Жданов Явления переноса в газах и плазме 2008

Значение производной dbdχ берется по модулю, поскольку сече-

ние рассеяния σ должно быть положительной величиной. Заметим, что для частиц, рассматриваемых как точечные центры сил, из-за сферической симметрии потенциала взаимодействия частиц дифференциальное сечение рассеяния σ не зависит от азимутального угла ϕ, т.е. оказывается функцией только модуля относи-

тельной скорости частиц g и угла рассеяния χ .

В дальнейшем нас будут интересовать эффективные сечения столкновений, проинтегрированные по углам рассеяния. К их числу относится, например, транспортное сечение столкновений двух

частиц Q12(1) (g)

π

Q12(1) (g)= ∫σ12 (g, χ)(1 − cos χ)dΩ = 2π∫σ12 (g, χ)(1 − cos χ)sin χdχ . (4.14)

Появление под интегралом (4.14) весового множителя (1−cos χ)

оказывается вполне естественным в связи с обсуждавшимся выше выражением (4.10) для средней передачи импульса при столкнове-

нии частиц. Очевидно, что Q12(1) (g) является мерой среднего на-

правленного вперед импульса, теряемого частицами сорта 1 при столкновениях с частицами сорта 2, поэтому эту величину иногда называют сечением с передачей импульса или диффузионным сече-

нием рассеяния. Физическое объяснение последнему названию связано с тем, что весовой множитель (1 − cos χ) дает наибольший

вклад при рассеянии назад (χ ≈ π), а именно такими столкнове-

ниями сильнее всего задерживается диффузия частиц В общем случае в выражениях для коэффициентов переноса

встречаются также транспортные сечения произвольного A - го порядка ( A – целое положительное число)

π

Q12(A) (g)= ∫σ12 (g, χ)(1 − cosA χ)dΩ = 2π∫σ12 (g, χ)(1 − cosA χ)sin χdχ , (4.15)

в частности, важными оказываются эффективные сечения, для которых A = 2 , или

111

Легко заметить, что наибольший вклад в эффективное сечение рассеяния вносят в этом случае столкновения с рассеянием на угол

χ ≈ π2 , а именно со средней поперечной передачей импульса свя-

заны, как мы увидим, явления вязкости и теплопроводности газа.

4.3. Динамическая задача рассеяния для упругого столкновения частиц

При конкретном вычислении эффективных сечений Q12(A)(g) необ-

ходимо сначала установить явный вид зависимости для дифференциального сечения рассеянияσ12 (g, χ). Для этого, как следует из

выражения (4.13), достаточно для каждого конкретного типа столкновений найти зависимость угла рассеянияχ от прицельного

параметра b и относительной скорости g .

Рис. 4.3

Рассмотрим сначала случай упругого столкновения двух твердых сфер с одинаковыми диаметрами d (рис. 4.3). В этом случае вид

зависимости χ(b, g) можно установить, исходя из чисто геометри-

ческих соображений. Пусть две сферы сближаются, имея относительную скорость g , при этом расстояние между линиями центров

(прицельное расстояние) равно b . В момент соударения сила, дей-

112

ствующая между ними, направлена по линии, соединяющей центры сфер. Составляющая скорости g вдоль этой линии меняет свое

направление на противоположное, тогда как перпендикулярная составляющая остается неизменной. Из рис. 4.3 следует, что угол χ

между g ' и g связан с величинами b и d соотношением

Используя определения (4.13), (4.14) и (4.16), после интегрирования находим

Заметим, что модель твердых сфер оказывается единственной моделью, для которой сечения взаимодействия не зависят от относительной скорости частиц.

В случае произвольного характера взаимодействия между частицами угол рассеяния при их упругом столкновении может быть найден в рамках классического рассмотрения задачи рассеяния частицы приведенной массы μ , движущейся с относительной ско-

ростью g в центрально-симметричном поле неподвижного силово-

го центра [12,13]. При этом достаточно воспользоваться уравнениями сохранения энергии и момента импульса при столкновениях, записываемыми в системе центра масс сталкивающихся частиц.

Начальная кинетическая энергия в системе центра масс равна μ g 2 2 , а соответствующий момент импульса L = μ gb . С ис-

пользованием полярных координат r и ϑ в плоскости орбиты движения частиц уравнения сохранения энергии и момента импульса записываются в виде

Здесь U (r)– потенциальная энергия взаимодействия частиц, r – расстояние между ними, r – радиальная компонента относительной скорости частиц, ϑ– угловая скорость поворота вектора r .

113

Заметим, что для краткости величину U (r) часто называют просто

потенциалом взаимодействия частиц.

Знак минус относится при этом к входящей ветви траектории, а знак плюс– к выходящей ветви. Так как траектории в системе центра масс симметричны относительно линии наибольшего сближе-

ния, угол рассеяния χ можно связать с углом θ0 , который соот-

ветствует изменению полярного угла частицы ϑ при ее перемещении из бесконечно удаленной точки в точку наибольшего сближе-

ния) r0 или

Выражение для угла θ0 получается в результате интегрирования уравнения (4.22) по выходящей ветви траектории

Величина r0 , соответствующая точке наибольшего сближения, находится при этом из условия drdϑ= 0 , что эквивалентно соотношению

114

Выражения (4.23)–(4.24) позволяют определить зависимость χ(b, g) при заданной функции U (r). C помощью полученной зависимости на основе формулы (4.14) находится дифференциальное сечение рассеяния σ(g,χ). Заметим, что само выражение (4.13)

было получено выше в условиях, когда рассеяние частиц рассматривается в системе координат, связанной не с центром масс частиц, а с одной из взаимодействующих частиц (которая и представляет собой неподвижный силовой центр). Можно показать, однако (см.,

например, [13]), что угол рассеяния χ и сечение σ(g,χ)

ляются и в той и в другой системе координат одинаковыми выражениями.

4.4. Столкновения нейтральных частиц

В обычном газе решающую роль играют упругие столкновения атомов (либо молекул) между собой. Простейшей моделью таких столкновений является обсуждавшаяся выше модель твердых сфер, в которой предполагается, что молекулы подобны бильярдным шарам. Потенциал взаимодействия определяется в этом случае как

Схематически этот потенциал изображен на рис. 4.4,а. Результаты для этой модели легко обобщаются на случай газовой

смеси, когда диаметры сфер различны ( (d1 ≠ d2 ) , для этого дос-

В качестве модельного выражения для потенциальной энергии взаимодействия атомов, полезного при практических оценках, нередко используется обратно-степенной закон

115

где ν называется показателем отталкивания (при ν → ∞ эта модель превращается в модель твердой сферы ).

В реальности заметные силы отталкивания между взаимодействующими атомами на малых расстояниях между ними сменяются силами притяжения на больших расстояниях (силы Ван-дер Ваальса), поэтому более реалистичными являются модели взаимодействия, учитывающие также притяжение молекул.

На рис 4.4,а – 4.4,д схематически изображены чаще всего применяемые в расчетах модельные потенциалы взаимодействия нейтральных атомов и молекул.

Для модели точечного центра отталкивания (4.28) (рис.4.4,б),

используя соотношения (4.23)–(4.25), и определение (4.15), можно получить [1]

Интеграл в (4.29) для конкретных значений ν и A может быть рассчитан численно и выражение для эффективного сечения

Q12(A) (g) принимает вид

где AA(ν)–интеграл, величина которого зависит только от ν [1].

116

117

Некоторые значения AA(ν) для A =1, 2 приводятся в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Отметим, что зависимость Q12(A) от g в рассматриваемом случае имеет вид

В частности, при ν = 4 , что соответствует модели так называе-

мых максвелловских молекул, имеем

В дальнейшем мы увидим, что gQ12(1)(g) входит в подынтеграль-

ное выражение величины, определяющей эффективную частоту столкновений частиц, поэтому использование рассматриваемой модели соответствует постоянной частоте столкновений с пере-

дачей импульса.

Из модельных потенциалов, которые наряду с отталкиванием учитывают также наличие сил притяжения между молекулами следует отметить в первую очередь потенциал Сэзерленда (рис. 4.4,в). Выражение для эффективного сечения рассеяния может быть в

118

этом случае рассчитано до конца. В случае, когда ветвь притяжения описывается функцией U (r)= −κr 6 , получаем [1]

Наиболее часто используемым при расчетах коэффициентов пе-

реноса в газах является потенциал Леннард-Джонса [10]

где σ12 – расстояние, при котором потенциальная функция меняет свой знак, а ε12 – минимальное значение потенциала. Вид этого потенциала представлен на рис. 4.4,г. Выражения для Q12(A)(g ) мо-

гут быть получены в этом случае только численно. Заметим, что если σ и ε определены экспериментально (например, по температурным зависимостям коэффициентов переноса для чистых газов), то в случае взаимодействия различных пар частиц используются эмпирические комбинационные правила [10]

σ12 = 12 (σ1 + σ2 ) ,

Иногда для более реального описания области отталкивания, где потенциал Леннарда-Джонса возрастает недостаточно круто, вме-

сто степенной вводится экспоненциальная зависимость U (r) на

Однако введение такой модели имеет тот недостаток, что экспонента не обращается в плюс бесконечность при r → 0 за счет наличия второго члена, описывающего притяжение. Потенциал U стремится к минус бесконечности при r → 0 ( пунктирная часть кривой на рис. 4.4,д). Этот недостаток можно устранить введением

119

на малых расстояниях твердой сердцевины. Необходимыми свой-

ствами обладает, например, модифицированная модель потенциала

( 6 − exp ) Бакингэма., схематическое изображение которого пред-

ставлено на рис.4.4,д сплошной линией. Этот потенциал является трехпараметрическим и имеет вид

Параметр s характеризует крутизну потенциала. Наличие трех параметров позволяет варьировать как ширину, так и глубину потенциальной ямы. Такой потенциал более сложен для вычислений, хотя и дает в ряде случаев лучшее совпадение с экспериментом при исследовании температурной зависимости коэффициентов переноса [11]. Для уменьшения вычислительных трудностей модель сводят к двухпараметрической, задавая фиксированную величину параметра s (обычно s = 12, 14, 16).

4.5. Ион-атомные столкновения

Взаимодействие между ионами и нейтральными атомами (молекулами), особенно в области низких энергий, существенно определяется механизмом поляризации. Пролетающий ион индуцирует в атоме электрический дипольный момент. Если нейтральная молекула газа при этом не обладает собственным постоянным дипольным моментом, то потенциальная энергия взаимодействия индуцированного дипольного момента атома с ионом равна

где αd –поляризуемость атома. Подставляя U (r)в (4.22) и исполь-

зуя полученное решение в (4.15), можно получить формальные выражения для эффективных сечений рассеяния Q12(A)(g), подобные

тем, которые получаются при использовании обратно степенного закона отталкивания (4.28). При этом, однако, надо иметь в виду, что потенциал (4.37) соответствует притяжению частиц, поэтому при заданном значении их относительной скорости существует та-

120