
1 |
|
+ |
1 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2ε 0 |
π |
r |
2l − |
r |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
где а ≤ r ≤ l; а – радиус цилиндра. |
|
|
|
|
||||||||||
Используя равенство |
(4.17), |
|
найдем разность потенциалов между |
|||||||||||
исследуемым цилиндром и произвольной точкой поля на линии ОО`:
ϕ (r ) |
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫ dϕ = − ∫ Er dr = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫ |
2πε |
0r |
|
2πε 0 (2l − |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
r) |
|
||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
2l − |
a |
|
|
|
|
|
|
|
2l − |
r |
|
|
|
|||||||||
ϕ |
(r) = |
|
|
|
|
|
ln |
|
− |
ln |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(4.26) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2πε 0 |
a |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Выражение (4.26) |
можно представить как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln( |
2l |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ϕ (r) = |
U |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.27) |
|||||||||
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln( |
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где а ≤ r ≤ l, |
U – разность потенциалов между электродами. Под- |
11
ставляя значения r, выбранные в эксперименте, можно найти теоретические значения потенциала ϕ (r) и сравнить их с измеренными.
5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОЙ ВАННЫ
Как уже отмечалось, при изучении электрических полей проще изучать распределение потенциала, а не напряженности поля.
В основу изучения распределения потенциалов в электростатическом поле положен метод зондов . Сущность этого метода состоит во введении в исследуемую точку поля, создаваемого заряженными проводниками (электродами), специального электрода – зонда, соединенного с прибором, измеряющим приобретенный зондом потенциал относительно какой-либо точки поля, выбранной за начало отсчета потенциала. На практике прямое изучение электростатического поля заменяют изучением его на более удобной модели, представляющей собой электрическое поле постоянного во времени (стационарного) тока в проводящей среде между электродами, форма и расположение которых такие же, как и в изучаемом электростатическом поле. Для создания такой модели пространство между электродами заполняют слабопроводящей жидкостью. Если электропроводность однородной проводящей среды много меньше электропроводности электродов, то при прохождении по ней постоянного тока не возникает объемных зарядов, и поле постоянных токов в однородной слабопроводящей среде практически имеет такую же конфигурацию, что и электростатическое поле в непроводящей среде (вакууме или диэлектрике): оба поля потенциальны, а их линии напряженности перпендикулярны поверхностям заряженных проводников–электродов (вблизи этих поверхностей).
При изучении поля постоянных токов в качестве зонда используют металлический стержень. В проводящей среде заряды будут натекать на зонд, и он примет потенциал той точки поля, в которую помещен.
Экспериментальная установка (рис. 5.1) представляет собой ванну, выполненную из материала с хорошими электро-
12
изоляционными свойствами (оргстекло). В ванну помещают металлические электроды Э1 и Э2, поле между которыми подлежит изучению, и
наливают воду слоем около 5 мм. |
10-3 – 10-7 Ом-1 м-1, а |
Проводимость такого слоя воды порядка |
|
проводимость материала электродов порядка |
107 Ом-1 м-1. Измерения |
проводят с использованием переменного напряжения низкой частоты (50 Гц). В этом случае, учитывая, что расстояние между электродами невелико, можно считать, что потенциал во всех точках исследуемого поля изменяется синхронно, и эквипотенциальные поверхности остаются неизменными. Напряжение подается от источника переменного тока (ИП).
В поле между электродами помещается зонд (3), соединенный с входом “У” электронного осциллографа (ЭО). Дно ванны имеет координатную сетку. Помещая зонд в точки с определенными координатами, с помощью электронного осциллографа определяют потенциал этих точек относительно одного из электродов (на рис. 5.1 относительно электрода Э1).
6. ПОДГОТОВКА УСТАНОВКИ К РАБОТЕ
6.1. Заполнить дно ванны водой.
6.2.Собрать электрическую схему установки согласно рис. 5.1.
6.3.Подключить к сети источник питания ИП и электронный осциллограф ЭО.
6.4.Подготовить электронный осциллограф к работе. Для этого нужно выбрать подходящее усиление по оси “У” (цену
деления шкалы осциллографа по оси “У”).
6.5.Подготовить лист миллиметровки, отметить на нем положение электродов и координатных осей ванны.
13
7. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание 1. Изучить электрическое поле между двумя коаксиальными цилиндрами (см. разд. 4.6, задача 1).
7.1. Поместить цилиндр малого радиуса (Э1) в центр координатной сетки ванны. Второй цилиндр установить соосно с первым.
7.2.Подать напряжение на электроды.
7.3.Поместить зонд в точку, находящуюся на координатной оси ванны на расстоянии одного деления от малого электрода (рис. 7.1). Записать показания электронного осциллографа и расстояние r1
втабл. 1. Отметить на рисунке точку с найденным значением потенциала.
7.4.С помощью зонда найти
Рис.7.1 |
положение |
еще |
9-10 точек с тем же |
|
значением потенциала. Отметить их |
||||
положение на рисунке. |
||||
|
|
2 ÷ 5 делений координат- |
||
7.5. Повторить измерения для значений |
||||
ной оси ванны, занося соответствующие данные в табл. 1. |
||||
7.6. Соединить на рисунке точки |
с одинаковым значением потен- |
|||
циала (построить эквипотенциальные линии). |
|
|||
7.7.Провести на рисунке линии напряженности.
7.8.На миллиметровой бумаге в осях ϕ , ln ar по данным табл. 1
построить зависимость ϕ = ϕ (r). Сделать вывод о соответствии (или несоответствии) полученного графика формуле (4.25).
Таблица 1
Результаты экспериментального изучения поля двух коаксиальных цилиндров
N |
а , м |
ri , м |
ϕ , В |
ln(r / a) |
|
п/п |
|||||
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
14
Задание 2. Изучить электрическое поле между цилиндром и проводящей плоскостью (см. разд. 4.6, задача 2).
7.9. Поместить электроды в ванне таким образом, чтобы горизонтальная ось координатной сетки ванны являлась осью симметрии (ось
ОО′ на рис. 4.5), |
а расстояние между поверхностями электродов со- |
ставляло 10 – 15 |
делений координатной оси. Цилиндр должен быть |
электродом Э1.
7.10. Подать напряжение на электроды.
7.11. Поместить зонд в точку, находящуюся на горизонтальной оси координатной сетки на расстоянии одного деления от цилиндра. Записать показания осциллографа и расстояние r1 в табл. 2. Отметить на рисунке точку с найденным значением потенциала.
Таблица 2 Результаты экспериментального изучения поля цилиндра
|
|
|
и плоскости, расчета ϕ |
rтеор |
|
|
|
|||||
|
а = |
м; |
|
|
l = |
|
|
м |
|
|
||
№ |
ri ,м |
|
ϕ r ,B |
|
2l |
− 1 |
ln( |
2l |
− |
1) |
U ,В |
ϕ rтеор , B |
п/п |
|
|
||||||||||
|
|
r |
r |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.12. Провести измерения согласно пп. 7.4 – 7.7, занося соответствующие данные в табл. 2.
7.13. С помощью вольтметра измерить напряжение U между электродами. Результат занесите в табл. 2.
7.14. Для значений ri из табл. 2 по формуле (4.27) рассчитать
теоретические значения ϕ (r2). Сравнивая теоретические и экспериментальные значения ϕ r, сделать вывод о соответствии (или несоответствии) теории эксперименту.
Задание 3. Методом численного дифференцирования определить напряженность Е поля между электродами.
15
7.15. Пользуясь данными табл. 1 или 2 (по указанию преподавателя), построить график зависимости потенциала ϕ поля от расстояния r между электродами, начиная с r = a.
7.16. Пользуясь построенным графиком, методом численного дифференцирования найти напряженность Е поля для разных значений r, зная, что
|
|
E = |
− |
∆ ϕ |
, |
|
|
|
(7.1) |
|
|
∆ r |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
∆ ϕ - изменение потенциала на отрезке ∆ r, |
∆ r = 5 мм. |
|
||||||
|
Расчет по формуле (7.1) проводить следующим образом. Выбрав |
||||||||
значение r1, установить по графику значение |
ϕ 1, |
соответствующее |
|||||||
значению r1, а затем значение ϕ 2 для r2 = r1 + ∆ r. Разделив ∆ ϕ |
= ϕ 2 - ϕ 1 |
||||||||
на ∆ |
r, получим численное значение напряженности |
Е |
поля, которое |
||||||
следует отнести к середине |
rср |
выбранного интервала |
(r1, |
r1 +∆ r). |
|||||
Расчет выполнить для 7 – 8 |
значений |
r, охватывающих весь интервал |
|||||||
расстояний между электродами. Результаты расчетов занести в табл. 3.
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
Результаты расчета методом численного дифференцирования |
||||||
|
|
напряженности Е поля между электродами |
|
|
|||
r1, м |
|
ϕ 1, В |
ϕ 2 , В |
∆ ϕ , В В |
Е , В / м |
rср , м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.17. По данным табл. 3 построить график зависимости напряженности Е электрического поля от расстояния rср.
8. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называют напряженностью электростатического поля? Как направлен вектор напряженности Е? Что называют силовой линией вектора Е?
2.Чему равен вектор напряженности поля точечного заряда на расстоянии r от него?
3.Докажите, что электростатическое поле потенциально.
16
4.Сформулируйте принцип суперпозиции полей для: а) дискретной совокупности зарядов; б) непрерывно распределенного заряда.
5.Что называют потенциалом данной точки электростатического поля? Что называют эквипотенциальной поверхностью?
6.Как графически изобразить электростатическое поле? Каково взаимное расположение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей?
7.Как связаны напряженность и потенциал? Куда направлен вектор градиента потенциала?
8.Что называют потоком вектора E ?
9.Сформулируйте теорему Остроградского–Гаусса.
10. Найдите напряженность электростатического поля, создаваемого бесконечно длинным металлическим цилиндром радиусом а, равномерно заряженным с линейной плотностью τ , на расстоянии r от оси цилиндра.
11. В условиях предыдущего вопроса найдите разность потенциалов между цилиндром и точкой, находящейся на расстоянии r > a от оси цилиндра.
12. Что можно сказать о потенциале внутри и на поверхности металлического цилиндра, о напряженности внутри металлического цилиндра?
13. Изобразите графически поле двух коаксиальных равномерно заряженных бесконечно длинных металлических цилиндров.
14. В чем сущность метода зеркальных изображений? Опишите метод на примере поля бесконечно длинного равномерно заряженного металлического цилиндра и проводящей плоскости. Изобразите графически это поле.
15. Используя метод зеркальных изображений и принцип суперпозиции полей, найдите напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным цилиндром и проводящей плоскостью П в произвольной точке А (рис. 8.1) .
9. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. – М.: Наука, 1982.
2.Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1990.
3.Калашников С.Г. Электричество. – М.: Наука, 1977.
17
Составители Вера Михайловна Андреева
Валерий Васильевич Дырдин Галина Борисовна Исаева
ИЗУЧЕНИЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
Методические указания к лабораторной работе № 105 для подготовки студентов всех направлений
Редактор Е.Л. Наркевич
ЛР № 020313 от 23.12.96
Плдписано вв печать 16.03.2000.Формат 60× 84/16. Бумага офсетная. Отпесатано на ризографк. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 50 экз. Заказ
Кузбасский государсвтенный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.
Типография кузбасского государственного технического университета. 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.