Жданов Явления переноса в газах и плазме 2008

прямого и обратного процессов должны быть одинаковы. В нашем случае это соответствует выполнению условия

Можно показать, что произведения элементов объема в пространстве скоростей для прямых и обратных столкновений равны (см. гл. 4). Поэтому написанное выше условие переходит в соотношение

Полученное равенство означает, что натуральные логарифмы функции распределения являются так называемыми аддитивными инвариантами. Они могут быть выражены через линейную комбинацию величин, которые также оказываются аддитивными инвариантами столкновений, т.е. сохраняются в парных столкновениях частиц. Такими величинами являются масса, импульс и кинетическая энергия частиц, поэтому

Скорость u просто характеризует выбор инерциальной системы отсчета и совпадает с макроскопической скоростью газа как цело-

Константа C определяется из условия нормировки (1.16), которое можно переписать в виде

n = C∫exp[−β(v − u)2 ]dv = C∫exp[−βv2 ]dv =

21

Здесь используются известное значение интеграла, содержащего экспоненту (см. Приложение 1)

∞∫exp(− ax2 )dx = (πa)12 .

−∞

В результате

Для определения β вычислим среднюю кинетическую энергию

Здесь использовано представление (1.15) и известные значения интегралов из Приложения 1.

В окончательном виде максвелловская функция распределения молекул по скоростям записывается как

Легко показать, что если отказаться от условия u = 0 , то соответствующее распределение принимает форму

c = v −u или переходу в систему отсчета, движущуюся с макроскопической скоростью газа как целого.

22

Используя (1.25) и (1.15), можно определить относительную долю молекул, абсолютные скорости которых лежат в некотором уз-

Вид распределения dn/ ndv , описываемого выражением (1.27), для двух различных температур T1 и T2 > T1 представлен на рис. 1.3.

1 dn

n dv

T1

T2 > T1

Рис. 1.3

Максимум этого распределения лежит при значении скорости, которая носит название наиболее вероятной скорости молекул. Ее величина определяется условием

или

23

С ростом температуры максимум распределения смещается вправо. Определим еще среднее значение модуля скорости частиц газа или так называемую среднюю тепловую скорость молекул

Используя значения интегралов, приведенных в Приложении 1, находим

1.7. Частота столкновений молекул со стенкой

Получим еще одну важную для дальнейших приложений величину, а именно: определим среднее число соударений молекул с единичной поверхностью стенки в единицу времени (или частоту столкновений молекул с единицей поверхности стенки). Направим ось X перпендикулярно стенке. Выделим на стенке малую площадку s . Предположим, что молекулы, имеющие одинаковую

Назовем плотностью потока частиц число молекул, падающих на единицу поверхности стенки в единицу времени. Тогда плот-

24

Плотность потока импульса молекул по направлению к стенке со скоростями между v и v + dv определяется умножением mvx+ на

величину (1.31)

mvx+vx+ f M (v)dv = m(vx+ )2 f M (v)dv .

Давление на стенку есть удвоенный поток импульса молекул, нормального к поверхности стенки, проинтегрированный по всем скоростям частиц

p = 2m∫(vx+ )2 f M (v)dv =

Производя интегрирование с использованием значений интегралов Приложения 1, получаем

что совпадает с выражением (1.11).

1.8. Распределение Больцмана

Если газ находится в потенциальном поле консервативных сил, то наряду с распределением Максвелла по скоростям в газе возникает пространственная неоднородность плотности частиц. Простейшим примером, когда соответствующая зависимость плотности от координаты получается при чисто гидродинамическом рассмотрении, является так называемая барометрическая формула

где g - ускорение силы тяжести, z – координата, отсчитываемая

вверх по направлению от поверхности Земли. Если температуру Т предполагать постоянной, такое же распределение с высотой имеет давление p . Распределение (1.34) является частным случаем об-

щего закона распределения Больцмана

26

где U – потенциальная энергия молекулы во внешнем силовом поле, n0 – значение плотности газа при U = 0 . Барометрической фор-

муле (1.34) соответствует при этом потенциальная энергия молекул в поле силы тяжести U = mgz . Если ввести плотность n (1.35) в

выражение (1.25), то мы приходим к функции распределения вида

Полученное выражение справедливо и для неоднородного силового поля U (r). При этом для числа молекул, попадающих в пределы объема dr = dxdydz , расположенного в точке r( x, y, z ) , и имеющих скорости в интервале dv = dvx dvy dvz , имеем

Эта формула носит название распределения Максвелла-Больцмана.

1.9. Равновесное распределение по скоростям и внутренним состояниям молекул

Строго говоря, полученное выше максвелловское распределение по скоростям соответствует лишь поступательному движению молекул. При его выводе не учитываются внутренние степени свободы молекулы, связанные с ее вращательным движением и колебаниями входящих в ее состав атомов. Характер поступательного движения двухатомных и многоатомных молекул не отличается от поступательного движения одноатомных частиц, поскольку поступательное движение сводится к движению центра масс системы. Однако наличие у таких молекул внутренних степеней свободы (форм движения или мод) приводит к независимому вкладу энергий, приходящихся на эти моды, в общую энергию молекулы, а, следовательно, и в полную среднюю энергию газа. Это в свою очередь должно учитываться при определении таких параметров, как температура и теплоемкость газов, а также величин, связанных с переносом тепловой энергии в газе (теплопроводность).

27

Вращательное движение молекул иногда описывается с помощью некоторых классических моделей молекул – твердых тел («шероховатые» и «нагруженные» сферы, сферо-цилиндры и т.д. [2]). Более общим и эффективным оказывается использование полуклассического метода описания, когда функция распределения fi = f (v,Ei ) предполагается зависящей от скорости поступатель-

ного движения молекулы v и от дискретных значений ее внутренней энергии Ei . Конкретный вид спектра этих значений энергии

для вращательных и колебательных мод определяется методами квантовой механики.

Вывод выражения для функции распределения в случае равновесного состояния газа, молекулы которого обладают внутренними степенями свободы, может быть осуществлен тем же способом, который применялся выше при выводе максвелловской функции распределения по скоростям. Использование принципа детального

где индексы i, j и k,A отвечают дискретным значениям энергии сталкивающихся молекул до и после столкновения соответственно. Из этого соотношения следует, что величина ln fi должна быть

аддитивным инвариантом и может быть выражена через линейную комбинацию трех величин, сохраняющихся в столкновениях молекул

Из соотношения (1.38) следует, что коэффициенты α0 , α1 и α2

оказываются одинаковыми для любых i .

В отличие от случая одноатомных молекул здесь существенно то, что в столкновениях сохраняется полная энергия молекул, равная

сумме ее кинетической энергии mv2 2 и внутренней энергии Ei . Коэффициенты α0 , α1 и α2 находятся из условий, определяющих плотность n и среднюю энергию единицы объема газа nE . Если u = 0 , эти условия записываются как

28

имеет смысл статистической суммы по внутренним степеням свободы частиц, которая вводится, в частности, в статистической физике при использовании так называемого распределения Гиббса

[3].

Функция распределения f (v,Ei ) записывается, таким образом, в

виде произведения обычной максвелловской функции распределения по скоростям и больцмановского распределения по внутренним состояниям молекулы. При одновременном учете вращательных и колебательных степеней свободы молекул, когда можно пренебречь их взаимодействием между собой, энергию i -го уровня можно представить как

EJ ,v = EJ + Ev ,

где J соответствует вращательному, а v – колебательному квантовому числу. При этом статистическая сумма Q записывается в виде произведения

Q = Q rot Qvib .

Статистические суммы для вращательных (rot) и колебательных (vib) степеней свободы определяются выражениями

В первом из этих выражений учитывается так называемое вырождение по вращательным степеням свободы. Коэффициент

29

gJ = 2J +1 определяет число состояний с одной и той же энергией

иносит название кратности вырождения или статистического веса.

Определение средней энергии единицы объема газа nE (1.40)

подразумевает, что она представляет собой сумму вкладов от поступательных или транспортных (tr) и внутренних (int) степеней свободы молекул

i

Введем безразмерные переменные

Это важное соотношение является фактическим определением температуры в случае газа, молекулы которого обладают внутренними степенями свободы.

При одновременном учете вращательных и колебательных степеней свободы выражение (1.47) принимает вид

где усреднение в выражениях для ε производится независимо по вращательному и колебательному спектрам молекул.

30