Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

Для исследований в области фемтоскопии было предложено несколько вариантов специфических разложений относительного импульса по отношению к среднему импульсу пары. Это разложение Бертча – Пратта [254, 272], Яно – Кунина – Подгорецкого [267, 271] и инвариантное разложение Буда – Лунда [242, 246, 273 – 275].

3.1. Параметризация Бертча – Пратта

Данная параметризация оказалась особенно удобной при изучении столкновений релятивистских тяжелых ионов, в которых образуются источники со значительной (пространственной) протяженностью и сложной структурой [254, 272]. Система координат выбирается следующим образом: ось пучка определяет ось, соответствующую направлению продольного расширения источника и называемую продольной; вторая ось выбирается параллельно поперечной компоненте среднего импульса пары K и соответствует поперечному («внешнему», «во вне») расширению источника, третья ось выбирается перпендикулярно к первым двум по правилу правой тройки и соответствует боковому направлению расширения. В соответствии с английскими названиями осей данная система координат и параметризация называется также «osl »-системой1 (рис. 8.42). В данном случае o -ось определяется для каждой пары частиц.

Параметры ширины гауссиана (8.11), то есть размерные HBTпараметры, декартовой параметризации связаны с пространствен- но-временными характеристиками функции испускания следую-

Необходимо отметить, что имеются десять независимых про-

странственно-временных дисперсий x x , из которых только

шесть могут быть измерены экспериментально. Таким образом, в данном случае имеется шесть функций трех кинематических пере-

1Название отражает тот факт, что основной интерес представляют характеристики источника в поперечной плоскости.

2На данном рисунке приведены именно англоязычные названия осей.

368

менных, Y – быстроты пары, K и азимутального угла между вектором K и вектором прицельного параметра b.

Рис. 8.4. Координатная система, соответствующая « osl »-параметризации, в трехмерном пространстве

Азимутальная симметрия источника частиц в центральных столкновениях переводится в координатной системе « osl » в отражательную симметрию относительно s -направления:

S xo , xs , xl ,t;K ,Kl S xo , xs , xl ,t;K ,Kl .

Таким образом, для более простого случая азимутально-симмет- ричных столкновений функция испускания обладает симметрией относительно преобразования xs xs , что приводит к исключению трех из десяти пространственно-временных дисперсий, линейных относительно xs , и корреляционная функция становится сим-

ристик, которые объединяются в четыре размерных HBT-параметра

369

общую форму (8.9) и сравнить полученный результат с декартовой параметризацией (8.11). Таким образом, можно найти, что размерные параметры HBT связаны с различными комбинациями пространственных и временных характеристик источника вторичных частиц следующими соотношениями:

Видно, что данные размерные параметры HBT «смешивают» информацию о пространственных и временных характеристиках источника нетривиальным образом. Поэтому интерпретация данных параметров зависит от системы отсчета, в которой определен относительный импульс q [259, 265, 276, 279 – 287]. Важно отметить,

что перекрестный параметр Rol2 исчезает в любой системе отсчета,

в которой источник симметричен относительно xl xl [271]. Для симметричных столкновений это выполняется для так называемых LCMS-систем1 отсчета, в которых Y 0 [284, 288].

Общий случай корреляций с учетом азимутальной переменной подробно рассмотрен в [242, 274, 289]. Экспериментальные результаты, полученные при изучении азимутально-чувствительных ха-

1 Название системы отсчета представляет собой аббревиатуру от англий-

ского Longitudinal Co-Moving System. LCMS – это система отсчета, кото-

рая двигается относительно лабораторной системы в продольном направлении со скоростью, равной скорости пары в данном направлении, и в которой продольная компонента импульса (скорости) пары равна нулю.

370

рактеристик методом HBT в столкновениях тяжелых ионов, представлены в [290, 291].

Важным предельным случаем является K 0. В данном пределе никакой поперечный вектор не позволяет различать «o » и « s » компоненты, а пространственно-временные характеристики, таким образом, становятся инвариантными относительно замены

того, для недиагональных элементов справедливы следующие ра-

При K 0 указанные соотношения для пространственновременных дисперсий могут быть нарушены, приводя к генерации поперечного коллективного потока в столкновениях тяжелых ионов. Если данный тип коллективного потока достаточно слаб, лиди-

возможность определить продолжительность процесса эмиссии вторичных частиц как

t t2 t2

для частиц с малыми K [288, 292, 293]1.

Важно отметить, что возможность извлечения продолжительности эмиссии из корреляционного анализа экспериментальных данных, отмеченная в [288, 292, 293], обеспечила одну из главных фи-

1 Данный параметр иногда называют «время жизни» эффективного источника. Нельзя путать введенную характеристику с полным временем между моментом столкновения тяжелых ионов и стадией застывания, которое не измеряется непосредственно в эксперименте.

371

зических мотиваций для разработки, в частности, второго поколения экспериментов в релятивистской ядерной физике для измерения корреляционных функций с высокой статистикой и высоким качеством экспериментальных данных. Тем не менее существенно отметить, что последующие модельные исследования для столкновений релятивистских тяжелых ионов [294 – 297], где продолжительность эмиссии ожидается относительно небольшой (порядка поперечной протяженности источника), показали, что выделениеt является до некоторой степени модельно зависимой процедурой, поскольку относительная малость двух последних членов в (8.14) не всегда может быть гарантирована [242].

3.2. Параметризация Яно – Кунина – Подгорецкого

Параметризация Яно – Кунина – Подгорецкого (ЯКП) представляет собой альтернативную декартовой «osl » параметризацию корреляционной функции, используемую для азимутальносим- метричных столкновений. Данная параметризация использует ограничение массовой поверхности для того, чтобы выразить общую гауссову форму (8.9) в терминах следующих компонент относи-

речная компонента, которая может быть определена стандартным образом через декартовы компоненты, в частности, в «osl » систе-

двухчастичная корреляционная функция может быть записана как

где, как и выше, параметр хаотичности и все размерные параметры являются функциями K;U K – 4-мерная скорость пары для рас-

сматриваемой параметризации, трехмерный вектор которой имеет только продольную компоненту:

372

Таким образом, в данном случае, как и для параметризации Бертча

– Пратта корреляционная функция определяется параметром хаотичности и четырьмя параметрами, R0 , R , R и U , каждый из ко-

торых является функцией K и Y . Быстрота пары в рассматриваемом случае ЯКП-параметризации определяется стандартным образом: YYKP K 0,5ln 1 1 и меняется аддитивно при продольных преобразованиях Лоренца.

Важное преимущество ЯКП-аппроксимации экспериментальных данных (8.15) заключается в том, что размерные HBT-параметры

Rj K , j 0, , инвариантны относительно продольных преобра-

зований Лоренца и не зависят от продольной скорости системы, в которой выполняются измерения. Система отсчета, в которой пара

частиц находится в состоянии покоя, то есть K 0, называется

системой Яно – Кунина – Подгорецкого. Размерные параметры наиболее просто интерпретируются именно в ЯКП-системе, для которой справедливо:

R2 K ,Y xs2 .

Для получения данных соотношений применяется подход, полностью аналогичный рассмотренному выше методу установления соотношений между размерными HBT-параметрами и пространст- венно-временными характеристиками источника для декартовой параметризации Бертча – Пратта.

Параметризации (8.12) и (8.15) используют различные независимые компоненты q, но являются эквивалентными математически. Параметры ЯКП-параметризации могут быть вычислены из параметров декартовой «osl »-параметризации и наоборот [270]. Справедливы следующие соотношения для прямого и обратного преобразований соответственно [242]:

373

Видно, что ЯКП-параметризация становится неопределенной, если аргумент подкоренного выражения становится отрицательным. Такой случай является физически реализуемым, если, в частности, источник обладает непрозрачностью [296, 299]. Данное обстоятельство обусловило появление модифицированной ЯКПпараметризации [296, 297], в рамках которой указанная проблема решается за счет менее интуитивно понятной интерпретации модифицированных размерных параметров. Данное замечание демонстрирует, что указанные выше соотношения обеспечивают существенную проверку внутренней последовательности гауссовской формы, применяемой для аппроксимации измеренной корреляционной функции, и физической интерпретации получаемых размерных HBT-параметров.

3.3. Инвариантная параметризация Буда – Лунда

Для столкновений с очень высокой энергией процесс эмиссии частицы становится явлением с высокой степенью релятивизма. В данном случае инвариантность функции эмиссии может быть отражена, если используется инвариантная относительно продольно-

также вводится в качестве гиперболической, аддитивной относительно преобразований Лоренца в продольном направлении, про-

странственно-временная псевдобыстрота 0,5ln t rz t rz .

374

Для дальнейшего рассмотрения вводятся обозначения для инвари-

антных временной q и продольной q разностей импульсов,

являющихся сопряженными переменными для пары пространст- венно-временных переменных , .

Тогда общая гауссова форма (8.7) двухчастичной корреляционной функции для параметризации Буда – Лунда (БД) может быть записана в следующем виде:

обозначает пространственно-временную псевдобыстроту точки максимальной светимости1 для частиц с данным фиксированным значением 4-импульса ki [300].

§4. Физическая интерпретация параметров источника

Из общих формул (8.9) и (8.10) видно, что в любом случае изучение двухчастичной корреляционной функции позволяет определять пространственно-временные характеристики источника частиц с некоторым определенным значением K. Однако источник испускает частицы и, соответственно пары, с различными 4- импульсами, то есть источнику соответствует целый спектр по k или по 4-импульсу пары. Таким образом, указанные характеристики, то есть дисперсии гауссианов, относятся только к некоторой части с центром в точке x K и не характеризуют полной про-

странственно-временной протяженности всего источника. Определение 8.5. Части полного источника, геометрические ха-

рактеристики которых в пространстве-времени зависят от 4-

1 Здесь имеется в виду точка с максимальным значением эмиссии частиц рассматриваемого типа.

375

импульса пары и характеризуются дисперсиями гауссиана (8.9) или (8.10), называются областями однородности источника.

Термин «область однородности» был введен в [301]. Физический смысл термина заключается в том, что именно из данной области источника пары частиц с некоторым K, точнее, для которых

4-импульс заключен в интервале K, K K , испускаются с наи-

большей вероятностью. Данная ситуация графически проиллюстрирована на рис. 8.5. В гауссовом приближении область однородности описывается четырехмерным пространственно-временным эллипсоидом, центрированным в точках x K , и характеризуется

функцией источника S x,K . Протяженности области однородно-

сти определяются пространственно-временными характеристиками x x K из (8.9). В зависимости от направления и модуля K

измеряются различные области объема источника эмиссии вторичных частиц рассматриваемого типа. Центр области однородности зависит от K и расположен между центром полной области испускания и наблюдателем. Таким образом, как было указано выше, размерные параметры HBT позволяют получить доступ на эксперименте только к относительным пространственно-временным ха-

рактеристикам x x K и не зависят от «эффективного центра

источника» x .

Необходимо отметить, что пространственно-временные диспер-

ника только в специальном случае, когда функция эмиссии может быть факторизована S x,k f x g k .

Понятие области однородности является ключевым для физической интерпретации размерных HBT-параметров в параметризации Яно – Кунина – Подгорецкого. Три ЯКП-радиуса интерпретируются непосредственно как временная (темпоральная), продольная и поперечная линейные масштабы (длины) однородности в соответствующей системе. Для источников со значительной протяженностью в продольном направлении подобных тем, которые образуются в столкновениях тяжелых ионов при высоких энергиях, на основании многочисленных модельных исследований [283, 295 – 297]

376

было показано, что скорость K с хорошей точностью соответ-

ствует скорости центра x K области однородности для пар час-

тиц с данным четырехмерным импульсом.

Рис. 8.5. Схематичное изображение источника эмиссии частиц и областей однородности, соответствующих излучению пар частиц в некоторых диапазонах 4- импульса

Таким образом, ЯКП-система отсчета может быть интерпретирована как система покоя эффективного источника пар частиц с данным K. Размерные HBT-параметры в данной системе характеризуют темпоральную, продольную и поперечную протяженность эффективного источника в его собственной системе покоя. Более детально пространственно-временная интерпретация параметров ЯКП обсуждена и изучена в [283, 296, 302].

377