Жданов Явления переноса в газах и плазме 2008

5.7. Вязкость и теплопроводность газовых смесей

Элементарную теорию явлений переноса в случае вязкости и теплопроводности нетрудно обобщить на случай газовой смеси. Для произвольной газовой смеси, состоящей из N компонентов ( N типов молекул), тензор вязких напряжений и вектор теплового потока определяются простым суммированием по N

Здесь ηα и λα – парциальные коэффициенты вязкости и тепло-

проводности (не путать с соответствующими коэффициентами для чистых компонентов), η и λ – соответствующие коэффициенты

для смеси.

При получении линейных соотношений переноса и выражений для парциальных коэффициентов переноса можно использовать общее уравнение переноса элементарной теории (5.2), записав его для компонента α смеси,

Обобщая соответствующую процедуру вывода соотношений для тензора вязких напряжений и теплового потока в простом газе на

случай газовой смеси, для парциальных вязких напряжений παyx и

где

161

удельная теплоемкость при постоянном объеме, λα – средняя дли-

на свободного пробега частиц сорта α в смеси, определяемая выражением (4.70) главы 4.

Рассмотрим сначала вопрос о вязкости газовой смеси. Обозначим через ηαα коэффициент вязкости чистого газа, образованного из

молекул сорта α . Используя (4.70) и формулы для вязкости простого газа (5.4) – (5.5), для парциального коэффициента вязкости приходим к выражению

Выражение для коэффициента вязкости смеси в форме (5.43), предложенное еще в 1904 г., известно как формула Васильевой. Многие последующие исследования, основанные на различных мо-

162

дификациях элементарной кинетической теории, являлись лишь попыткой дать более достоверные выражения для параметра Gαβ . Выражения (5.41) и (5.43) можно скорректировать, используя в качестве вязкостей чистых компонентов ηαα результаты строгой теории либо экспериментально определяемые величины. С другой стороны, для величины Gαβ в случае модели молекул – твердых

сфер, используя соотношения (4.86) – (4.87), получаем

Ω(1,1)

Gαβ = 2 (αβ ) . (5.44)

Ωαα2,2

Выразим это отношение через значения коэффициентов вязкости [ηαα ]1 и бинарной диффузии [Dαβ ]1 (см. следующий параграф), получаемые на основе строгой теории.

В результате

Более обоснованный, хотя и приближенный результат Брокау (см. [11]), получается в результате разложения определителей, через которые записывается вязкость смеси в формулах строгой теории. В этом случае

Здесь Aαβ = Ω(αβ2,2) Ω(αβ1,1) . С учетом слабого изменения величи-

ны Aαβ с температурой для модели Леннард-Джонса можно ис-

пользовать некоторое среднее значение величины (65)Aαβ =1,32 вместо 1,2 в формуле (5.46).

163

Заметим, что расчет вязкости смеси по формуле (5.43) с использованием (5.45) или (5.46) дает довольно близкие результаты, если массы частиц компонентов различаются не слишком заметно. В общем случае следует пользоваться более достоверным результа-

том (5.46).

На практике для расчета вязкости смеси на основе известных экспериментальных данных по вязкостям чистых газов и измеренных коэффициентов бинарной диффузии часто используется общая формула (5.43), в которой

Здесь ηαα и Dαβ – экспериментально определяемые коэффициенты вязкости чистых газов и коэффициенты бинарной диффузии. Выражение для Gαβ в виде (5.47) было предложено Уилки и Бад-

денбергом [11,19] на основе обработки большого массива экспериментальных данных для двухкомпонентных смесей различных газов, в результате чего в выражении появился эмпирический коэффициент 1,385. Известна также формула Уилки [19], в которой фигурируют лишь вязкости чистых компонентов,

Использованный выше подход можно применить и для получения соответствующих выражений в случае теплопроводности смеси. При этом парциальная теплопроводность компонента α определяется выражением

164

а для теплопроводности смеси опять приходим к выражению, аналогичному по своей структуре формуле для вязкости смеси,

где καα – коэффициент теплопроводности чистого газа, образованного из молекул сорта α . Для одноатомных газов связь καα и ηαα в первом приближении строгой теории определяется соотношением

В приближении, соответствующем элементарной теории, можно положить Hαβ = Gαβ , где Gαβ определяется выражением (5.45) либо (5.46). Выражение для H αβ , полученное Брокау (см. [11]) раз-

ложением соответствующих определителей, через которые записывается теплопроводность смеси в формулах строгой теории, оказывается существенно более сложным, чем соответствующее выражение (5.46) для вязкости. На практике для определения Hαβ часто

используется формула Мэзона-Саксены [11], в которой фигурируют теплопроводности чистых компонентов

где коэффициент 1,065 вводится эмпирическим путем для улучшения согласия с экспериментом.

Приводимые выше выражения для теплопроводности смеси справедливы, вообще говоря, лишь для смеси одноатомных газов. Если в состав смеси входят газовые компоненты из двухатомных

165

либо многоатомных молекул, хорошим приближением при расчетах теплопроводности оказывается формула Эйкена-Гиршфелдера

[10]

При этом κmon вычисляется по формулам теории одноатомных газовых смесей, cαint – удельная теплоемкость, соответствующая внутренним степеням свободы молекул компонента α , [Dαα ]1 и

[Dαβ ]1 – соответственно коэффициенты самодиффузии и бинар-

ной диффузии, которые либо рассчитываются по известным формулам первого приближения Чепмена-Каулинга, либо берутся из эксперимента.

166

ГЛАВА 6. ДИФФУЗИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ГАЗОВЫХ СМЕСЯХ

Неравновесные явления в газовых смесях отличаются бόльшим разнообразием, чем в простом газе, поскольку наряду с вязкостью и теплопроводностью важную роль приобретают диффузионные явления. С пространственной неоднородностью концентрации компонентов смеси связано явление так называемой концентрационной диффузии, присутствие градиента давления вызывает бародиффузию, а наличие градиента температуры – термодиффузию. Как отмечалось в предыдущей главе, использование метода средней длины свободного пробега при рассмотрении диффузионных явлений в газовой смеси (за исключением самодиффузии) оказывается мало эффективным. Поэтому ниже мы используем другой подход, который можно назвать методом баланса импульса. Идея использования этого метода восходит еще к работам Максвелла и Стефана, интерес к его применению при анализе диффузии в газах возродился 50-х годах прошлого века (см. [26]), в кинетике газов и плазмы он использовался в работах Т. Каулинга [27] и Д.А.ФранкКаменецкого [7,28].

6.1. Метод баланса импульса. Сила диффузионного трения

Выделим в газе малый цилиндрический объем толщиной dx с поперечным сечением S (рис. 6.1).

dx

S

dp1

Рис.6.1

Сила, действующая на молекулы компонента 1 в этом объеме и связанная с наличием неоднородности парциального давления компонента вдоль оси X , равна, очевидно,

167

В стационарном состоянии эта сила должна уравновешиваться силой диффузионного трения, действующей на молекулы компонента 1 со стороны молекул компонента 2. Природа этой силы связана с тем, что при столкновении разнородных молекул смеси происходит передача импульса от частиц компонента 1 частицам другого компонента. Средняя величина теряемого при столкновениях импульса, отнесенная к единице объема и единице времени, обозначалась выше как R1 и рассчитывалась в параграфе 4.10. Условие баланса

сил, вызванных наличием градиента парциального давления компонента и силы диффузионного трения, для объема Sdx в установившемся режиме диффузии может быть записано в виде

− dp1 Sdx + R1Sdx = 0

dx

или

Напомним, что выражение для R1 , получаемое с использованием

определенного приближения к функциям распределения молекул компонентов (4.74), имеет вид

эффективная частота столкновений с передачей импульса (см.

формулу (4.78)).

Для того чтобы лучше уяснить физический смысл этого результата, мы дадим здесь еще один более простой вывод выражения для

R1 , используя модель твердых сферических молекул. Пусть z12 – число столкновений, испытываемых молекулой сорта 1 в единицу времени с молекулами сорта 2, а p1 – изменение импульса моле-

кулы 1 при одном таком столкновении. Полное изменение импульса молекулы сорта 1 в результате столкновений равно, очевидно,

168

твердых сфер ν12(1) = (34)ν12 , т.е. результаты приближенного и строгого расчета отличаются лишь множителем (34).

6.2. Концентрационная диффузия

Начнем анализ диффузионных явлений с вывода выражения для диффузионного потока, вызванного неоднородностью концентрации компонентов смеси. Ограничимся для простоты случаем бинарной смеси газов.

Напомним, что молярный диффузионный поток компонента 1 в смеси определяется выражением (3.58)

Запишем теперь уравнение баланса импульса для компонента 1 (6.1) с учетом выражения для R1 (6.2) в проекции на направление оси X

Выражая отсюда разность скоростей компонентов, для молярного диффузионного потока (6.4) получаем

нальности в выражении (6.6) соответствует коэффициенту бинар-

170