Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

Аналогично изложенному выше для одномерного случая, обозначения и дополнительные уравнения адаптированы таким образом, чтобы выполнялись соотношения, используемые ранее при исследовании двухчастичных корреляций в физике высоких энергий, то есть так, чтобы частный гауссов случай 2 соответст-

вовал обычной гауссовой форме корреляционной функции (8.11). Следовательно, для симметричного, субгауссова многомерного

устойчивого по Леви распределения плотности источника двухчастичная корреляционная функция имеет следующий вид:

Компоненты матрицы квадратов размерных параметров и соответствующего относительного импульса могут быть определены в системе отсчета, наиболее удобной для экспериментатора. Это обу-

3

словлено тем, что qi Rij2qj является (нерелятивистской) билиней-

i, j 1

ной формой, которая инвариантна (в нерелятивистском случае) относительно выбора системы координат, следовательно, qR2q может быть разложено по базису в любой системе отсчета.

Эллипсоиды характеризуются инверсией матрицы R2 , которая

обозначается символически R 2 и часто называется ковариационной матрицей:

3

Rij2 Rjk2 ik . j 1

Распределения плотности, имеющие эллиптические линии уровней1, могут быть вычислены интегрированием одномерного распределения [169]. Эллипсоидальные линии уровней могут быть преобразованы к сферическим линиям, учитывая, что двухчастичная корреляционная функция характеризуется матрицей R2 , которая является симметричной матрицей и всегда может быть записана как R2 RRT . Матрицу R можно рассматривать как своего рода

1 Здесь имеется в виду, что для распределений данного типа линии постоянной плотности имеют эллипсоидальную форму.

388

«квадратный корень» из матрицы квадратов радиусов. Физически матрица R дает ориентацию главных осей эллипсоидов профиля плотности в координатном пространстве и характеризует также растяжение вдоль главной оси, которое необходимо выполнить, чтобы преобразовать единичную сферу в эллипсоид, соответствующий линиям уровней. Следовательно, билинейная форма в показателе корреляционной функции также может быть записана как

Как видно из (8.22) двухчастичные корреляционные функции имеют обобщенную экспоненциальную форму, но, по сравнению с обычным гауссовым случаем, здесь присутствует дополнительное преобразование масштаба qi qi 2 , которое иногда в литературе также упоминается как растяжение. Следовательно, получающиеся корреляционные функции можно рассматривать как многомерные «растянутые» экспоненциальные параметризации. Очевидно, для

2 остаются справедливы используемые ранее гауссовы формы,

вто время как для 2 максимум функции корреляции становится более резким и ярко выраженным, чем для гауссова распределения, и это приводит также к более длинным медленно спадающим «хвостам». Поскольку такое, с более резким максимумом, но, с другой стороны, почти гауссово, поведение достаточно часто наблюдается в экспериментальных данных для бозе-эйнштейновских корреляций в реакциях с участием частиц и тяжелых ионов высоких энергий, можно ожидать, что полученная выше растянутая экспоненциальная или субгауссова параметризация является полезной для характеристики таких наборов экспериментальных данных даже в случае многомерного анализа [170].

Как следует из представленного выше обсуждения, возможно, представление данных для двухчастичных корреляций в обычном,

линейно-линейном виде C2 q не всегда является оптимальным.

Для того чтобы продемонстрировать возможную степенную структуру показателя корреляционной функции, вероятно наиболее приемлемым будет дважды логарифмическая зависимость двухчастичной нормированной кумулянтной корреляционной функции сле-

дующего вида: ln ln K2 q ln от ln q. Для зависимостей дан-

389

ного типа функция двухчастичных корреляций имела бы вид прямой линии, параметр наклона которой определялся бы индексом стабильности Леви [170].

Поведение функции распределения плотности на больших расстояниях может быть аналитически определено следующим образом:

таким образом, плотность источника уменьшается по степенному закону1 для достаточно больших значений аргументов при 0 2. Случай 2 соответствует гауссовому распределению плотности источника. Распределение плотности в общем случае выражается в d 1 измерениях для 2 в следующем виде [312]:

ная к матрице радиусов R, функция s x соответствует масштаб-

ной переменной, которая является постоянной для каждой эллипсоидальной поверхности, характеризующей постоянные значения плотности источника. Можно увидеть, что физический смысл имеет вариант данного уравнения в d 3 измерения, в системе эллипсоидальных расширений2, где матрица размерных параметров («радиусов») соответствует R diag X ,Y ,Z , обратная матрица имеет

вид R 1 diag 1 X ,1Y ,1Z и масштабная переменная распреде-

ления для источника, обладающего эллипсоидальной симметрией определяется как

1Важно отметить, что подобное распределение плотности считается характерным именно для объектов, обладающих фрактальной структурой.

2Здесь подразумевается, что расширение вдоль каждой из трех главных осей эллипсоида имеет свое значение.

390

Необходимо отметить, что такие масштабные переменные возникают естественным образом в решениях, обладающих эллипсоидальной симметрией, в рамках гидродинамики файрбола, которые могут соответствовать нецентральным столкновениям тяжелых ионов в нерелятивистской области энергии [313 – 315].

Дополнительно к рассмотренному выше аналитическому результату для f s случай многомерных устойчивых распределе-

ний подробно обсуждается в [312, 316].

§9. Устойчивые распределения для расширяющихся источников

Зависимость пространственно-временных дисперсий в соотношениях (8.9), (8.10) от импульса пары возникает вследствие коррелированности импульсов частиц с 4-мерными пространственными точками их испускания, то есть с так называемыми « x k » корреляциями. Важно отметить, что к подобным корреляциям могут приводить различные механизмы, среди которых наиболее важным для столкновений релятивистских тяжелых ионов является коллективное расширение источника вторичных частиц. В последние годы, особенно с началом экспериментальной программы на RHIC, значительные усилия были направлены именно на выделение вклада коллективного потока на стадии застывания из K -зависимости размерных HBT-параметров. Подробное обсуждение модельных подходов и экспериментальные результаты представлены, например, в [303, 317]. Однако источник, находящийся в термодинамическом равновесии, может проявлять температурные градиенты вдоль поверхности застывания, которые приводят к дополнительным «x k » корреляциям. Более того, спектры частиц, особенно пионов, получают заметные вклады от распада нестабильных резонансов через некоторое время после застывания. Эти распадные пионы имеют тенденцию испускаться из некоторой области, имеющей бóльшие пространственно-временные размеры, чем область испускания прямых пионов. Причем, вследствие кинематики,

391

распадные пионы дают вклад преимущественно в область малых импульсов k и, как следствие, малых относительных импульсов. Учет влияния резонансов на фемтоскопические корреляции сделан,

вчастности, в модельно-зависимом подходе «ядро-гало» для структуры источника [304]. Важно отметить, что оба указанных эффекта (температурные градиенты и распады резонансов) могут приводить к возникновению « x k » корреляций испущенных частиц даже если сам источник эмиссии не обладал ими [318].

Вданном параграфе применяется широко используемая именно

врелятивистской ядерной физике, но не инвариантная относительно продольного расширения, параметризация Бертча – Пратта. Выбор такой системы отсчета обусловлен тем, что при данной параметризации в LCMS-системе временная компонента пространст- венно-временной геометрии источника входит совместно с пространственными только для « o »-направления и в определение соответствующего параметра размера источника (8.13).

Если корреляции между пространственными координатами и временем являются незначительными, то возможно модельно-зави- симое предположение, что функция эмиссии при каждом значении импульсов частиц может быть написана как факторизованное произведение распределения в координатном пространстве и во времени:

S x,k S x,k h t .

Можно предположить, что при каждом значении k распределение в координатном пространстве соответствует трехмерному субгауссовому распределению Леви с индексом стабильности x , в то время как временное распределение соответствовало бы одномерному распределению Леви с индексом стабильности t . В общем случае пространственный и временной индексы стабильности могут быть различны.

Такой вид предположений для факторизации может быть сделан в качестве приближения не только для нерелятивистского, или медленно расширяющегося источника, но в некоторых случаях также для релятивистских расширяющихся источников, а именно, когда функция эмиссии изучается в LCMS [319], и движение является нерелятивистским относительно данной системы отсчета.

392

Результирующая двухчастичная корреляционная функция для цилиндрически симметричных источников может быть записана в следующем виде:

Важной особенностью (8.23) является то, что пространственный и временной масштабы могут входить в зависимость по относительному импульсу для « o »-направления qo с различными показате-

лями x и t . Следовательно, детальный анализ формы корреляционной функции в терминах разложения Бертча – Пратта может быть использован для извлечения этих различных индексов равно как и информации относительно пространственного и временного масштабов протяженности источника. Однако, как хорошо известно, случай t x становится вырожденным, и только комби-

нация Ro2 o2 t2 может быть определена из анализа.

Более реалистичный случай должен включать возможные корреляции между временем образования частицы и пространственным положением, которые выходят за рамки рассматриваемого подхода, основанного на факторизации.

§10. Устойчивые распределения и трехчастичные бозе-эйнштейновские корреляции

На основе изложенного выше можно сделать вывод, что двухчастичные корреляции не чувствительны к относительной фазе двухчастичной обменной амплитуды. Записав последнюю в виде

Aij d 4 xS x, K exp iqx ij exp ij ,

видим, что фаза ij не входит в корреляционную функцию (8.4).

Важно отметить, что данный вывод несправедлив для многочастичных корреляций более высоких кратностей, то есть с участием более, чем двух частиц.

Определение 8.7. В физике фундаментальных взаимодействий двухчастичная корреляционная функция в области фемтоскопии

393

определяется как отношение трехчастичной инклюзивной плотности распределения к произведению одночастичных инклюзивных плотностей:

j 1

где k1,k2 и k3 – 4-векторы импульсов частиц рассматриваемой тройки.

Важно отметить, что в определяемую в соответствии с (8.24) корреляционную функцию дают вклады корреляции более низких порядков (двухчастичные). Для исключения последних необходимо рассматривать нормированные кумулянтные корреляционные функции, представляющие собой истинные трехчастичные корреляционные функции. Учитывая (7.9), справедлива следующая взаимосвязь корреляционных функций в области фемтоскопии и нормированных кумулянтных корреляционных функций:

K3 k1,k2 ,k3 C3 k1,k2 ,k3 C2 ki ,k j ,

3

или, учитывая определение 8.3,

K3 k1,k2 ,k3 C3 k1,k2 ,k3 K2 ki ,k j 1.

3

Здесь i, j 1,2,3; суммирования выполняются по всем возможным

перестановкам (их число приведено под соответствующим знаком). Соответственно, нормированная и симметризованная кумулянтная корреляционная функция определяется следующим образом:

Данная функция определяет сумму фаз трех двухчастичных обменных амплитуд [320, 321]

394

Учитывая явные выражения двухчастичных обменных амплитуд Aij для области малых относительных импульсов, можно получить

следующее выражение [320]:

угол зависит от пространственно-временных дисперсий нечетно-

го порядка x3 функции испускания и от производных по K точ-

ки наибольшей относительной эмиссионной способности x 3 .

Важно отметить, что полученное выражение отражает асимметрию источника относительно его центра и в частном случае гауссовой параметризации исчезает.

Таким образом, важным является вопрос о принципиальной возможности получения информации о параметре асимметрии устойчивых законов с помощью методов интерферометрии частиц. Для изучения данной проблемы ниже рассматривается частный случай статистики Бозе – Эйнштейна и соответствующая функция корреляций с тремя частицами. В общем случае данная функция может иметь сложную форму [246, 307]. Однако если эмиссия частицы является полностью хаотической и если может быть гарантирована справедливость приближения плоской волны, то корреляционная функция с тремя частицами, подчиняющимися статистике Бозе – Эйнштейна, может быть записана в следующем виде:

395

где i, j 1,2,3 и для упрощения записи введено следующее услов-

ное обозначение: f i, j f qij . Знаки суммирования и произве-

дения указывают арифметические действия по всем возможным перестановкам (их число приведено под соответствующим знаком).

Последнее слагаемое в формуле (8.27) соответствует трехчастичной кумулянтной корреляционной функции

где двухчастичная кумулянтная корреляционная функция в соответствии с определением 8.3 и формулой (8.6) может быть записана в следующем виде:

Здесь верхний знак соответствует рассматриваемому случаю статистики Бозе – Эйнштейна, нижний – статистике Ферми – Дирака. Следовательно, нормированная и симметризованная кумулянтная корреляционная функция оказывается достаточно простой функцией параметра асимметрии устойчивых распределений Леви:

Специальный случай 1 рассмотрен подробно в [168]. Необходимо отметить, что, как и ожидалось, параметр смещения x не входит в данный результат, поскольку данный параметр, связанный с центром источника испускания частиц, не измеряется на эксперименте, и поэтому не является существенной количественной характеристикой в физике интерферометрии частиц. Для простоты и без потери общности подхода, можно предположить, что начало координат выбранной системы отсчета совпадает с центром источника эмиссии пар с данным K и фиксировано условием x 0.

Важно подчеркнуть, что результат (8.28) справедлив только в пределах приближения плоской волны и при пренебрежении возможной частичной когерентностью в источнике [246, 307]. Если эти условия выполняются, то параметр асимметрии 1,1 мо-

жет быть определен на основании зависимости от разности им-

396

пульсов двух частиц нормированной трехчастичной кумулянтной корреляционной функция w. Угол в (8.26) непосредственно

пропорционален , параметру асимметрии устойчивых распреде-

лений, и коэффициенты пропорциональности могут быть определены на основе экспериментальных данных для двухчастичных корреляций. Таким образом, доказано, что для одномерного устойчивого распределения параметр асимметрии источника может, в принципе, быть определен с помощью комбинированного использования двух- и трехчастичных бозе-эйнштейновских корреляционных функций. Следовательно, все существенные параметры характеристической функции, а значит и функции плотности источника, могут быть восстановлены в рамках рассматриваемого класса распределений плотности.

Необходимо отметить, что случаи 1 представляют особый

интерес, поскольку в данных случаях область определения f q

является односторонней: , и , соответственно. Такие

виды устойчивых по Леви распределений могут иметь применение, например, для описания развития процессов во времени при столкновениях частиц высоких энергий: образование вторичных частиц не может начаться раньше начального столкновения, следовательно, соответствующий временной интервал должен быть ограничен снизу.

После того, как параметры , и определены, может быть непосредственно построено устойчивое по Леви распределение плотности. В большинстве случаев эти функции также известны в аналитической форме. Трудность состоит в том, что они могут быть выражены в терминах рассмотренных выше функций очень общего вида, а именно, в терминах H -функций Фокса. Более детальное обсуждение представлено в [322, 323].

Вданном параграфе пренебрегается возможной поправкой, связанной с наличием у источника ядра и гало. Данное приближение связано с тем, что в рамках модельного подхода «ядро-гало» можно непосредственно продемонстрировать аннулирование конечного результата (8.28) [300].

Вболее общем случае расширяющихся источников корреляции Бозе – Эйнштейна характеризуют только некоторые части полного

397