Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

гими словами, доказать, что в борелевском поле A найдутся непересекающиеся множества B1, ,BN («атомы» A ) такие, что

N

Bk ,

k1

илюбой элемент A A представим в виде

бом определяется вероятностная мера на измеримом пространстве, A , и обратно, все такие меры получаются описанным выше способом.

Упражнение 8.

Пусть E1, A1 и E2 , A2 – измеримые пространства, 1, 2 –

измеримые отображения, определяемые следующим образом: 1 :E1, A1 E2, A2 ; 2 : E2 , A2 E1, A1 . Доказать, что отображе-

отображение измеримого пространства E, A в измеримое про-

странство I , AI . Проверить, что если последовательность fn n 1

438

является последовательностью A -измеримых функций, то сле-

дующие функции: sup fn , inf fn , lim fn , lim fn также A -измеримы.

n n

Упражнение 10.

Пусть i ,i 1,2, – измеримые отображения измеримого про-

странства E, A в пространства Ei , Ai , i 1,2, Показать, что тогда отображение измеримого пространства E, A в измери-

мое пространство E1 E2 En , A1, , An , , определенное формулой x 1 x , 2 x , , n x , , является измеримым.

Упражнение 13.

Доказать, что A является -алгеброй.

Упражнение 14.

Доказать, что пересечение всех -алгебр, получающихся пополнением A по мерам M, также является -алгеброй.

Упражнение 15.

Пусть ,A,P – вероятностное пространство, , яв-

ляется случайной величиной с математическим ожиданием, опре-

деляемым по формуле P d . Доказать следующие

часто встречающиеся в теории вероятностей неравенства: а) неравенство Коши – Буняковского:

439

для любых случайных величин , из рассматриваемого вероятно-

стного пространства справедливо 2 2 2 ;

б) 2 2 ;

в) для любых случайных величин , из рассматриваемого вероятностного пространства справедливо следующее соотношение:

2 2 2 2 ;

д) неравенство Чебышева:

0 и t 0 : P t t 1 ;

е) соотношение, являющееся важным частным случаем неравенства Коши – Буняковского: a1, ,an ,b1, ,bn ;ai ,bi R1, i 1,2, n :

Указание: для доказательства данного неравенства надо применить соотношение Коши – Бунякоского из а) к таким случайным величинам , из рассматриваемого вероятностного пространства,

0, j k;

для которых P a j , bk

1, j k.

Упражнение 16.

Пусть A является пополнением -алгебры A по системе всех

конечных мер . Проверить, что A совпадает с пополнением A

по системе всех вероятностных мер .

Упражнение 17.

Проверить, что если p t, x, y – переходная плотность, то фор-

мула

440

определяет переходную функцию t, x, для множества .

1, x ;

Здесь x E, A, x – индикатор множества (или

0, x

характеристическая функция). Вывести нормальность рассматриваемой переходной функции из условия

и ее консервативность из условия

441

17.Ефремов А.В. Глубоко неупругие процессы. Физическая энциклопедия. М.: Большая российская энциклопедия, 1998. Т.1. С.497.

18.Barone V., Predazzi E. High-energy particle diffraction. Springler-Verlag, 2002.

19.Ефремов А.В. Структурная функция. Физическая энциклопедия. М.: Большая российская энциклопедия, 1998.

Т.5. С.6.

20.Deshpande A., Milner R., Venugopalan R., Vogelsang W. // Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 2005. V.55. P.165.

21.Klein M., Riemann T. // Z. Phys. 1984. V.C24. P.151.

22.Ченг Т.-П., Ли Л.-Ф. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. Пер. с англ. М.: Мир, 1987.

23.Фейнман Р. Взаимодействие фотонов с адронами. Пер. с англ. М.: Мир, 1975.

24.Abramowicz G., Caldwell A.C. // Rev. Mod. Phys. 1999. V. 71. P. 1275.

25.Callan C.G., Gross D.J. // Phys. Rev. Lett. 1969. V.22. P.156.

26.Фосс Р. // УФН. 1996. Т. 166. С.927.

27.Ellis R.K., Stirling W.J., Webber B.R. QCD and collider physics. Cambridge University Press, 1996.

28.Yao W.-M., et al. // J. Phys. 2007. V.G33. P.1.

29.Altarelli G. et al. // Nucl. Phys. 1978. V.B143. P.521 (erratum: Nucl. Phys. 1978. V.B146. P.544).

30.Bardeen W.A. et al. // Phys. Rev. 1978. V.D18. P.3998.

31.Грибов В.Н., Липатов Л.Н. // ЯФ. 1972. Т.15. С.781.

Докшитцер Ю.Л. // ЖЭТФ. 1977. Т.73. С.1216. Altarelli G., Parisi G. // Nucl. Phys. 1977. V.B26. P.298.

32.Marage P. // arXiv: hep-ph/9911426 1999.

33.Ellis R.K., Furmanski W., Petronzio R. // Nucl. Phys. 1983. V.B212. P.29.

34.Martin A.D. et al. // Phys. Lett. 2007. V.B652. P.292.

35.Close F.E. An Introduction to quark and partons. Academic Press, London, 1979.

36.Frampton P.H. Gauge field theories. Benjamin/Cummings, Menlo Park, 1987.

37.Dremin I.M., Levtchenko B.B. // Phys. Lett. 1992. V.B292.

443

P.155.

38.Дремин И.М. // УФН. 1994. Т.164. С.785.

39.Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая; пер. с англ. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

40.Лейбниц Г.В. Сочинение в 4-х томах. М.: Мысль, 1982. Т.1, С. 413.

41.Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. М.: Наука, 1975.

42.Hata M. Fractals in mathematics. Pattern and waves: qualitative analysis of nonlinear differential equations. Studies in mathematics and its applications. V.18. Eds. by Nischida T., Minura M., Fujii H. Tokyo: Kinokuniya Comp.lid. 1986. P. 259.

43.Pascal E. Esercizi e note critiche di calcolo infinitesimale. Milano, 1895.

44.Brimschvieg L. Les etapes de la philosophie. Mathematique. Paris, 1912.

45.Hawkins Th. Lebesque’s theory of integration. Its origins and development. London, 1970.

46.Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе; пер. с англ. М.: Мир, 1967.

47.Бржечка В.Ф. // УМН. 1979. Т. IV. С.15.

48.Hardy G.H. // Trans. Amer. Math. Soc. 1916. V.17. P.301.

49.Gerver J. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1969. V.62. P.668.

50.Gerver J. // Amer. J. Math. 1971. V.93. P.33.

51.Hankel H. Untersuchungen uber die unendlich oft oszillierenden und unstetigen funktionen (1870) // Ostwalds Klassiker der exacten Wiessenschaften. Leipzig, 1905. №153. P.44.

52.Houel J., Hankel H. Untersuchungen uber die unendlich oft oszillierenden und unstetigen funktionen. Fin Beitrag zur Festellung des Begriffs der function uberhaupt. Universitats programm zum 6 Marz 1870. Tubingen – Bull. Sci. Math et Astron. 1870. V.1. P.117.

53.Schwarz H.A. // Berlin: Ges. Math. Abhandlungen, 1890. B. 2. S.269.

54.Dugac P. // Archive for Hist. Exact. Sci. 1973. V.10. P.41.

444

55.Du Bais-Reymond P. Verch einer classification der Willkurlichen functionen reeler argumente nach ihren Aenderungen in kieinsten Jutervallen. // Crelle: J. fur die reine und angewandte mathematiques. 1875. V.79. P.21.

56.Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. N.Y.: Freeman, 1982.

57.Сакс С. Теория интеграла. Пер. с англ. М.: Иностранная литература, 1949. М.: Факториал-Пресс, 2004.

58.Denjoy A., Felix L. // L’Enseig Math. 1957. Ser.2, V.3. P.1.

59.Darboux G. // Ann. Sci. Ecole Norm. Super. 1875. Ser.2, V.4. P.57.

60.Dini U. Sopra una classe di funzioni finite e cjntinue che non hanno mai una derivata (1877). // Roma : Opere Matem. 1954. V.11. P.5.

61.Dini U. Fondamenti per la teorica delle funzioni de variabili reali. Pisa, 1878.

62.Darboux G. // Ann. Sci. Ecole Norm. Super. 1879. Ser.2, V.8. P.195.

63.Knopp K. // Math. Zeitschrift. 1918. V.2. P.1

64.Зигмунд А. Тригонометрические ряды; пер. с англ. М.: Мир, 1965.

65.Гапошкин В.Ф. // УМН. 1966. Т.XXI. С.3.

66.Hadamard J. // Journ. Math. 1892. V.8. P.101.

67.Куратовский К. Топологи;. пер. с англ. М.: Мир. Т.1, 1966; Т. 2, 1969.

68.Бэр Р. Теория разрывных функций; пер. с франц. М.-Л.: ГТТИ, 1932.

69.Окстоби Дж. Мера и категория; пер. с англ. М.: Мир,

1974.

70.Banach S. // Stud. Math. 1931. V.3. P.174.

71.Mazurkiewicz S. // Stud. Math. 1931. V.3. P.92.

72.Mouldin R.D. // Pacif. J. Math. 1979. V.83, №1. P.199.

73.Безикович А.С. Исследование непрерывных функций в связи с вопросом об их дифференцируемости. // Матем. сб. 1924. Т.31, №3-4. С.529.

74.Saks S. // Fund. Math. 1932. V.19. P.211.

75.Orlicz W. // Fund. Math. 1947. V.34. P.45.

76.Яглом А.М. Корреляционная теория стационарных слу-

445

чайных функций. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

77.Винер Н. Я – математик. Пер. с англ. М.: Мир, 1964.

78.Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Топология выборки. М.: Университетская книга, 2005.

79.Oldham K.B., Spanier J. The fractional calculus. N.Y.: Academic Press, 1974.

80.Потапов А.А. // Нелинейный мир. 2003. Т.1. С.69.

81.Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.Н. Интегралы и производные дробного порядка и их применения. Минск: Наука и техника, 1987.

82.Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977.

83.Lawrence J.K., Schrijver C.J. // Astrophys. J. 1993. V.411, №1. P.402.

84.Нигматуллин Р.Р. // Теор. и мат. физика. 1992. Т.90.

С.354.

85.Nakajama T., Yakubo K., Orbach R.L. // Rev. Mod. Phys. 1994. V.66. P.381.

86.Saied E.A. // Chaos, Solitons & Fractals. 2000. V.11. P.1369.

87.Захарченко В.Д., Брыжин А.А. Использование дробного дифференцирования в задачах цифровой обработки доплеровских сигналов при оценке центра тяжести спектра. Доклады III-й Международной конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение». М.: изд. РНТО РЭС им. А.С. Попова. 2000. Т. 1. С.311.

88.Fractional calculus and its applications. Lecture notes in mathematics. Eds. by Dold A., Eckmann B. Berlin: SpringerVerlag, 1975. V.457.

89.Fractional Calculus. Research notes in mathematics. Eds. by McBride A.C., Roach G.F. London: Pitman advanced publishing program, 1985. V.128.

90.Rutman R.S. // Теор. и мат. физика. 1994. Т.100. С.476.

91.Rutman R.S. // Теор. и мат. физика. 1995. Т.105. С.393.

92.Applications of fractional calculus in physics. Ed. by Hilfer R. Singapore: World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd., 2000.

93.Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физ.-мат. лит., 2003.

446

94.Рехвиашвили С.Ш. // Письма в ЖЭТФ. 2004. Т.30. С.33.

95.Климантович Ю.Л. Введение в физику открытых систем.

М.: Янус-К, 2002.

96.Забурдаев В.Ю., Чукбар К.В. // ЖЭТФ. 2002. Т.121.

С.299.

97.Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Климантович Ю.Л. // ДАН. 2003. Т.390. С.605.

98.Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Климантович Ю.Л. // ДАН. 2003. Т.391. С.35.

99.Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Климантович Ю.Л. // ДАН. 2003. Т.391. С.614.

100.Uchaikin V.V. // Physica A. 1998. V.255. P.65.

101.Учайкин В.В. // УФН. 2003. Т. 173. С.847.

102.Учайкин В.В. // ЖЭТФ. 2003. Т.124. С.903.

103.Санчев А.Н., Уткин С.Г. // ЖТФ. 2003. Т.73. С.1.

104.Бакунин О.Г. // УФН. 2003. Т.173. С.757.

105.Станиславский А.А. // Теор. и мат. физика. 2004. Т.138.

С.491.

106.Станиславский А.А. // ЖЭТФ. 2004. Т.125. С.805.

107.Учайкин В.В., Сибатов Р.Т. // Письма в ЖТФ. 2004. Т.30.

С.27.

108.Учайкин В.В., Коробко Д.А. // ЖТФ. 2004. Т.74. С.12.

109.Санчев А.Н., Уткин С.Г. // ЖЭТФ. 2004. Т.126. С.502.

110.Учайкин В.В. // ЖТФ. 2004. Т.74. С.123.

111.Драников И.Л., Кондратенко П.С., Матвеев Л.В. //

ЖЭТФ. 2004. Т.125. С.1082.

112.Engheta N. // IEEE Antennas and propagation magazine, 1997. V.39. P.35.

113.Прохоров Ю.В., Севастьянов Б.А. Вероятностей теория. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. М.: Большая российская энциклопедия, 1999. С.77.

114.Боровков К.А. Вероятностей теория. Физическая энциклопедия. М.: Большая российская энциклопедия, 1998.

Т.1. С.259.

115.Дынкин Е.Б. Основания теории марковских процессов. М.: Физматгиз, 1959.

116.Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз,

1963.

447