Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

Всоответствии с (7.4) последнее соотношение означает, что p0i 1.

Пусть in это – полное сечение неупругого взаимодействия.

Инклюзивные плотности вероятности pni xn связаны с измеряе-

мыми на опыте инклюзивными дифференциальными сечениями следующим образом:

то есть, например, in-1d p1i x dx задает число частиц в интерва-

ле dx в данном процессе; in-1d 2 p2i x1, x2 dx1dx2 равно среднему числу пар частиц в области dx1dx2 и так далее.

Важно отметить, что в данном случае достаточно продуктивным оказывается метод производящего функционала, позволяющий получать все необходимые формулы и записывать их в компактном

виде. Пусть z x – производящий функционал, где z x – не-

которая функция в n . Согласно [218] справедливы взаимосвязь для эксклюзивного и инклюзивного процессов ze x zi x 1 и

следующие выражения для производящих функционалов:

Варьируя данные соотношения, можно получить:

Если заменить функцию z x на некоторую константу по от-

ношению к x (то есть на простой аргумент), то на основе (7.6) для производящих функций получаются следующие соотношения:

318

i z e z 1 .

Поскольку в литературе для приложений в физике многочастичных процессов используются разные определения производящих функций, полезно отметить следующее: из соотношений между производящими функциями видно, что, например, производная i в некоторой точке z0 будет соответствовать производной от e в точ-

ке z0 1. Полученные функции (7.7) являются производящими функциями для распределений по множественности.

2.2. Кумулянтные корреляционные функции

Результаты, представленные ниже, имеют достаточно общий характер и применяются при различных видах корреляционного анализа процессов множественного рождения. Поэтому приведенные ниже формулы полезны для дальнейшего рассмотрения, в частности, для исследований в области фемтоскопии.

Инклюзивные n -частичные плотности pni xn содержат «три-

виальные» вклады плотностей низших порядков и отличны от нуля, даже если все частицы статистически независимы. Поэтому при определенных условиях оказывается предпочтительно рассматривать набор таких функций Cn xn Cn x1, , xn , которые обра-

щаются в нуль в случае, когда один из их аргументов становится статистически независимым от остальных. Величинами с такими свойствами являются, как известно, корреляционные функции, называемые также (факториальными) кумулянтными корреляционными функциями. Данные функции вводятся аналогично тому, как это сделано в кластерном разложении в статистической механике. В общем случае справедливо следующее соотношение, связываю-

щее кумулянтные корреляционные функции Cq xq Cq x1, , xq

порядков 1 q n с инклюзивной плотностью pni xn [218]:

319

где l1 0,1,2, и полный набор этих чисел удовлетворяет условию

n

klk n, аргументы корреляционных функций C j xj , j 1, ,n

k 1

задаются j -мерными векторами, построенными из n возможных величин xi , i 1, ,n, которые выбираются в любом порядке. Сумма по перестановкам в (7.8) соответствует различным путям заполнения этих аргументов. Таким образом, получается всего

членов. Согласно [218] полный набор соотношений для корреляционных функций определяется выражением

исправедливо следующее функциональное тождество: i zi x

exp g zi x .

На основе достаточно громоздкой общей формулы (7.8) можно получить для низших значений n :

p1i x1 C1 x1 ; p2i x2 p2i x1, x2 C1 x1 C1 x2 C2 x1, x2 ; p3i x3 C1 x1 C1 x2 C1 x3 C1 x1 C2 x2 , x3

C1 x2 C2 x1, x3 C1 x3 C2 x1, x2 C3 x1, x2 , x3 ,

которые можно обратить так, что для кумулянтных корреляционных функций низших порядков справедливо [218]:

320

C2 x1, x2 p2i x1, x2 p1i x1 p1i x2 ;

C3 x3 p3i x3 p1i x1 p2i x2 , x3 ;

3

C4 x4 p4i x4 p1i x1 p3i x2 , x3, x4 p2i x1, x2 p2i x3 , x4

2 p1i x1 p1i x2 p2i x3, x4 6 p1i x1 p1i x2 p1i x3 p1i x4 .

6

Знаки суммирования указывают суммы по всем возможным перестановкам (их число приведено под соответствующим знаком).

Часто оказывается удобным разделить функции pni xn , Cn xn

на произведение одночастичных плотностей. Таким способом получаются нормированные инклюзивные плотности и корреляционные функции:

Важно отметить, что выше предполагалось, что все n частиц идентичны. Математический аппарат для корреляций частиц различных типов описан в [218].

2.3. Факториальные и кумулянтные моменты

Используя общие определения теории вероятностей для моментов и семиинвариантов, представленные выше (гл. 3), можно ввести соответствующие характеристики в физике множественного рождения. Все необходимые моменты могут быть получены с помощью производящих функций (7.7). Данный подход позволяет изучать аналитическую функцию вместо дискретной последова-

тельности чисел pn n 0 .

Используя стандартное определение (П3.5), можно записать

ze pn ze n

n 0

или

321

n 0

где pn определяется (7.1).

Факториальный (или биномиальный) момент связан с эксклюзивной и инклюзивной плотностями следующим образом:

При анализе процессов множественного рождения удобно использовать нормированные факториальные моменты и кумулянты, определяемые, соответственно, следующим образом:

Ниже, если другое не оговорено специально, говоря о факториальных моментых и кумулянтах, подразумеваются именно нормированные моменты (7.11).

Необходимо отметить, что в действительности все физические распределения по множественности ограничены сверху, то есть существует такое n nmax , что n nmax : pn 0. Вследствие ограниченности распределения по множественности сверху все факториальные моменты ранга j nmax равны нулю. При меньших j они всегда положительны. Кумулянты же могут быть как положительными, так и отрицательными.

Выражение для производящей функции может быть записано в виде

Само распределение по множественности вторичных частиц, то есть плотность pn , выражается через производящую функцию

322

(7.10) стандартным образом1, а его обычные нормированные моменты (7.2) могут быть записаны в виде

Важно отметить, что все моменты связаны друг с другом определенными соотношениями, получаемыми путем использования их определений через производящую функцию. Так нормированные факториальные моменты и кумулянты однозначно выражаются друг через друга с помощью следующей формулы:

и B m – гамма- и бета-функции соответственно. Таким образом, в

соотношении (7.12) содержатся только числовые коэффициенты, и последовательная итеративная процедура их решения, особенно удобная при компьютерных расчетах, позволяет воспроизвести все кумулянты, если известны факториальные моменты и наоборот. В этом смысле факториальные моменты и кумулянты равноправны. Физический смысл данных характеристик можно понять на основе их определений, выраженных через интегралы от корреляционных функций [38]. Факториальные моменты являются интегральными характеристиками всевозможных корреляций частиц, а кумулянты j -го ранга соответствуют «истинным» j -частичным корреляциям, не сводимым к произведениям корреляций более низкого порядка2. Более строго, в кумулянте j -го ранга все j частиц связаны друг с другом и не могут быть разбиты на группы, между которыми отсутствовали бы корреляции. По аналогии с (майеровским) кластер-

1Здесь необходимо учитывать конкретное определение производящей функции и брать производные в соответствующей точке, как обсуждалось выше. В данном случае – в точке z 1.

2Данная интерпретация справедлива фактически лишь для характеристик, порядок (ранг) которых меньше средней множественности при данной энергии [218].

323

ным разложением в статистической механике можно сказать, что данные частицы образуют j -частичный кластер, не делимый на более мелкие кластеры [38].

Как правило, нормированные факториальные моменты и кумулянты распределений, изучаемых в физике высоких энергий, достаточно быстро растут с увеличением своего ранга. Поэтому удобно оказалось рассматривать также их отношение

которое обладает более плавным поведением при больших рангах j, сохраняя вместе с тем характерные качественные особенности зависимости кумулянтов от их ранга. На основе представленных выше соотношений можно получить реккурентные соотношения для H j -моментов:

Таким образом, весь объем физической информации, содержащийся в распределении по множественности, может быть представлен в виде производящей функции z или, что эквивалент-

но, заданием моментов C j ,fj ,k j (либо отношения последних двух)

при определенной средней множественности n. Важно отметить,

что моменты высших рангов подчеркивают особенности распределения при все более высоких множественностях, то есть структуру «хвоста» распределения. Как следует из определения (7.11), только множественности n j дают вклад в факториальный момент (це-

лочисленного) ранга j.

2.4. Моменты дробных порядков

Выше a priori предполагалось, что порядок (ранга) моментов является целым положительным числом. Однако определения (7.11) и (7.13) могут быть обобщены и на нецелочисленные значения рангов [220]. Данное обобщение можно сделать двумя способами.

324

В первом случае можно переписать определение (7.11), например, для нормированного факториального момента в виде

применимом при любом вещественном q и позволяющем вычислять дробные факториальные моменты1 по экспериментальным данным о плотности распределения pn .

Во втором способе рассматриваемые характеристики можно находить по формулам изложенного выше дробного (обобщенного) дифференцирования, если известна производящая функция. Согласно правилам дробного дифференцирования производная произвольного (вещественного) порядка от производящей функции (7.10) записывает следующим образом [221, 222]:

Таким образом, определение моментов (7.11) перепишется для нецелых рангов q в следующем виде [218, 223]:

Как видно для факториальных моментов, формулы, полученные двумя различными способами, могут быть трансформированы друг в друга с учетом стандартного выражения pn через производящую функцию. Таким образом, устанавливается однозначное соответствие экспериментального определения fq , полученного в рамках первого способа, его теоретическому определению (7.15), получен-

1 В литературе, так же как и в случае интегродифференциального исчисления дробных порядков выше, для обозначения моментов дробных порядков часто для краткости используется термин «дробные моменты».

325

ному вторым способом с использованием оператора дробного порядка.

Необходимо отметить, что, к сожалению, в общем случае дробных рангов значительно усложняется взаимосвязь дробных факториальных моментов и дробных кумулянтов, выражаемая в случае целых рангов формулой (7.12) и служащей, как было отмечено выше, основой вычисления кумулянтов по экспериментально определенным факториальным моментам. Учитывая очень высокую чувствительность кумулянтов к виду распределения при низких рангах и важность данных характеристик в исследованиях процессов множественного образования частиц, в качестве аналога (7.12) можно использовать следующее выражение [38]:

где kqa m можно назвать «аналитическим продолжением» кумулян-

тов на нецелые ранги. Данную формулу удобно использовать как экспериментаторам, так и в теоретических исследованиях. Однако необходимо отметить, что для рассматриваемой формулы имеется неоднозначность с определением кумулянтов около точки q 1 и теряется теоретическая основа в виде формул (7.15) [38].

Использование дробных моментов позволяет в ряде случаев более детально проводить различия между разнообразными распределениями.

§3. Некоторые важные распределения

В данном параграфе подробно рассмотрен ряд распределений важных для исследований именно многочастичных процессов. Для рассматриваемых распределений можно получить аналитические выражения для производящих функций и всех моментов [38]. Важнейшей и определяемой непосредственно из экспериментальных данных характеристикой распределения по множественности является средняя множественность. Поэтому для физических приложений параметры рассматриваемого распределения выражают, по возможности, именно через n.

326

3.1. Распределение Пуассона

Важность приложения данного распределения в физике частиц объясняется, в частности, тем, что присутствие каких-либо корреляций в процессе взаимодействия, как правило, принято характеризовать мерой отличия типичного для данного процесса распределения от пуассоновского распределения.

Если распределение по множественности описывается пуассоновским распределением, то, учитывая свойства распределения Пуассона, плотность распределения и производящая функция в данном случае определяются следующим образом:

Соответственно, j 0 :

Таким образом, мерой корреляций для процессов множественного образования частиц может служить отличие факториальных моментов от единицы, кумулянтов и H j -моментов (кроме тривиаль-

ного первого) от нуля, то есть от значений моментов пуассоновского распределения.

Данное распределение обладает свойством КНО-скейлинга в асимптотической области n и характеризуется постоянством

факториальных моментов как функций n. Данное свойство назы-

вается f -скейлингом [38]. Необходимо отметить, что в асимптотике КНО- и f -скейлинг эквивалентны.

Дробные (отрицательные, комплексные) моменты пуассоновского распределения определяются как [220, 223]

где F 1,1 q;n – вырожденная гипергеометрическая функция.

327