x2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
t |
t1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
v02 dt1 dt2 E t1 |
t2 |
|
dt1 dt1' t1 t1' |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.49) |
|
t |
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
t |
|
t' |
E |
|
|
t t' |
|
E |
|
|
|
t |
|
t' |
|
|
|
2 |
|
' |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
, |
|
1 |
1 |
|
, |
|
|
|
2 |
|
|
00
f t1' f t2' .
Интегрирование в первом члене в правой части данного равенства может быть выполнено в явном виде с использованием представления функции Миттаг – Лефлера в виде ряда. Интеграл по одной из переменных может быть выражен через обобщенную функцию Миттаг – Лефлера:
|
t |
|
|
k tk 1 |
|
k tk |
|
|
|
dt1E t1 |
|
|
t |
|
tE2, t |
. |
|
k 1 k 1 |
k 2 |
|
0 |
|
k 0 |
k 0 |
|
|
Способ вычисления членов, подобных второму слагаемому в (6.49), был неоднократно рассмотрен выше. Таким образом, можно записать среднеквадратичное смещение в следующем виде:
|
x |
2 |
t |
|
2 |
|
|
|
2 |
(6.50) |
|
|
v0 |
tE2, |
t |
|
DI, |
где второе слагаемое имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k l |
|
t |
t |
|
|
|
|
t |
|
I 4 |
|
|
|
dt tk 1 dt tl |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 F1 1;1 k ;1 l : |
. |
k |
|
|
|
|
|
k 1 l 1 |
l 1 0 |
0 |
|
|
|
|
t |
Для выполнения интегрирования по штрихованным переменным и получения последнего выражения была выполнена подстановка интегрального члена I, приведенного выше при рассмотрении автокорреляционной функции скорости, в (6.49). Таким образом, удается понизить порядок интегрирования с четырех до двух, дополнительный множитель, равный двум, возникает вследствие симметрии.
Для вычисления интеграла в последнем выражении вводится масштабная переменная для более позднего из двух моментов времени, как было выполнено выше. Тогда, используя приведенное выше выражение для Ikl , можно получить
|
t |
1 |
|
2 F1 1;1 k ;1 l : |
Ikl dt t k l |
d l |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
t k l 1 |
|
1 d l |
F |
1;1 k ;1 l : . |
|
|
|
k l 1 0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Используя интегральное представление для гипергеометричекой функции из [209, 210], приведенное выше, после необходимых преобразований можно получить
1
d d 2 F1 a;b;c :
0
|
|
c |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
d a 1 1 c a 1 d d 1 b |
|
a c a |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
c |
1 |
dzza 1 1 z c a 1 |
F |
d 1;b;d 2 : z . |
|
|
|
|
d 1 a c a 0 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Сравнивая данный интеграл с соответствующим интегралом в [214], окончательно можно записать
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
d 2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d d 2 F1 a;b;c : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 1 a c a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 1 a d 2 a b |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
c d 2 b d 2 a |
d 1 b |
|
k l |
где использованы |
|
следующие |
|
|
обозначения: |
|
a 1, b 1 k , |
c 1 l и d l . Таким образом, можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k l |
|
|
|
|
|
|
|
|
t k l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
k l 1 k l |
1 |
k l |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 l 1 |
|
|
|
|
Справедливо следующее выражение [212]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k l |
|
t |
k l |
1 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
d 2 I |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2 |
|
k |
l 1 |
|
|
dt |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 l 1 |
|
|
|
l 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
E t |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя полученное выражение дважды и учитывая, что I и соответствующая первая производная равны нулю при t 0, можно на основании (6.50) получить следующее выражение для среднеквадратичного смещения:
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 tE2, t |
|
|
|
|
|
|
(6.51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
2 |
|
|
|
D t 1 2E2, |
|
dt |
' |
|
|
. |
|
|
|
t |
E t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как и прежде, используя асимптотическую форму функции Миттаг – Лефлера и обратный степенной закон, можно показать, что интеграл в (6.51) сходится при 12 и главный член в (6.51) в асимптотической области имеет следующий вид:
x2 t t.
Это в точности соответствует случаю обычной диффузии, описываемой классическим уравнением Ланжевена. Необходимо отметить, что даже в случае 12 расхождение интеграла будет очень медленным, поэтому асимптотическое поведение будет все еще определяться линейным членом. Таким образом, среднеквадратичное смещение частицы оказывается полностью нечувствительным к динамическим особенностям (классическое / фрактальное движение) данного процесса.
Итак, выше было показано как конструируется и решается стохастическое уравнение дробного порядка, которое может быть использовано для моделирования физических явлений с долговременной памятью и/или дальнодействующими взаимодействиями. Дальнодействующие корреляции, подчиняющиеся степенному закону и характеризующие фрактальное броуновское движение, приводят в результате к немарковскому описанию таких процессов как, например, распространение трещин. Было обнаружено, что непрерывное управляющее уравнение приводит к уравнению эволюции распределения Леви, когда ядро отклика (памяти) может быть представлено обратным степенным законом в координатном пространстве, основываясь на аналогичном законе для параметра «время ожидания» функции распределения во времени [208].
Контрольные вопросы
1.Дайте определение устойчивого распределения. Приведите примеры простейших устойчивых распределений.
2.Приведите кинетические уравнения и их решения в случае бесконечной (конечной) скорости частицы.
3.Поясните кратко использование аппарата функции Фокса при описании транспортных процессов во фрактальных средах.
4.Дайте определение обобщенной функции Миттаг – Лефлера.
5.Приведите уравнение Ланжевена в общем случае и для частного случая недиссипативного стохастического процесса.
6.Приведите решение уравнения Ланжевена в общем случае.
7.Приведите выражения для автокорреляционной функции скорости, среднеквадратичной скорости и среднеквадратичного смещения броуновской частицы для уравнения Ланжевена дробного порядка.
Рекомендуемая литература
6.1.Miller K.S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. N.Y.: John Wiley, 1993.
Глава 7
ОПЕРАТОРЫ ДРОБНЫХ ПОРЯДКОВ В ФИЗИКЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
§1. Вводные замечания
Определение 7.1. Множественностью частиц i -го типа ni
называется число частиц данного типа, образованное в одном акте взаимодействия.
Пусть i является случайной величиной «множественность частиц типа i в событии», принимающей целочисленные неотрицательные значения ni . Распределение вторичных частиц данного
типа по множественности ni |
с |
плотностью распределения |
(вероятностей) P ni P n pn |
1 |
является наиболее общей |
характеристикой процессов множественного рождения [215]. Определение 7.2. Распределение неупругих событий по числу
вновь образованных в них частиц данного типа называется распределением по множественности, и плотность данного распределения определяется следующим образом:
|
|
|
|
pn |
n |
n , |
(7.1) |
|
|
n 0 |
|
где n – сечение рождения |
n частиц данного типа (топологиче- |
ское сечение). Распределение по множественности (распределение
1 Индекс, указывающий на тип частицы, может быть опущен для краткости. Важно отметить: часто в литературе (особенно в физической), говоря о распределении при целочисленных неотрицательных значениях (со-
ответствует распределению по множественности в ФВЭ) используют обозначение P n pn , являющееся исторически широко распространен-
ным, тем не менее не совсем строгим с математической точки зрения.
вероятностей) нормировано так, что P n 1, то есть pn дейст-
n 0
вительно имеет смысл плотности вероятности.
Данное распределение показывает вероятность рождения заданного количества частиц в процессе взаимодействия данного типа при некоторой фиксированной начальной энергии. Как для КХД, так и для любой феноменологической модели важно изначально правильно описывать распределения по множественности, поскольку все другие инклюзивные характеристики, как правило, получаются путем усреднения с учетом данного распределения. Модель, не способная правильно воспроизвести распределение по множественности, не может претендовать на описание других инклюзивных распределений.
1.1. Гипотеза КНО-скейлинга
В случае ранга момента распределения по множественности выше единицы удобно использовать нормированные моменты
где стандартные моменты (в дискретном случае) определяются следующим образом1:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nq |
|
nq |
|
|
nq |
|
pn |
|
. |
S |
S |
s |
S |
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
Вплоть до энергий S 50 ГэВ нормированные моменты (7.2) распределений по множественности частиц различных типов практически не зависели от энергии столкновения для широко спектра реакций. Независимость нормированных моментов (7.2) от энергии явилось одним из аргументов в пользу гипотезы скейлингового описания распределений по множественности для частиц различных типов. Как известно, было получено успешное феноменологи-
1 В данном разделе для характеристик распределения используются, как правило, обозначения, принятые в физических приложениях и отличающиеся от использованных выше в разделах, посвященных теории вероятностей.
ческое описание распределений неупругих событий по множественности n в полном фазовом пространстве с помощью масштаб- но-инвариантного КНО-распределения (распределения Кобы – Нильсена – Олесена)
в процессах различных типов вплоть до энергий S 50 ГэВ.
Здесь , nn считается универсальной функцией, не зави-
сящей явно от энергии, а вся энергетическая зависимость определяется поведением средней множественности. Данное предположение, названное гипотезой КНО-скейлинга, было обосновано изучением фейнмановского плато в быстротных распределениях частиц [216]. Указанная гипотеза была одним из наиболее успешных предположений о форме распределений по множественности. Для универсальной КНО-функции справедливо условие нормировки
x dx 1,
0
и стандартные моменты КНО-распределения не зависят от энергии взаимодействия, а только от своего ранга q :
xq xq xq x dx const S .
0
Однако при более высоких энергиях и для z 2 наблюдается нарушение гипотезы КНО-скейлинга: масштабная инвариантность, определяемая зависимостью функции только от отношения
множественности n к ее среднему значению n , нарушается и
распределения по множественности становятся шире при увеличении энергии столкновения.
1.2. Отрицательное биномиальное распределение
Феноменологические подходы к описанию распределения по множественности пока ограничиваются простейшими приближениями отдельных, как правило, независимых источников с приме-
нением некоторых распределений, хорошо известных в теории вероятности. Среди них наибольшей популярностью пользуется отрицательное биномиальное распределение (ОБР), обычно достаточно разумно описывающее основные особенности экспериментальных данных для распределений по множественности в различных реакциях в широком интервале начальных энергий при выборе соответствующих значений параметров. В связи с нарушением КНО-скейлинга в [217] было предложено использовать именно ОБР для описания распределений по множественности в широком
интервале начальных энергий S 10 103 ГэВ.
Определение 7.3. Отрицательным биномиальным распределением (распределением Паскаля) с параметрами r, называется дискретное распределение случайной величины , принимающей целочисленные значения k 0,1,2, с вероятностями
pk P k Crk k 1 r 1 k ,
где 0 1 и r 0, причем для нецелых r величина Crk k 1 опре-
деляется следующим образом: Crk k 1 r k 1 r k 2 r . k!
ОБР встречается во многих приложениях как теории вероятностей, так и физики. При целом r 0 ОБР интерпретируется как распределение времени ожидания r го «успеха» в схеме испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» . Именно в данном случае ОБР, как правило, называется распределением Паскаля и является дискретным аналогом гамма-распределения. Характеристическая функция ОБР имеет следующий вид:
1 1 exp it
Некоторые стандартные и центральные моменты низших рангов ОБР равны:
|
r 1 |
, |
D |
r 1 |
, |
3 |
r 1 2 |
, |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
4 r 1 4 3r 1 6 1 2 .
Коэффициент асимметрии: 1 2 |
r 1 , коэффициент |
эксцесса: 2 6r 2 r 1 .
Одной из наиболее привлекательных черт ОБР является именно наличие асимптотического КНО-скейлинга при высоких энергиях, то есть при стремящейся к бесконечности средней множественности.
В настоящее время возможен учет членов более высоких порядков в рамках ТВ КХД, что приводит к приближенному КНОскейлингу с формой распределения, зависящей теперь уже от константы связи (или аномальной размерности КХД). Необходимо отметить, что наблюдается некоторое расхождение теоретического описания и экспериментальных данных при наивысших доступных энергиях (в ТэВной области).
§2. Математический формализм
Изложение в данном разделе следует [38, 218, 219], где соответствующие математические аспекты рассмотрены подробно.
2.1. Плотности распределений для различных процессов
Для введения основных определений и соотношений между физическими величинами, которые будут полезны в дальнейшем, рассматривается процесс
|
|
|
a b 1 2 n, |
(7.3) |
соответствующий взаимодействию начальных частиц a |
и b с об- |
разованием в точности n |
частиц в некоторой области n полного |
фазового пространства . |
В противоположность (1.1) процесс (7.3) |
является (полностью) эксклюзивным. При фиксированном числе вторичных частиц образованную систему можно характеризовать плотностью вероятности pne xn , n 1,2, где xn x1, , xn и xi
– (многомерная) координата i -й частицы в фазовом пространстве, то есть совокупность всех физических параметров, характеризую-
щих данную частицу1. Такое описание называется эксклюзивным. В случае тождественности всех вторичных частиц эксклюзивные распределения (плотности вероятностей) pne x1, , xn полностью
симметричны относительно перестановки аргументов и описывают распределения частиц, когда их число в точности равно n. В действительности, особенно при высоких энергиях, чаще бывает удобно использовать так называемый инклюзивный подход, когда число частиц не фиксировано, а рассматриваются всевозможные n - частичные характеристики процесса взаимодействия. Именно таким образом проводится большинство экспериментов, в которых изучается множественное рождение частиц. Соответствующие инклюзивные плотности распределения для данного фиксированного n 1,2, учитывают интегральный вклад процессов с более высокой множественностью и характеризуются плотностью вида
|
|
1 |
|
|
m |
|
|
pni x |
pne xn |
|
pne m xn , xm' |
dxn' |
i , |
(7.4) |
|
|
|
m 1 m! |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
то есть инклюзивные плотности порядка n определяются суммой эксклюзивной плотности того же порядка и интегралов от эксклюзивных плотностей более высокого порядка по всем неучитываемым переменным. Соответственно, обратное соотношение имеет следующий вид:
|
|
1 |
m |
|
m |
|
|
pne x |
pni xn |
|
|
pni m xn , xm' |
dxn' |
i . |
(7.5) |
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
n |
|
i 1 |
|
|
Таким образом, инклюзивная плотность pni xn задает плотность вероятности обнаружить n частиц в точках фазового пространства x1, xn независимо от наличия и расположения других частиц.
Плотность вероятности p0e не найти ни одной частицы в заданном объеме равна
1 Например, если процесс рассматривается в одномерном пространстве быстрот вторичных частиц, то i : xi yi – быстрота частицы, в трехмер-
ном пространстве импульсов – i : xi pi – импульс частицы и так далее.