Жданов Явления переноса в газах и плазме 2008

При относительно высоких концентрациях заряженных частиц в плазме определяющую роль играет трехчастичная рекомбинация, в которой участвуют ион и два электрона. Ниже мы ограничимся рассмотрением ионизационного равновесия, определяемого наличием только такого типа рекомбинации. Схема прямого и обратного процессов выглядит при этом как

где k f и kr – соответственно константы прямой и обратной реак-

ций.

Ионизационному равновесию в плазме отвечает ситуация, когда концентрации заряженных частиц перестают меняться во времени и отсутствует диффузионный перенос частиц. Это соответствует обращению в нуль левой части уравнения (2.45), откуда следует, что в равновесии скорости прямого и обратного процесса равны

Величина K (T ) , равная отношению констант скоростей прямого и

обратного процессов, является константой равновесия для процесса (2.46). Она уже не зависит от кинетики процесса и является функцией температуры T . Константу равновесия реакции K можно определить, опираясь на известные результаты статистической физики [2], в частности на тот факт, что в состоянии химического равновесия оказываются равными так называемые химические потенциалы веществ, вступающих в реакцию (в данном случае атомов) и продуктов реакции (ионов и электронов). Здесь мы воспользуемся другим, более наглядным, подходом, основанном на использовании больцмановского распределения частиц по состояни-

ям [6,7].

71

Заметим предварительно, что полученное в предыдущей главе выражение для функции распределения частиц по скоростям и их внутренним состояниям (1.41) справедливо не только для случая молекул с вращательными и колебательными степенями свободы, но и для любых других частиц, обладающих дискретным спектром внутренних состояний. К их числу можно отнести также атомы и ионы, находящиеся в различных состояниях электронного возбуждения. Для функций распределения частиц по электронным состояниям можно в этом случае записать выражение

j

Здесь f M (v) – максвелловская функция распределения частиц по

рованы таким образом, что

∑∫ f (v, E j )dv = n ,

j

где n – полная плотность частиц. Используя (2.49), после интегрирования по скоростям получаем соотношение между n j – плотно-

стью частиц, находящихся в j -ом состоянии, и n0 – плотностью частиц в основном состоянии

производится от основного состояния), g j , g0 – статистические веса j -го и основного состояния соответственно.

Для получения необходимых соотношений, связывающих плотности заряженных и нейтральных частиц в плазме в условиях ионизационного равновесия, нам нужно определить число состояний, соответствующих свободному движению частицы (электрона). Из статистической физики известно, что в так называемом квазиклас-

72

сическом приближении каждому возможному состоянию соответствует элементарный объем в фазовом пространстве, равный 2π= [3]. Таким образом, для частицы, координата которой лежит в интервале между r и r + dr , а значение импульса в интервале между p и p + dp , число состояний равно числу элементарных ячеек

dn = dpdr /(2π=)3 . Число свободных электронов с энергией ε (приходящихся на один атом) , имеющих в объеме V значения импульса, лежащие в интервале dp = dpx dp y dpz , определяется при этом выражением

энергия, необходимая для отрыва электрона от атома (εI – энергия ионизации) и передачи ему кинетической энергии p2 2me , ge −

статистический вес электронов.

Число свободных электронов на один атом в определенном квантовом состоянии находится интегрированием выражения (2.51) по всем значениям импульса

Полное число электронов определяется умножением этого результата на число атомов в одном квантовом состоянии (Na ga ), где

ga – статистический вес нейтрального атома. В итоге имеем

Теперь следует учесть, что в процессах равновесной ионизациирекомбинации принимают участие также ионы. Тогда за объем V следует принимать объем, приходящийся на один ион в опреде-

73

Правая часть этой формулы и есть интересующее нас выражение для константы равновесия (2.48). Полученный результат носит название формулы Саха. Для конкретных вычислений на основе формулы (2.52) полезно заметить, что в единицах СИ

При этом статистический вес электронов ge = 2 , статистические

веса ионов и атомов рассчитываются независимо. Так, например, для атома водорода в состоянии с главным квантовым числом, рав-

ным n , статистический вес g a соответствует кратности вырожде-

ния уровней и равен 2n2 , при этом gi =1. Для атомов других ве-

ществ и соответствующих им ионов вычисление полных статистических весов требует знания энергий, спинов и орбитальных моментов возбужденных электронных состояний, которые берутся из спектроскопических данных.

Введем определение степени ионизации плазмы

Тогда с учетом квазинейтральности плазмы (ne = ni ) из (2.48) следует

Удобно выразить степень ионизации как функцию температуры T и полного давления плазмы p . Учитывая, что

p = (ne + ni + na )kT = no (1 + α)kT ,

окончательно получаем

74

ГЛАВА 3. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

В предыдущих главах мы интересовались равновесными либо локально равновесными состояниями газа и плазмы. Основная цель дальнейшего рассмотрения состоит в анализе явлений, возникающих при отклонении системы от состояния равновесия. Как правило, мы будем предполагать, что отклонения эти являются малыми. Примером типичной неравновесной ситуации является пространственная неоднородность газа или газовой смеси, когда их гидродинамическая скорость, температура и плотности (концентрации) отдельных компонентов меняются от точки к точке. Переход к равновесному состоянию осуществляется при этом за счет возникающего в системе необратимого переноса массы, импульса и энергии от одних частей газа к другим. Им соответствуют известные явле-

ния диффузии, вязкости (внутреннего трения) и теплопроводно-

сти. В случае ионизованного газа (плазмы) к этому добавляется еще перенос заряда или электропроводность, связанная с относительной диффузией заряженных частиц. Все эти процессы объединяются под общим названием явления переноса.

Для слабо неравновесных состояний газа и плазмы оказываются приближенно справедливыми линейные соотношения переноса,

связывающие необратимые потоки массы, импульса и энергии с так называемыми термодинамическими силами (градиентами основных макроскопических переменных, внешними силами и т.п.). К числу таких линейных феноменологических законов относятся, например, закон Ньютона для вязких напряжений, закон теплопроводности Фурье, закон диффузии Фика, закон электропроводности Ома. Эти законы можно считать чисто эмпирическими, хорошо подтверждаемыми большим экспериментальным материалом. С другой стороны, они находят обоснование и в рамках линейной

термодинамики необратимых процессов (неравновесной термоди-

намики). Более того, неравновесная термодинамика предсказывает ряд перекрестных явлений, описываемых линейными соотношениями, поскольку каждый поток в принципе может являться линейной функцией всех термодинамических сил, имеющих одинаковую тензорную размерность [9].

76

Макроскопические переменные, описывающие поведение газа и плазмы (плотность, гидродинамическая скорость, температура)

удовлетворяют, как известно, локальным уравнениям сохранения массы, импульса и энергии. В пренебрежении диссипативными процессами эти уравнения (уравнения идеальной жидкости) уже рассматривались в параграфе 1.8. В общем случае в них должны входить дополнительные члены, учитывающие процессы диссипации или необратимый перенос массы, заряда, импульса, энергии в газе и плазме. Линейные соотношения переноса позволяют замкнуть уравнения сохранения, т.е. получить в конечном счете классические уравнения газовой динамики, а при учете электрического и магнитного полей также и уравнения магнитной газодинамики плазмы.

Следует отметить, что феноменологический подход дает возможность установить лишь общую структуру соотношений переноса, коэффициентами пропорциональности в которых являются так называемые коэффициенты переноса. Явные выражения для этих коэффициентов, связывающие их с основными термодинамическими переменными газа и плазмы, а главное – с параметрами столкновений составляющих их частиц, могут быть получены только методами кинетической теории. Анализу этих вопросов будут посвящены следующие главы.

В настоящей главе обсуждаются получаемые на основе феноменологического подхода общие уравнения сохранения для газов и газовых смесей и используемые в них линейные соотношения переноса. Соответствующие феноменологические уравнения переноса для плазмы будут рассмотрены в главе 7.

3.1. Потоки величин

Прежде чем перейти к конкретному анализу различных явлений переноса в газах, полезно ввести ряд важных формальных определений для используемых при этом макроскопических параметров переноса.

Перенос массы, импульса и энергии молекул через какую-либо поверхность в газе принято характеризовать плотностью потока соответствующей величины. Плотность потока соответствует количеству величины, проходящей в единицу времени через единич-

77

ную площадь поверхности. Рассмотрим, например, определение плотности потока массы частиц простого газа в предположении что все частицы имеют направленную (упорядоченную) скорость движения u . Выделим в газе малый элемент поверхности ds . Ориентацию этого элемента будем характеризовать единичным вектором n , направленным по нормали к поверхности. Очевидно, что все частицы, пересекающие элемент площади ds в течение времени dt , должны первоначально находиться в цилиндре с основани-

газа равна ρ = mn , где m – масса молекулы, n – число молекул в единице объема (плотность числа частиц). Тогда плотность потока

Более точное определение плотности потока массы частиц должно учитывать распределение молекул по скоростям. Напомним, что число молекул в единице объема, имеющих значение вектора скорости молекул в интервале между v и v + dv , равно f (v)dv . Со-

ответствующее число молекул, пересекающих поверхность ds за время dt , определяется выражением f (v)(n v)dvdsdt . Плотность

общего потока получается интегрированием по всем значениям скоростей молекул. Тогда для вектора плотности потока массы получаем

78

Полученное выражение носит самый общий характер и справедливо как для равновесных, так и для неравновесных состояний газа. Если подставить сюда равновесную функцию распределения (1.26), определяемую через собственную скорость молекул c = v −u , то после интегрирования по скоростям частиц приходим к очевидному результату: скорость u равна скорости системы отсчета, движущейся вместе с газом. Это связано с тем, что среднее значение вектора скорости хаотического (теплового) движения частиц в равновесном состоянии газа равно нулю. Такой же результат получается при использовании локально-равновесного распределения

(1.82).

Используя приведенные выше соображения, можно дать общее определение плотности потока какой-либо величины, переносимой

молекулами газа через элемент площади ds поверхности, которая перемещается с макроскопической скоростью газа u . Если какаято произвольная величина ψ зависит от собственной скорости мо-

лекул газа c , то плотность потока этой величины записывается как (n Ψ), а вектор плотности потока Ψ определяется выражением:

Рассмотрим, например, определение вектора плотности потока импульса в газе через поверхность, движущуюся со скоростью u .

Полагая ψ = mcx , имеем:

Эта величина соответствует вектору плотности потока, характеризующего перенос x -компоненты импульса. Аналогичные выражения можно записать для y - и z -компонент импульса. В результате

имеем совокупность трех векторов потоков, связанных с переносом импульса. Девять компонент этих векторов образуют симметрический тензор второго ранга, который можно записать как:

79

Заметим, что cc соответствует тензорному произведению двух векторов, называемому диадой. В тензорных обозначениях

где индексы r и s нумеруют декартовы компоненты осей координат.

Тензор плотности потока импульса Prs носит название тензора

давлений (или тензора напряжений). В обычном матричном пред-

ставлении он записывается как

Pxx Pxy Pxz

Pyx Pyy Pyz .

Pzx Pzy Pzz

Недиагональные компоненты тензора удовлетворяют при этом условиям симметрии (Prs = Psr . при s ≠ r ).

Отдельные компоненты тензора Prs имеют следующий смысл: диагональные элементы Pxx , Pyy , Pzz равны нормальным напряжениям, а недиагональные представляют собой сдвиговые или касательные напряжения. Это означает, например, что Pxx равно силе, действующей в направлении x на единицу площади поверхности, нормальной к направлению x , а Pyx равно силе, действую-

щей в направлении x на единицу площади поверхности., перпендикулярной направлению y . На рис. 3.2 изображены декартовы

компоненты тензора давлений Pyx , Pyy , Pyz , в сумме дающие результирующую силу Py , действующую на единицу поверхности, перпендикулярной направлению y .

Для газа одноатомных молекул (т.е. при отсутствии у молекул внутренних степеней свободы) величина

80