Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

§5. Метод фемтоскопии в эксперименте

Впоследние годы экспериментальные методы в области фемтоскопии получили заметное развитие для соответствия существенному прогрессу, достигнутому как в теоретических подходах, так и количестве и качестве экспериментальных данных. Изложенный выше формализм справедлив для корреляций пар тождественных частиц. В данном параграфе рассматривается метод построения корреляционной функции в эксперименте, справедливый в общем случае фемтоскопии.

Вследствие общего характера рассмотрения в данном параграфе конкретный вид разложения относительного момента, определяемый, как правило, спецификой эксперимента, не важен.

Вусловиях реального эксперимента формальные определения двухчастичной корреляционной функции (8.2) и (8.3) используются достаточно редко.

Определение 8.6. Двухчастичная корреляционная функция на эксперименте определяется как отношение распределения пар частиц рассматриваемых типов по относительному импульсу q при

некотором заданном импульсе пары K к некоторому реперному распределению:

Здесь AK q – распределение пар данного типа, образованных час-

тицами из одного события. Распределение BK q называется ре-

перным или фоновым распределением. В идеальном случае распределение BK q во всем аналогично распределению AK q , за исключением присутствия фемтоскопических корреляций. Дополнительный множитель K q вводится для учета как корреляций,

имеющих не фемтоскопическую природу и не полностью компенсированных фоновым распределением, так и всевозможных поправок, связанных с особенностями того или иного эксперимента. Фоновое распределение строится, как правило, методом перемешивания, в рамках которого пары данного типа формируются из частиц разных событий. Число «смешанных» пар, приходящихся на одну

378

«реальную» пару, то есть на пару, сформированную частицами из одного события, как правило, выбирается в интервале 10 – 50 в зависимости от особенностей эксперимента и решаемой физической задачи.

Подробное описание методик, используемых для построения фонового распределения, учета особенностей эксперимента, а также для фитирования экспериментальных корреляционных функций, можно найти, например, в [243, 303].

§6. Корреляционный пик и устойчивые распределения

Структура корреляционного пика двухчастичной корреляционной функций представляет собой исключительно интересную и важную физически измеримую количественную характеристику. Данная структура содержит информацию о доле долгоживущих резонансов [304] и, следовательно, может использоваться для изучения фундаментальных свойств КХД. В частности, такие исследования в области фемтоскопии могут сигнализировать о восстановлении UA 1 -симметрии в реакциях с участием тяжелых ионов при

высоких энергиях, ожидаемую в случае образования сильновзаимодействующей материи в деконфайнментном состоянии [305]. Структура корреляционного пика может использоваться для определения обобщенной постоянной Хаббла для поперечного потока в релятивистской ядерной физике [306], она также чувствительна к возможной частичной когерентности в источнике [307]. Дополнительно обсуждение данных вопросов и другие примеры представ-

лены в [246, 273].

Существенная информация по общей структуре пика двухчастичной корреляционной функции в области фемтоскопии и касающаяся невозможности разложения в ряд Тэйлора корреляционных функций в окрестности точки q 0 представлена в [308] и в при-

ложении [309], где было указано, что класс устойчивых распределений играет важную роль в исследованиях негауссовых корреляционных функции для частиц, подчиняющихся статистике Бозе – Эйнштейна. Нарушение гауссова приближения в окрестности точки q 0 было продемонстрировано с помощью теоретического анализа и численного моделирования в [310]. Результаты модели-

379

рования, включающего медленно спадающие (с длинными «хвостами») и/или асимметричные распределения плотности источника, подтвердили данный результат [311].

В данном разделе, строго говоря, корреляционная функция зависит от двух переменных, но принимая по умолчанию, что рассматриваются пары, импульс которых находится в некотором интервале, и для краткости зависимость от K явно не указывается.

Представленные выше результаты являются, по существу, следствием того факта, что двухчастичный фазовый объем растет как q3 при малых значениях относительного импульса q. Следовательно, число, например, пионных пар стремится к нулю при q 0, подразумевая, что числитель и знаменатель корреляционной

функции стремятся к нулю одинаковым образом limC2 q 0 0.

q 0

Это является причиной того, что экспериментально невозможно определить C2 q 0 точно: экспериментальные ошибки для кор-

реляционной функции расходятся1 при q 0. Соответственно,

экспериментальные ошибки dC2 q dq и d 2C2 q dq2 увеличи-

ваются даже больше, чем для C2 q . Таким образом, функция кор-

реляций двух частиц может быть измерена только при ненулевых относительных импульсах пары, то есть для инвариантного поло-

определяется совокупностью таких факторов, как объем доступной статистики, экспериментальное разрешение двух треков, точность определения и учета вклада взаимодействий в конечном состоянии. Для современных корреляционных измерений в релятивистской ядерной физике типичные значения для Qmin составляют 5-10 МэВ.

При Qinv 0 значение бозе-эйштейновской функции корреляций может быть оценено различными методами экстраполяции, напри-

1 Здесь имеется в виду, что по мере приближения к точке Qinv 0 экспе-

риментальные ошибки резко увеличиваются из-за уменьшения статистики. Данное уменьшение, как было указано выше, происходит вследствие стремления к нулю двухчастичного фазового объема.

380

мер, с помощью модельно-зависимого предположения для функциональной формы1 C2 Qinv , или с помощью модельно-

независимых разложений Эджуорта или Лаггера [269].

§7. Корреляционная функция в случае одномерных устойчивых распределений

Для наглядности в данном параграфе рассматривается случай одномерного статического источника тождественных частиц и наиболее существенные идеи модельно-независимого подхода демонстрируются на простейшем примере. Ниже полученные результаты будут обобщены на случай более реалистичного, расширяющегося источника, для которого присутствуют корреляции между координатным и импульсным пространством, и также для более сложных случаев. Таким образом, в данном разделе предполагается, что источник может быть охарактеризован факторизованной формой функции эмиссии (8.5), где x и k – одномерная координата и импульс частицы соответственно.

7.1. Аналитичность характеристической функции

Основной физический интерес для фемтоскопии представляет, как было указано выше, именно область малых значений q, то есть

область корреляционного пика. При выполнении исследований в области фемтоскопии часто предполагается (явно или неявно), что

функция f q в (8.6) является аналитической в окрестности q 0

и что разложение Тэйлора вплоть до второго порядка характеризует поведение самой функции хорошо даже при больших значениях q. Однако как было показано выше при рассмотрении класса устойчивых распределений, данное предположение справедливо только при 2, что соответствует гауссовым корреляционным

1 Как правило, используется предположение о гауссовой форме корреляционной функции. Однако данное предположение является простейшим случаем и требует выполнения достаточно жестких дополнительных условий.

381

функциям. В то же время устойчивые распределения формируют несчетное бесконечное множество. Таким образом, требование аналитичности характеристической функции накладывает серьезные ограничения на выбор возможного вида характеристической функции и, следовательно, функции источника. Поскольку данное утверждение является существенным, необходимо еще раз под-

черкнуть, что аналитичность функции f q в окрестности q 0

является именно предположением, и именно данное предположение очень сильно сокращает возможные формы распределений плотности источника [166, 168].

В частном случае, если функция f q является аналитической в

окрестности точки q 0 и если возможно разложение по полиномам Лаггера / Эрмита / сферическим гармоникам в сходящийся ряд, то можно получить

f q 1 iq x q2 x2 2 ,

где

xn dxxn f x .

Это, в свою очередь, подразумевает, что справедливы следующие соотношения:

где параметр линейного размера гауссова источника R определен как ширина функции испускания источника

R x2 x 2 .

Такой тип чрезмерно упрощенных соотношений, повторенных в многомерных формах, часто используется, чтобы «доказать», что двухчастичная корреляционная функция в области фемтоскопии «должна иметь гауссову форму», не исследуя при этом область применимости приближений, которые приводят к данному результату.

Фактически, гауссов подход для фемтоскопических двухчастичных корреляций часто дает хорошую первую аппроксимацию для реальных экспериментальных данным, в частности, если статистическая точность данных не соответствует выполнению детального

382

анализа формы. Одной из причин для такого поведения могло бы быть то, что эмиссия элементарных частиц является сложным, вероятностным процессом, в особенности в столкновениях с очень высокими энергиями. Если предполагается, что имеется много независимых процессов, которые изменяют (сдвигают) на x координату x, и что координата конечной точки является суммой многих, подобно распределенных, случайные изменений (сдвигов) x xi , и изменения характеризуются конечными дисперсиями,

i

то для таких случайных переменных распределение вероятности для x стремится к гауссовому, если все условия центральной предельной теоремы (ЦПТ) удовлетворены. Описанные выше условия могут быть реализованы в различных каскадных процессах (пере) рассеяния. Поскольку фурье-образ гауссиана является также гауссианом, то в таких случаях ожидаемая форма двухчастичной корреляционной функции является также гауссианом.

Однако, как обсуждалось выше, существует много вероятностных процессов для аддитивных случайных переменных, когда предельное распределение существует, но гауссова версия ЦПТ не применима. Такие процессы характеризуются большими флуктуациями, медленно спадающими по степенным законам «хвостами» распределений и неаналитическим поведением характеристической функции распределения вероятности при малых значениях своих аргументов. Как было показано выше, распределения для таких процессов удовлетворяют условиям обобщенной центральной предельной теоремы (оЦПТ) и являются устойчивыми распределениями или распределениями Леви.

Ниже рассматривается форма двухчастичной корреляционной функции без ссылки на определенную модель, то есть с более общей точки зрения математической статистики.

7.2. Общий случай характеристической функции

В качестве обобщенной параметризации данных в области фемтоскопии могут рассматриваться устойчивые распределения. Тогда, как было указано выше, для одномерных характеристических функций в области фемтоскопии удобно использовать соглашение

383

S , , , ; A S , , , ;1 . Учитывая, что метод двухчастич-

ной корреляционной функции позволяет исследовать распределение источника только по относительным координатам, можно ожидать, что физически применимым является подкласс устойчивых распределений, не чувствительных к параметру асимметрии , то

есть симметричные устойчивые распределения S ,0, , ; A . В

случае симметричных распределений наиболее явно определяется физический смысл параметров и . Для исследований в области фемтоскопии параметр положения распределения соответствует положению центра источника пар с данным K, то есть центра области однородности, x. Параметр масштаба распределения соответствует параметру R, определяющему характерный линейный масштаб данного распределения некоторой физической величины или объекта1. Для соглашения S ,0, , ; A удобно использовать

соотношение R 2, для S ,0, , ;1 – равенство R2

соответственно. Таким образом, в физических обозначениях в общем случае для параметризаций данных в области фемтоскопии

тра распределения, так же как и асимметрия, не входит в наблюдаемые на эксперименте корреляции, что полностью соответствует физическому смыслу рассматриваемого корреляционного анализа. Таким образом, форма характеристической функции (8.20), с одной стороны, удовлетворяет оЦПТ и соответствует устойчивому распределению, с другой стороны, подразумевает, что двухчастичные фемтоскопические корреляции, посредством которых измеряется

1 В случае фемтоскопии – это характерный размер источника вторичных частиц, то есть характерный линейный масштаб распределения точек испускания частиц.

384

на эксперименте квадрат модуля преобразованного1 распределения источника, являются нечувствительными как к параметру асимметрии устойчивых по Леви распределений, так и к положению

центра x источника.

Подставляя (8.20) в (8.6) можно получить, что устойчивые распределения приводят к следующей, относительно простой, форме двухчастичной корреляционной функции для одной переменной:

Видно, что данная форма имеет дополнительный свободный параметр – индекс стабильности Леви – по сравнению с обычным гауссовым (или показательный) распределением, в которых значение фиксировано и равно двум (или единице).

Представляется исключительно важным отметить, что (8.20) не является аппроксимацией для формы характеристической функции

формула представляет собой точный и глубокий математический результат, являющийся следствием оЦПТ, которая, в свою очередь, определяет возможные формы образа Фурье для функций плотности устойчивых распределений. Следовательно, (8.20) справедливо при всех значениях q, и соответствующее соотношение (8.21) хорошо подходит для детального анализа формы двухчастичной корреляционной функции в физически допустимой обширной области по q, в том числе, и при очень малых переданных импульсах.

Таким образом, если источник вторичных частиц характеризуется устойчивым распределением, то двухчастичную корреляционную функцию всегда можно записать в форме (8.21) во всем диапазоне изменения q.

Некоторые типы распределений одной переменной, наиболее важные для экспериментального изучения двухчастичных корреляций и фундаментальных свойств материи в экстремальных состояниях в релятивистской ядерной физике и физике высоких энергий, более подробно рассматриваются ниже.

1 Здесь имеется ввиду фурье-преобразование функции распределения источника.

385

Пример 8.1.

Как было указано выше, гауссово распределение соответствует частному устойчивых по Леви распределений при 2. Мас-

штабный параметр R x2 x2 соответствует стандартному

отклонению. Распределение плотности в координатном пространстве и двухчастичная корреляционная функция для соответствующего источника:

C2 q 1 exp q2 R2 .

Пример 8.2.

Лоренцевское (Коши) распределение соответствует частному случаю 1. Параметр масштаба R является стандартным масштабным параметром распределения Лоренца. Распределение плотности в координатном пространстве и соответствующая двухчастичная корреляционная функция определяются как

C2 q 1 exp qR .

Данная форма (с верхним знаком) корреляционной функции достаточно часто применялась для описания Qinv -зависимости двухчастичных бозе-эйнштейновских корреляций при столкновениях адронов и тяжелых ионов в области промежуточных и высоких энергий [246, 275].

Пример 8.3.

Асимметричное распределение Леви представляет собой несколько более сложный, но все еще относительно простой случай, соответствующий 12, 1. Функция плотности источника в координатном пространстве и корреляционная функция характеризуются следующими односторонними распределениями:

386

C2 q 1 exp qR .

Данное распределение плотности также было использовано, хотя в рамках несколько другого формализма, для характеристики двухчастичных корреляций в [308].

Таким образом, простота (8.21) является причиной использова-

ния соглашения S ,0,R 2, x; A : в случаях 1 и 2 полу-

чаются формулы, которые уже имели множество применений в исследованиях по интерферометрии частицы в физике высоких энергий.

§8. Устойчивые распределения многих переменных и геометрия источника

В физике высоких энергий и особенно в релятивистской ядерной физике, вследствие протяженной и сложной геометрии источника, часто изучаются именно многомерные двухчастичные корреляционные функции.

Простейший случай соответствует не расширяющемуся (статическому) источнику, испускающему все частицы мгновенно. Такой источник описывается факторизованной формой функции испускания:

S x,k f x g k t t0 .

Если функция распределения плотности f x является многомер-

ным устойчивым по Леви распределением, которое характеризуется эллипсоидальными контурными линиями, то реконструкция распределения плотности источника становится одномерной решаемой задачей [169].

Соответствующая трехмерная, симметричная, субгауссова устойчивая по Леви характеристическая функция имеет вид

имеющего размерность линейного размера («радиуса») источника.

387