Жданов Явления переноса в газах и плазме 2008

где E = k ( E k). Таким образом, плотность тока вдоль на-

правления магнитного поля определяется тем же значением электропроводности σ , что и в отсутствие магнитного поля.

Решение уравнения (7.54) для составляющих плотности тока, перпендикулярных магнитному полю, можно найти в результате следующих простых операций. Образуем векторное произведение

уравнения (7.54) с вектором k .В результате имеем

σ(E ×k)= (1+ s)(j×k)−β0 j .

Если исключить из этого уравнения соотношение для продольных

где E = [k ×(E ×k)].

Окончательное выражение для плотности тока проводимости в плазме j = j + j можно представить тогда в виде

201

Здесь σ|| , σ и σH – продольная, поперечная и холловская элек-

тропроводности плазмы, определяемые соответственно выражениями

Из полученных выше выражений следует, что магнитное поле не влияет на электропроводность плазмы вдоль силовых линий магнитного поля. Если электронный параметр Холла мал (β0 <<1 ), то

магнитное поле почти не влияет на токи поперек магнитного поля.

Однако при βo ≥1 это влияние оказывается заметным. При этом магнитное поле может заметно ослаблять ток в направлении попе-

речной компоненты электрического поля E , а также создавать ток Холла в направлении, перпендикулярном как электричеcкому, так и магнитному полю. Заметим, что для частично ионизованной

поэтому влияние параметра проскальзывания ионов s = δ0β02 на-

чинает сказываться на значениях σ и σH гораздо позднее, чем

влияние параметра Холла для электронов, а для полностью ионизованной плазмы эффект проскальзывания вообще отсутствует. В

последнем случае при ωe τei >>1 получаем

202

7.4. Диффузия в слабоионизованном газе

Рассмотрим слабо ионизованный газ, образованный из электронов, ионов и нейтральных атомов одного сорта. Напомним, что условие слабой ионизации определяется как

Поскольку при этом α <<1, по отношению к независимой диффузии заряженных частиц нейтральный компонент выступает как

среда, скорость которой u n фактичеcки совпадает со среднемас-

совой или среднемолярной скоростью смеси. Молярные диффузионные потоки заряженных частиц определены при этом как

Рассмотрим вначале случай, когда магнитное поле отсутствует, а электрическое поле действует в направлении оси X . Будем полагать, что в том же направлении изменяются плотности заряженных компонентов. Тогда уравнения (7.17) для электронного и ионного компонента запишутся в виде

203

поэтому скорость диффузии электронов намного превышает скорость диффузии ионов.

Полученные выше выражения легко обобщить и на случай диффузии заряженных частиц поперек магнитного поля. Уравнения (7.17) для электронного и ионного компонента в рассматриваемом нами случае слабо ионизованной плазмы принимают вид

где βe = ωe τen и βi = ωi τin . Рассмотрим в качестве примера ци-

линдрический столб плазмы, помещенный в продольное (направленное по оси цилиндра) магнитное поле. Предположим, что электрическое поле и все градиенты направлены лишь в радиальном направлении. Тогда из решения уравнений (7.72) для радиальных потоков поперек магнитного поля получаем

Jem = −De dndre −μe neEr ,

т.е. условия, обратные условиям (7.71). Это означает, что скорость радиальной диффузии ионов поперек магнитного поля может зна-

204

чительно превышать скорость радиальной диффузии электронов. Мы оставляем здесь в стороне анализ холловских диффузионных потоков, перпендикулярных как электрическому, так и магнитному полям.

Рассмотрим теперь вопрос о так называемой амбиполярной диффузии в слабоионизованной плазме. Пусть магнитное поле отсутствует. При диффузии заряженных частиц в поле градиентов их собственного парциального давления из-за высокой подвижности электронов по сравнению с ионами может возникать разделение зарядов. Возникающее при этом электрическое поле (поле объемного заряда) начинает препятствовать диффузии электронов и, наоборот, способствовать диффузии ионов. Это поле должно расти до тех пор, пока не станут одинаковыми диффузионные потоки электронов и ионов, что соответствует установлению квазистационарного состояния. Совместная диффузия электронов и ионов носит название амбиполярной диффузии.

В качестве конкретного примера рассмотрим радиальную диффузию заряженных частиц в длинной цилиндрической трубе в условиях, когда на ее стенках происходит интенсивная рекомбинация частиц, благодаря чему возникают радиальные градиенты плотности заряженных частиц. Пусть в начальный момент времени квазинейтральность плазмы точно осуществляется во всем объеме. В отсутствие внешнего электрического поля из-за большого различия

вкоэффициентах диффузии электронов и ионов (см. условие (7.71)) вблизи стенок будет нарастать объемный отрицательный заряд и возникнет радиальное электрическое поле объемного заряда. В соответствии с соотношениями (7.68) это поле, так же, как и градиенты плотности заряженных частиц, будет воздействовать на их диффузию. Квазистационарное состояние наступает, когда диффузионные потоки сравниваются по своей величине, что соответствует отсутствию электрического тока в плазме. (Последнее возможно, например, при отсутствии контакта плазмы с внешними проводниками). Действительно, из определения тока проводимости

вплазме при выполнении условия ne = Zni получаем

205

Условие j = 0 можно использовать для того, чтобы найти величину напряженности электрического поля, возникающего в плазме в квазистационарном состоянии. Приравнивая выражения для J em и

Коэффициент DA носит название коэффициента амбиполярной диффузии. При выполнении условий (7.71) получаем

биполярной диффузии всего лишь в два раза больше коэффициента диффузии ионов, но значительно меньше коэффициента свободной (униполярной) диффузии электронов. Таким образом, амбиполярное электрическое поле существенно уменьшает направленную скорость электронов.

При наличии продольного магнитного поля в результате аналогичных преобразований вместо соотношений (7.78) получаем соотношения для радиальных диффузионных потоков поперек магнитного поля в виде

206

где DA получается из (7.79) заменой коэффициентов Dα и μα на соответствующие поперечные коэффициенты Dα и μα . В сильном магнитном поле при выполнении условий (7.75) имеем

При Te =T и Z =1 получаем, что коэффициент амбиполярной

диффузии поперек сильного магнитного поля равен удвоенному коэффициенту поперечной диффузии для электронов

При наличии градиента температуры в плазме в выражениях для диффузионных потоков в общем случае необходимо учитывать термодиффузионные члены. Анализ показывает, что для диффузионного потока электронов вклад термодиффузии связан с учетом

лишь парциального приведенного потока электронов hTe , а в уравнениях диффузионных потоков для ионов и нейтралов фигурируют

лишь парциальные тепловые потоки hTi и hTn . При учете термо-

диффузии следует иметь в виду, что в исходных уравнениях (7.17), на основе которых получаются соотношения для потоков (7.68), фигурируют градиенты парциального давления компонентов. С

учетом соотношения pα = nαkTα эти градиенты можно представить как

В результате молярные диффузионные потоки электронов и ионов в слабо ионизованном газе запишутся в виде

207

Постоянные термодиффузии αTe и αTi в этом случае, как правило,

заметно меньше единицы, а для некоторых потенциалов взаимодействия частиц могут вообще обращаться в нуль. Выражения для

αTi могут рассчитываться по известным формулам для бинарной смеси газов, компонентами которой служат ионы и атомы. Выражения для постоянной термодиффузии электронов αTe будут обсуждаться в следующей главе.

208

ГЛАВА 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕНОСА В ЧАСТИЧНО ИОНИЗОВАННОЙ ПЛАЗМЕ

В настоящей главе мы применим методы вычисления коэффициентов переноса, использованные ранее для газовых смесей, для того чтобы оценить их значения в частично ионизованном газе. При этом для вязкости и теплопроводности плазмы вполне удовлетворительные результаты могут быть получены на основе метода, использующего концепцию средней длины свободного пробега частиц. Для определения электропроводности и вклада термодиффузии в плотность тока проводимости и тепловые потоки в плазме достаточно эффективным оказывается подход, основанный на использовании метода баланса импульса. Разумеется, существенное упрощение подходов дает в ряде случаев лишь качественное описание рассматриваемых явлений, поэтому там, где это оказывается возможным, наряду с приближенными приводятся точные результаты кинетической теории.

8.1. Электропроводность частично ионизованного газа

Согласно результатам предыдущей главы, плотность тока проводимости в плазме в отсутствие магнитного поля определяется выражением

где σ– коэффициент электропроводности плазмы

Средняя эффективная частота столкновений с передачей импульса представляет собой сумму соответствующих частот электроннейтральных и электрон-ионных столкновений

По точности вычислений этот результат соответствует первому приближению Чепмена-Каулинга.

Общее выражение для эффективной частоты νek имеет вид

209

Среднее эффективное сечение столкновений Qek(1) определяется

при этом выражением (7.24). Конкретный расчет его требует знания дифференциального сечения рассеяния электрона на тяжелой частице либо проинтегрированного по углам рассеяния эффектив-

ного сечения столкновений с передачей импульса Qek(1)(v). Для

электрон-нейтральных столкновений из эксперимента определяется обычно зависящая от скорости (или энергии) электрона эффектив-

ная частота столкновений с передачей импульса νek (v) = v Qek(1)(v). В этом случае для определения νek можно воспользоваться выра-

рассчитаны до конца и определяются выражениями (см. формулы

(7.34) и (7.36))

В единицах СИ имеем

Для слабо ионизованного газа можно пренебречь электронионным взаимодействием по сравнению с взаимодействием электронов с нейтральными атомами. Этому условию отвечает, очевидно, требование

210