Здесь γxy, γyz, γxz – полные сдвиги в соответствующих плоскостях, в то время как в тензор деформаций входят половины этих величин. Коэффициенты пропорциональности в этих уравнениях cij – моду-

ли упругости анизотропного тела.

Компоненты тензора деформаций также являются линейными функциями компонент тензора напряжений, что выражается аналогичной системой уравнений:

ex = s11Sx + s12Sy + s13Sz + s14txy + s15tyz + s16txz; ey = s21Sx + s22Sy + s23Sz + s24txy + s25tyz + s26txz; ez = s31Sx + s32Sy + s33Sz + s34txy + s35tyz + s36txz;

γxy = s41Sx + s42Sy + s43Sz + s44txy + s45tyz + s46txz; (11.22)

γyz = s51Sx + s52Sy + s53Sz + s54txy + s55tyz + s56txz; γzx = s61Sx + s62Sy + s63Sz + s64txy + s65tyz + s66txz.

Коэффициенты sij в этих уравнениях называются коэффициентами упругости; они связаны с модулями упругости определенными соотношениями.

11.2.4. Модули и коэффициенты упругости

Модули упругости и коэффициенты упругости часто записывают в виде самостоятельной матрицы:

Не все 36 модулей упругости являются независимыми. Вследствие симметричности матрицы относительно диагонали с11 – с66

Аналогичные соотношения существуют и для матрицы коэффициентов упругости.

34

Таким образом, для определения всех компонент тензора напряжений в общем случае анизотропного тела необходимо знать тензор деформаций и 21 модуль упругости. Для решения обратной задачи требуется знание 21 коэффициента упругости.

Величины коэффициентов сij и sij в уравнениях обобщенного закона Гука зависят от взаимной ориентации координатных осей и осей симметрии в кристаллической решетке. Если для кубической решетки расположить координатную сетку таким образом, чтобы ее оси совпадали с направлениями ребер куба, то вследствие высокой симметрии решетки матрица модулей упругости значительно упрощается. Можно показать, что в этом случае:

остальные постоянные равны нулю. Тогда для кубической решетки матрица модулей упругости принимает вид:

и содержит всего три независимых модуля упругости.

Для монокристалла с гексагональной кристаллической решеткой, обладающей более низкой симметрией, число независимых модулей упругости увеличивается до пяти:

Значения модулей и коэффициентов упругости для ряда металлов с кубической и гексагональной решетками приведены в табл. 11.1.

35

Таблица 11.1

Модули и коэффициенты упругости некоторых металлов (МПа ·10-4)

Кубическая система

Гексагональная система

В общем случае модули и коэффициенты упругости зависят от кристаллографического направления в решетке. Зная коэффициенты, определенные для координатных осей, совпадающих с ребрами куба, можно найти соответствующие упругие характеристики для произвольного направления в кристалле, составляющего с кубиче-

скими осями известные углы:

1/E = [s11 – 2(s11 – s12 – ½ s44)] × (γ12 γ22 + γ22 γ32 + γ12 γ32),

1/G = [s44 – 4(s11 – s12 – ½ s44)] × (γ12 γ22 + γ22 γ32 + γ12 γ32). (11.28)

В этом уравнении γ1, γ2, γ3 – направляющие косинусы оси приложения нагрузки по отношению к осям исходной координатной системы.

Таким образом, в случае кристаллов с кубической решеткой, зная, например, три постоянных упругости Е100, Е111 и G100, можно определить Е и G для любых других ориентировок. Значения указанных постоянных упругости монокристаллов разных металлов с кубической решеткой приведены в табл. 11.2.

36

Таблица 11.2

Значения модуля нормальной упругости Е

и модуля сдвига G (МПа) для некоторых монокристаллов

У анизотропных кристаллов модули упругости сильно зависят от фигурирующего в (11.28) выражения (γ12 γ22 + γ22 γ32 + γ12 γ32), называемого фактором ориентировки.

11.2.5. Зависимость модулей упругости от различных факторов

Поскольку модули упругости связаны с величиной сил межатомного взаимодействия, а последние зависят от расстояния между атомами в кристаллической решетке, постоянные упругости оказываются зависящими от температуры. Температурная зависимость модулей очень слаба. На рис. 11.10 показаны температурные зависимости модуля нормальной упругости для некоторых чистых металлов, и видно, что значения модуля уменьшаются с температу-

пературная зависимость модуля в таком представлении также близка к линейной.

Изменение температуры может косвенно влиять на значения модуля, когда при этом происходят те или иные структурные изменения в материале: полиморфные или фазовые превращения, рекристаллизация и др. Эти изменения модуля упругости могут быть весьма существенными и значительно превосходить собственно температурное изменение. Так, на рис. 11.10 заметен скачок модуля упругости при α→γ превращении в железе в районе 910 оС; причем, при повышении температуры модуль упругости увеличивается.

Наклеп в результате холодной пластической деформации не оказывает существенного влияния на модули упругости. Некоторое уменьшение модулей при наклепе, обычно не превышающее 1%, связано с возникновений искажений в кристаллической решетке металла. В то же время, однако, деформационный наклеп всегда сопутствует формированию в металлических материалах кристаллографической текстуры; при этом первоначальная изотропность материала нарушается, что может вызвать значительные изменения величины модулей. Рекристаллизация при нагреве материала после пластической деформации связана с изменением текстуры деформации, в результате чего модули также заметно изменяются. Изменения модулей упругости, связанные с образованием в материале текстуры того или иного типа, могут достигать десятков процентов; причем, у текстурованных материалов значения модулей зависят от направления измерения.

Влияние легирования на постоянные упругости, как и влияние температуры, связано с изменением межатомного расстояния в кристаллической решетке и сил межатомного взаимодействия. В тех случаях, когда параметр решетки изменяется линейно в зависимости от концентрации легирующего элемента, аналогичную зависимость обнаруживает и модуль нормальной упругости. Легирование может и увеличивать, и уменьшать модуль в зависимости от соотношения сил взаимодействия между атомами растворителя и между атомами растворителя и атомами легирующей добавки.

Легирование может вызывать также определенные структурные изменения в материале, оказывающие заметное влияние на величи-

38