Жданов Явления переноса в газах и плазме 2008

Нетрудно показать, что якобиан преобразования скоростей к переменным, определяемым в системе центра масс на основе формул (4.5), равен единице [1,13], откуда следует

dv1dv2 = dg dG .

Для сферической системы координат в пространстве скоростей имеем dg = 4πg 2 dg . Аналогичное выражение может быть записа-

но для элемента скоростей dG . Производя соответствующие подстановки в выражение (4.54), получим

Интегрирование по переменной G может быть проведено независимо. Используя значение интеграла

С помощью этой формулы легко определяются значения средней относительной скорости и квадрата относительной скорости частиц

Для интересующей нас величины – полного среднего числа столкновений в единице объема за единицу времени имеем

N12 = n1n2 gQ12(A)(g) =

Удобно представить эту величину в виде

131

4.9. Частота столкновений частиц и средняя длина свободного пробега

Введем величину ν12 = N12 n1 , которая называется частотой

столкновений частиц сорта 1 с частицами сорта 2. Она равна, очевидно, среднему числу столкновений, которое испытывает в единицу времени любая выделенная частица данного сорта со всеми частицами другого сорта. По определению

Для модели твердых сфер при A =1 получаем

Другой простой случай соответствует модели обратно-степенного взаимодействия при ν = 4 , поскольку при этом gQ(1)(g)= const. В

частности, для ион-атомных столкновений в случае поляризационного взаимодействия, используя для эффективного сечения столкновений выражение (4.38), получаем

132

Средняя или эффективная частота столкновений в этом случае не зависит от температуры.

Величина, обратная ν12(1), дает среднее время между столкнове-

ниями частиц

Средняя длина свободного пробега частиц определяется как среднее расстояние, проходимое частицей сорта 1 между столкно-

Для частоты столкновений и средней длины свободного пробега

В случае простого газа (не смеси) при использовании модели мо- лекул–твердых сфер это приводит к уже известному нам выражению (см. формулу (1.3) в главе 1) для средней длины свободного пробега

Если в газовой смеси имеются частицы нескольких различных сортов, то полная средняя частота столкновений частицы сорта 1 со всеми остальными частицами определяется как

133

k≠1

где N – число компонентов смеси. То же самое относится и к плазме, в число компонентов которой могут входить электроны и ионы произвольных сортов. Для средней длины свободного пробега частиц сорта 1 в смеси тогда имеем

k≠1

4.10.Средняя передача импульса при столкновениях частиц разного сорта

Наряду с полным средним числом столкновений частиц в единице объема и за единицу времени полезно рассчитать в тех же условиях величину среднего изменения импульса при столкновении частиц определенного сорта с частицами других сортов Rα. Эта

важная для дальнейших приложений величина фигурирует в уравнении баланса импульса отдельного компонента смеси (3.38). Мы увидим, что она оказывается отличной от нуля только в том случае, когда различны направленные макроскопические скорости компонентов. При взаимодействии частиц одного сорта средняя передача импульса отсутствует.

Рассмотрим расчет величины R1 для случая взаимодействия час-

тиц 1 с частицами сорта 2 [18]. С учетом выражения (4.9) полное изменение импульса частиц компонента 1 в единице объема за единицу времени можно представить в этом случае как

134

где Q12(1)(g)– эффективное сечение столкновений с передачей им-

пульса или диффузионное сечение рассеяния, определяемое выражением (4.14). При записи (4.72) использовано соотношение (4.9) и усреднение по азимутальному углу ϕ, которое приводит к резуль-

тату (4.10).

Если газовая смесь находится в равновесном состоянии, то R1 = 0 . Это легко обнаруживается, если поменять местами штри-

хованные и нештрихованные величины в выражении (4.72) и учесть, что в равновесии максвелловским распределениям частиц по скоростям соответствует выполнение условия

f1(v1 )f2 (v2 )= f1(v1′ )f2 (v′2 ) . Кроме того, следует учесть, что из соотношений симметрии между прямыми и обратными столкновениями следует равенство [1]

gσ(g, χ)= g′σ(g′, χ) .

Отличное от нуля значение R1 получается, если каждый из компонентов смеси обладает своей собственной макроскопической скоростью направленного движения uα . Полезно рассмотреть

приближение, когда функции распределения могут быть представлены максвелловскими распределениями по скоростям молекул, сдвинутым относительно собственных скоростей компонентов

Используем определение диффузионной скорости компонента смеси wα = uα −u . Далее будет рассматриваться приближение,

когда диффузионные скорости компонентов смеси предполагаются малыми по сравнению с тепловыми скоростями частиц

135

Разлагая функцию распределения (4.73) в ряд по малому параметру и пренебрегая квадратичными по диффузионной скорости членами, получаем

Здесь

локально-равновесная максвелловская функция по скоростям, определяемая в системе отсчета, движущейся со средне-массовой

скоростью смеси. При этом cα = vα − u и γα = mα 2kT . Обратимся теперь к исходному выражению (4.72). Заметим предварительно, что скорости c1 и c2 могут быть выражены через пе-

ременные в системе центра масс сталкивающихся частиц с помощью соотношений

m1c1 = m1U −μ12g , m2c2 = m2U + μ12g ,

где U = G −u . Преобразуя произведение максвелловских функций распределения по аналогии с результатом (4.56) , получаем

136

где γ12 = μ12 2kT . Подставляя (4.76) в (4.72) и используя соотношение dc1dc2 = dU dg , можно произвести интегрирование соответ-

ствующих выражений по переменной U . При этом часть интегралов обращается в нуль из-за нечетности подинтегральных выраже-

ний поU . Окончательное выражение для R1 принимает вид (см. Приложение 3)

Средняя или эффективная частота столкновений частиц с передачей импульса ν12 , фигурирующая в (4.77), определяется выражением

от введенной ранее частоты столкновений ν12(1) множителем (43).

Полученное нами выражение для средней передачи импульса при столкновении частиц различного сорта допускает простое обобщение на случай многокомпонентной газовой смеси. Полная средняя передача импульса в единице объема за единицу времени от частиц компонента α складывается в этом случае из величин, соответствующих передаче импульса при столкновениях частиц данного сорта с частицами всех остальных компонентов. В результате

137

4.11. Ω - интегралы кинетической теории

В кинетической теории явлений переноса в газах и газовых смесях, использующей приближенные методы решения кинетического уравнения Больцмана, важное значение имеют так называемые Ω- интегралы, через линейные комбинации которых выражаются коэффициенты переноса. Общее определение этих интегралов имеет вид [1,10]

Вслучае простого газа в (4.81) надо положить μ12 = m2 . При этом

x= (m4kT )12 g .

Введенные в предыдущих параграфах выражения для частот столкновений связаны с Ω-интегралами соотношениями

Как мы увидим ниже, параметры Ω(0,1)фигурируют в выражени-

ях для коэффициентов переноса, получаемых на основе элементарной кинетической теории, использующей концепцию средней дли-

ны свободного пробега частиц. С помощью интеграла Ω12(1,1) непо-

средственно записывается коэффициент взаимной диффузии молекул в смеси D12 , выражение для которого получается на основе метода баланса импульса (см. главу 6). Соответствующий резуль-

138

тат практически совпадает с выражением, получаемым в первом приближении строгой кинетической теории газовых смесей [1]. В той же строгой теории коэффициенты вязкости и теплопроводности простого газа выражаются через интегралы вида

Как видно, все Ω- интегралы имеют порядок величины, равной произведению средней тепловой скорости частиц на эффективное сечение их столкновений.

При записи выражений для коэффициентов переноса, получаемых в строгой теории, часто принято использовать приведенные

139

которые характеризуют отличие принятой модели взаимодействия молекул от идеализированной модели твердых сфер. Тогда, например,

Для модели твердых сфер σ = d . Для произвольного потенциала взаимодействия, например для потенциала Леннард-Джонса, параметр σ соответствует характерному расстоянию, на котором потенциальная энергия меняет знак (см. рис. 4.4,г и выражение (4.34)). В случае смеси d12 = (d1 + d2 )/ 2 и σ12 = (σ1 + σ2 )/ 2 .

140