Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегрированные системы управления и проектирования

Файл:

Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

.pdf

Скачиваний:

174

Добавлен:

17.08.2013

Размер:

5.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4742 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Таблица П2.1. Результат действия левостороннего оператора Римана – Лиувилля для некоторых функций

№

x , x a

, x a, C

п.п.

x a 1

x a

, Re 0

x c

x a

1,1 ; 1;

a x

2 1

a c 0, C

x a 1 b x 1

x a 1

x a

2 F1

,1 ; ;

b a

Re 0, C, a x b

x a 1

, Re 0, a x b

b x

b a b x

x a 1 x c 1

x a 1

a x

2 F1

,1 ; ;

a c

Re 0, C, a c 0

x a 1

, Re 0, a c 0

x c

a c x c

x a

x c

1 2

x c

a c

x c

Re 1, a c 0

e x

, x a

x a

E1, 1 x a

x a 1 e x

e a

1 F1 ; ; x a ,

Re 0

x a 1 e2i x

2 1 2 x a 1 2 ei x a J 1 2 x a ,

Re 0

sin x a

i 1 1 2

x a

2 1

1 F1 1; 1;i x a

cos x a

1 F1 1; 1; i x a

408

Таблица П2.1. (продолжение)

№

x , x a

x , x a,

п.п.

1 2

sin

x a

2 1

J 1 2

x a

1 2

x a

1 1 2

x a

sin

x a

cos

x a

1 F1 ; ;i x a 1 F1 ; ; i x

a ,

Re 1 1 2

sin

x a

1 2

J 1 2 x a ,

sin 2 x a

cos

cos 2 x a

1 1

1 2

x a

cos x a

2 1

J 1 2

x a

I 1 2

x a

ln x a

x a

ln x a 1 1 ,

x a 1 ln x a

x a

ln x a ,

Re 0

x a 1 lnm x a

m m d k

m k

x a

x a ,

k 0 k

Re 0, m 1,2,

x a

J x a

x a

, Re 1

x a 2 3 4

x a 1 2

J 1 2 x a Y 1 2 x a ,

Y 1 2 2 x a

Re 0

x a 2 3 4

x a 1 2

I 1 2 x a K 1 2 x a ,

K 1 2 2 x a

Re 0

409

Таблица П2.1. (окончание)

№	x , x a
					x , x a,	C
п.п.				Ia	x , x a,	C
п.п.
22	x a 1			x a 1 2 F1 , ; ; x a ,
	x a 1			x a 1 2 F1 , ; ; x a ,
	2 F1 , ; ; x a
	2 F1 , ; ; x a		Re 0
23	x a 1 E , x a	x a 1 E , x a , Re 0, Re 0

Таблица П2.2. Результат действия левостороннего оператора Римана – Лиувилля на прямой для некоторых функций

№

x , x R

, C

п.п.

b ax 1

1 a

a 0, ax b, Re 1

i 2

1 ix

Re 0, 0, 1, 2,

x a 1

x a

, Re 0

e x

e x , Re 0

sin x

, 0, Re 1

cos x

cos

sin x

e x

sin x

e x

, arctg

, Re 0, 0

cos x

Таблица П2.3. Интегралы произвольных порядков для некоторых функций

№

x , x R1

x , x

п.п.

x 1, Re 1

ax b 1

, Re 1,

arg a b

1 a

410

Таблица П1.3. (окончание)

№

x , x R1

x , x

п.п.

x a x b

1 2

, Re 1

x a x b

1 2

x a x b

e x

e x , Re 0

1 2

a1 2 x 2 1 4K 1 2

, Re 0

sin x

, Re 1, 0

cos x

1 2

sin

2 1 4 Y 1 2

, Re 1 2, 0

cos

J 1 2

sin

e x sin

cos x

cos

Re 0, 0, arctg

x 2 J

x , 0, Re 2 3 2

2 Y

0, Re 0, Re 2 3 2

Важно отметить, что в ряде работ было выполнено дальнейшее развитие подхода Л. Шварца, связанное с разностями дробного порядка. Оператор дробного дифференцирования вводится в этих работах как

		k
lim	1			h .
			f x kh
h 0 k 0		k

Выяснено, что при надлежащем толковании данного предела сужение представленного оператора на подпространство шварцевых обобщенных функций, сосредоточенных на полуоси R1 , совпадает

411

с определением дробного интегрирования (порядка ) по Л. Шварцу.

С помощью операторов дробного интегродифференцирования Эрдейи – Кобера были введены дробные степени обыкновенных дифференциальных операторов

L x 1 Dx 2 Dx 3 x n Dx n 1 I,

D d dx,

и рассмотрены их свойства в пространствах обобщенных функций

Fp .

Приложение 3

Аналитический аппарат теории вероятностей

П3.1. Характеристическая функция

Определение П3.1. Характеристической функцией случайной

величины	с функцией распределения F x P x	называ-
ется комплекснозначная функция

	f t exp it eitxdF x .	(П3.1)

В частности, если для рассматриваемой случайной величины существует плотность распределения вероятностей p x dFdx ,

то характеристическая функция представляет собой фурьепреобразование плотности распределения:

f t eitx p x dx.

Для дискретной случайной величины, принимающей значения xk с вероятностями pk , характеристическая функция представима

следующим рядом:
f t eitxk pk .	(П3.2)
k

Характеристическая функция определена при вещественных t для любой случайной величины. Ниже представлены основные свойства характеристических функций:

1) f 0 1, f t 1, t ;

412

2) функция f t		равномерно непрерывна на числовой оси;
3)	при каждом	целом n 0 для любых комплексных чисел
zi in 1	и любых вещественных чисел tj nj 1 справедливо неравенст-

во f tk tl zk zl 0;

k,l 1

4)эрмитовость: f t f t ;

5)характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагае-

мых:	f t	f t f t ;
6)	если	и – случайные величины, причем a b, где

a,b – постоянные, то f t f at eibt .

Свойства 1 – 4 являются определяющими.

Теорема П3.1 (Бохнера – Хинчина). Для того чтобы непрерыв-

ная функция f t ,	заданная на вещественной оси и удовлетво-
ряющая условию	f 0 1, была характеристической функцией,

необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определенной.

Теорема П3.2 (обращения). Функция распределения F x

од-

нозначно определяется своей характеристической функцией

t .

Если x, y – точки непрерывности

F x ,

то имеет место формула

обращения

F x F y

lim c

e itx e ity

f t dt.

(П3.3)

В частности, если

f t t

интегрируема на бесконечности, то

F x F y

e itx e ity

f t dt.

Если характеристическая функция

f t

суммируема на вещест-

венной оси, то функция распределения F x

имеет ограниченную

413

непрерывную плотность		p x dF dx , которая определяется по
следующей формуле:
			1
	p x		1		e itx f t dt.
	p x			2	e itx f t dt.
1	n			2
1	n	–	конечномерный случайный			вектор и
Пусть , ,	*	–	конечномерный случайный			вектор и
пусть F x P 1 x1, , n xn , x x1, , xn * Rn –						n -мерная
функция распределения случайного вектора .

Определение П3.2. Характеристическая функция случайного вектора определяется по следующей формуле:

f t Mei t, ei t,x dF x , (П3.4)

где t t1, ,tn , t, x tk xk – скалярное произведение.

k 1

Свойства характеристических функций многомерных распределений во многом аналогичны свойствам характеристических функций случайных величин [343].

П3.2. Производящая функция

Определение П3.3. Пусть – целочисленная неотрицательная случайная величина с плотностью вероятности (распределением вероятностей) pk P k , k 0,1,2, Производящей функцией

данного распределения вероятностей (производящей функцией случайной величины ) называется функция


z, z zk pk ,	(П3.5)

k 0

где z – комплексное число z 1.

Достаточно часто случайная величина в аргументе производящей функции не указывается.

Производящая функция аналитична внутри единичного круга z 1. Распределение вероятностей случайной величины , удов-

414

летворяющей указанным выше требованиям, однозначно определяется своей производящей функцией [343]:

k 0

k 0.

(П3.6)

z 0

В ряде случаев, особенно в асимптотическом анализе, оказывается полезным представление распределения вероятностей интегралом Коши:

pk	1		z	dz,	0 1.
	2 i	z	zk 1

Если определить «хвост» распределения вероятностей рассматриваемой неотрицательной целочисленной случайной величины

как P k qk
как P k qk	pk r , k 0,	то производящая функция Q z
	r 1

zk qk последовательности			связана с производящей
zk qk последовательности		qk k 0	связана с производящей
k 0
функцией z	распределения вероятностей pk , k 0 следующим
соотношением:

Q z 1 z .

1 z

В частности, Q 1 [343].

Производящая функция связана с характеристической функцией f t соотношением

f t exp it , ,	t R1.	(П3.7)
Заменяя в определении П3.3 комплексное число		z на произ-

вольную комплекснозначную функцию z u , можно получить оп-

ределение производящего функционала.

Определение П3.4. Для n -мерного целочисленного неотрицательного случайного вектора , то есть для группы из n целочис-

ленных неотрицательных случайных величин 1, , n , со-

вместная производящая функция определяется следующим образом:

415

z1, , zn z11 znn	z1k1 znkn pk1 kn ,
	k1 , ,kn 0

где pk1 kn P 1 k1, n kn [343].

Приложение 4

Нормальное распределение

Нормальное распределение является одним из важнейших распределений вероятностей. Термин «нормальное распределение» был введен К. Пирсоном (более старые названия «закон Гаусса», «гауссовское распределение», «распределение Гаусса – Лапласа») и применяется как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (конечномерных случайных векторов), а также случайных процессов.

Определение П4.1. Функция

	1	x
x		exp y	2	2	dy,	x R	1	(П4.1)

	2

называется интегралом вероятностей или функцией Лапласа. Определение П4.2. Случайная величина R1 называется гаус-

совской или нормальной1 с параметрами ; 2 , где 0, если

функция распределения данной случайной величины имеет вид

F x P x . (П4.2)

В силу того, что функция Лапласа непрерывно дифференцируема на R1, функция распределения F x гауссовской случайной величины имеет плотность распределения следующего вида:

p x	1

		2

	x 2		0.
exp	2 2	,	0.
	2 2

1 Подразумевается, что рассматриваемая случайная величина имеет гауссово или нормальное распределение.

416

Из определения П4.2 следует, что математическое ожидание и дисперсия гауссовской случайной величины равны, соответственно, , D 2. Для обозначения гауссовской случайной ве-

личины, как правило, используют обозначение N ; 2 .

Характеристическая функция нормально распределенной слу-

чайной величины N ; 2 имеет следующий вид:

	2	2
f t exp i t	t		.
	2
				a,b R1
Вероятность попадания в произвольный интервал

можно определить по следующей известной формуле:

b	a
P a b		.

Случайная величина с распределением N 0;1 называется

стандартной гауссовской случайной величиной. Из (П4.2) следует, что ее функция распределения совпадает с функцией Лапласа.

С уменьшением кривая нормального распределения становится все более островершинной. Изменение a при постоянном не меняет форму кривой, а приводит лишь к ее смещению по оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой нормального распределения, всегда равна единице.

Замечание П4.1. Свойство гауссовости распределения сохраняется при линейном преобразовании случайной величины . Пусть

N M ;D и определена случайная величина	a b, где
a,b R1. Тогда N M ;D , где M aM b; D	a2D .

Для описания гауссовского случайного вектора, под которым понимается одномерная упорядоченная система гауссовских случайных величин, оказалось удобно использовать введенный выше

аппарат характеристических функций. Пусть	1	n
аппарат характеристических функций. Пусть	, ,	* – ве-

щественный конечномерный случайный вектор с математическим

ожиданием 1 , , n и ковариационной матрицей R

417

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4742 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Интегрированные системы управления и проектирования

#
17.08.20131.65 Mб140Лабораторный практикум Механика под редакцией С.А.Воронова Переиздание Учебное пособие 2009.pdf
#
17.08.20131.11 Mб49Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009.pdf
#
17.08.20131.86 Mб51Масленников Микрошемы операционных усилителей и их применение 2009.pdf
#
17.08.20131.67 Mб194Михайлов Аналитическая геометрия Учебно-методическое пособие по курсу высшей математики для вечернего фак. 2009.pdf
#
17.08.2013567.88 Кб219Николаев Сборник задач по курсу Физикатвердого тела. 3-е изд.,исправленное и дополненное 2009.pdf
#
17.08.20135.73 Mб174Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009.pdf
#
17.08.20132.17 Mб87Осипов Базовые каскады електронных шем. Учебное пособие 2009.pdf
#
17.08.20131.56 Mб35Пашенцев Измерителный комплекс на основе персоналного компютера и измерителных модулей. Лабораторная работа 2009.pdf
#
17.08.20131.92 Mб59Попов Лабораторный практикум Механика твердого тела 3-е издание, исправленное 2009.pdf
#
17.08.20134.01 Mб16Розанов Методы исследования металлов 1947.pdf
#
17.08.20131.93 Mб220Самарченко Лабораторный практикум Оптика Ч.1 Переиздание 2009.pdf