Емелянов Фундаменталные симметрии 2008
.pdfОтметим, что hd и hl возникают из-за TFH связи и поэтому удовлетворяют условию hd = hl. Аналогично, hu возникает вследст-
вие ТТН связи и поэтому удовлетворяет условию hu = huT . Эти ог-
раничения присутствуют и в MSSM. Соотношение между юкавскими связями справедливы для каждого поколения, но на этом пути возникают нежелательные соотношения между массами фер-
мионов, например, md = me . Это соотношение не зависит от мас- ms mμ
совой шкалы, т.е. справедливо на электрослабом масштабе. Однако оно отличается от экспериментально наблюдаемого соотношения примерно в 15 раз. В этом состоит основная трудность минимальной SU(5) модели. Эта проблема не является фундаментальной для идеи Большого объединения, она связана лишь с конкретной реализацией этой модели. Действительно, включая дополнительные мультиплеты, например, 45-плет, можно избежать этой проблемы. Другой способ – добавить в теорию операторы высших размерно-
стей, типа TFϕH , которые могут быть порядка 0.1 ГэВ и которые
M pl
могли бы фиксировать предсказание массы мюона в SU(5). Присутствие, как кварков, так и лептонов в одном мультиплете
SU(5) приводит к распаду протона. В несуперсимметричной SU(5) существуют два класса фейнмановских диаграмм, соответствующих распаду протона:
а) путем обмена калибровочными бозонами не-SUSY SU(5), в которых генерируются операторы вида: е+†udc†u;
в) путем обмена хиггсовскими полями.
В суперсимметричной теории есть дополнительный источник распада протона путем обмена хиггсино, когда операторы QQH и
QLH посредством HH смешивания генерируют эффективный
оператор QQQL/MH.
Диаграмма с обменом калибровочным бозоном приводит к рас-
+ |
0 |
|
|
|
|
4παU |
|
||
паду p→e |
π |
с амплитудой M |
|
+ |
|
0 = |
|
. Это дает оценку |
|
p→e |
π |
MU2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
времени жизни протона
301
τp ≈ 4.5 10 |
29±0.7 |
|
MU |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(8.81) |
|
|
|
1014 |
|
|||||
|
|
2.1 |
ГэВ |
|
|
Для MU =2.1 1016 ГэВ получаем τр = 4.5 1037±0.7 лет. В настоящее время достигнут экспериментальный предел в 1034 лет.
Обращаясь к диаграммам с обменом хиггсино, получаем амплитуду
|
h h |
|
m |
q2 |
|
|
|
M ≈ |
u d |
|
калиб. |
|
. |
(8.82) |
|
M H |
16π2MQ2 |
||||||
|
|
|
|
В этой формуле содержится подавление одной тяжелой массой. Есть и другие факторы подавления, но они не столь эффективны, как в случае обмена калибровочным бозоном. Другой аспект этого процесса состоит в том, что конечным состоянием оказывается
νK + , а не е+π0. Это становится очевидным, если рассмотреть эффективный оператор, который возникает вследствие обмена цвето-
выми триплетными полями в 5 + 5 : O B=1 = QQQL, где Q и L –
суперполя, т.е. бозонные операторы. В терминах изоспиновых и цветных компонент они выглядят как εijkui uj dk e- или εijkui dj dk ν.
Очевидно, если два u и d в этих выражениях относятся к различным поколениям, то эти операторы, в силу цветовой антисимметрии, обращаются в ноль.
Имеется несколько весьма привлекательных черт группы SU(5) как группы Большого объединения. Эта модель имеет очень мало параметров, т.е. она весьма предсказательна. Действительно, она выгодно отличается от MSSM, у которой более сотни параметров. SUSY SU(5) содержит пять параметров: А, В, m3/2 – характеризуют эффекты супергравитации; параметр μ связан с Hu Hd смешиванием в суперпотенциале и m3/2 – универсальная масса калибрино. Это уменьшение числа параметров имеет следующие применения:
1. Объединение калибрино.
На масштабе GUT три калибрино имеют одинаковые массы ( mλ1 = mλ2 = mλ3 ). Их массы на электрослабом масштабе можно
получить, используя соотношение ренорм-группы
302
d |
m |
= |
bi |
α m |
. |
(8.83) |
|
|
|
||||||
dt |
λi |
|
2π |
i |
λi |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая эти уравнения, находим на электрослабом масштабе
mλ : mλ |
2 |
: mλ |
3 |
= α1 : α2 : α3 . |
(8.84) |
1 |
|
|
|
Таким образом, возможное открытие калибрино может служить проверкой этой формулы, а также SU(5) Большого объединения.
2. Предсказание масс скварков и слептонов.
На масштабе нарушения SUSY все скалярные массы в схеме супергравитации одинаковы. Как и ранее, их значения на электрослабом масштабе определяются ренорм-групповым анализом:
m2 |
= m2 |
+ m2 |
+ |
αU |
|
8 |
f |
3 |
+ |
3 |
f |
2 |
+ |
f1 |
m2 |
ν |
+ QZ M 2 cos2 2β, (8.85) |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Q |
|
3/2 |
|
|
Q |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
30 |
|
λ |
|
Q |
|
Z |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (2 |
−b t)3 |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где QZ |
= |
|
|
− |
|
sin2 |
θ |
и |
QZ = − |
|
|
+ |
|
sin2 θ , |
f |
k |
= |
|
|
k |
, bk – |
|||||||||||
2 |
|
3 |
2 |
3 |
|
1−b t2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
коэффициенты, возникающие в ренорм-групповом подходе. Соотношение (8.85) приближенно дает mQ2 = m3/22 + mλ2υ + 4mλ2ν . Это соотношение служит независимым тестом SUSY SU(5).
Проблемы и направления развития SUSY SU(5)
Как уже отмечалось выше, SUSY SU(5) весьма привлекательна с точки зрения простоты, однако она содержит целый ряд серьезных проблем:
А. нарушение R-четности.
В суперпотенциале содержатся перенормируемые члены, нарушающие барионное и лептонное число:
|
|
|
|
|
|
W ′ = λabcTa Fb Fc . |
(8.86) |
Если записать это слагаемое через компоненты полей, то возникнут члены, нарушающие R-четность MSSM. Это члены типа
La Lbecc , QLd c , а также ucd cd c и т.д. Новая особенность, возни-
кающая в схеме Большого объединения, состоит в том, что существует только один параметр связи, описывающий все три типа членов, т.е. константа связи λ удовлетворяет условию антисимметрии по индексам двух поколений b, c. Таким образом, полное число па-
303
раметров, нарушающих R-четность, равно 9 вместо 45 в MSSM. SUSY SU(5) не приводит к существованию легчайшей суперсимметричной частицы, которая оказывается стабильной и могла бы рассматриваться в качестве кандидата на холодную скрытую массу. Как мы увидим ниже, SO(10) модель дает решение этой проблемы.
Б. Проблема дублетно-триплетного расщепления.
Как мы видели выше, для генерации легких дублетов MSSM необходима «точная подгонка» двух параметров 3/2λb и М в суперпотенциале. Однако, если нарушение SUSY осуществляется посредством введения скрытого сектора, то SUSY-нарушающий лагранжиан имеет вид
|
|
|
|
|
|
LSB = AλH |
ΦH + BMHH + h.c., |
(8.87) |
где символы соответствуют скалярным компонентам суперполей. В сценарии супергравитации А≠В. В результате, если массы хиггсино удерживается на электрослабом масштабе, то эта настройка не оставляет скалярные дублеты на электрослабом масштабе.
Известны два способа устранения этой проблемы.
1) Использование синглетного поля S и выбор суперпотенциал в
виде |
|
|
|
|
|
W T = 2H |
ΦH + SHH . |
(8.88) |
|||
Суперсимметричный минимум теории соответствует |
|
||||
FH = Hu (−3b + S ) = 0 . |
(8.89) |
Условие <S>=3b отвечает легким дублетам, т.е. дублеты естественным образом остаются на электрослабом масштабе, и нет необходимости в «точной настройке». В этом случае нарушение суперсимметрии на древесном уровне проявляется в безмассовости MSSM дублетов как для фермионных, так и для бозонных компонент.
2) Механизм, который действует эффективнее, чем первый, называют механизмом «исчезнувшего» партнера. Можно выбрать в качестве нарушающего GUT симметрию мультиплет, имеющий
такую связь с Н и H другими мультиплетами, что при нарушении SU(5) симметрии, только дублеты оказываются легкими.
3) Проблема бариогенезиса.
Есть и другие проблемы, связанные с SUSY SU(5) моделью. Одна из них – проблема барионной асимметрии Вселенной. Если ба-
304
рионная асимметрия модели генерируется на масштабе GUT, то должна генерироваться и лептонная асимметрия, чтобы сохранялась разность B–L. В результате оказывается возможным записать
nB = 12 nB−L + 12 nB+L = 12 nB+L . Проблема в том, что сфалеронные
взаимодействия, находящиеся в равновесии для 102 ГэВ < T < < 1012 ГэВ, будут «корректировать» nB+L, поскольку они нарушают (B+L)-число. Таким образом, барионная асимметрия на масштабе GUT не «выживает» на электрослабом масштабе. Наконец, в SU(5) модели отсутствует естественный механизм генерации масс нейтрино, хотя и существуют модели, использующие нарушающие R- четность взаимодействия.
8.3.12. Суперсимметричная SO(10)
Эта модель Большого Объединения имеет целый ряд преимуществ по сравнению с SU(5). Например, все фермионы попадают в одно спинорное представление SO(10); спинор SO(10), является 16мерным, содержит правые нейтрино, а именно это необходимо для генерации масс нейтрино. Калибровочная группа SO(10) – лево- право-симметричная, т.е. в её рамках разрешается проблема СР- нарушения SUSY-моделях. Остановимся более подробно на свойствах группы SO(10).
Группа SO(2N) определяется алгеброй Клиффорда из 2N элементов Γa , которые удовлетворяют следующим антикоммутационным соотношениям
[Γa ,Γb ]+ = 2δab , |
(8.90) |
где a, b изменяются от 1 до 2N. Генераторы группы SO(2N) задаются следующим образом:
Σab =[Γa ,Γb ]− . |
(8.91) |
Изучение спинорных представлений SO(2N) значительно упрощается, если использовать SU(N) базис SO(2N).
Для обсуждения SU(N) базиса введем N антикоммутирующих операторов χi и χi+ , удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям
305
χ |
, χ+ |
= δ |
ij |
. |
(8.92) |
i |
i + |
|
|
|
Тогда оказывается возможным выразить элементы алгебры Клиффорда Γa в терминах фермионных операторов
Γ2i−1 = |
χ |
|
− χ+ |
; |
|
Γ2i = |
|
χ |
|
+ χ+ |
(8.93) |
|||
|
i |
2i |
i |
|
|
|
i |
i . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
Спинорные представления группы SO(10) возникают следующим |
||||||||||||||
образом: |
|
|
|
χ+j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
χ+j χk+χl+ |
|
|
|
|
|
|
|||||
ψ = |
|
0 |
|
|
|
. |
(8.94) |
|||||||
|
|
+ |
+ |
+ |
+ + |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
χ j |
χi |
χl |
χmχn |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Очевидно, что это и есть 16-мерное представление. Состояния 16мерного спинора имеют правильные квантовые числа, чтобы включать в себя фермионы одного поколения. Различные состояния частиц идентифицируются следующим образом
|
|
|
e− = χ4+ |
|
|
|
0 ; dic = χi+ |
|
0 ; |
|
|
0 и т.д. |
(8.95) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u |
i |
= χ+χ+χ |
5 |
|
|
0 ; |
e+ = χ+ |
χ+χ+ |
|
||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||
Другие представления, такие, |
как 10, задаются с помощью |
Γa , а |
|||||||||||||||
45-плет – [Γa ,Γb ] |
и т.д. Иначе говоря, они обозначаются вектора- |
ми с полностью антисимметричными индексами.
Тензорные представления, необходимые для нашего обсужде-
ния: 10 ≡ На; 45 ≡ Аab ; 120 ≡ Λabc ; 210 ≡ Σabcd ; 126 ≡ abcde (все ин-
дексы полностью антисимметричны). Нам понадобится для записи юкавских связей типа ψψН (Н ≡ 10) оператор зарядового сопряжения. Он задается в виде C = ∏Γ2i−1 , i = 1,…, 5. Генераторы груп-
i
пы SU(ni) и SU(2)L×SU(2)R можно записать в терминах χ. Поскольку группа SU(4) изоморфна SO(6), то генераторы SU(4) будут включать только и их эрмитово сопряженные для i = 1, 2, 3, в то время как SU(2)L×SU(2)R содержит только χр (и их эрмитово со-
пряженные) для р = 4,5. SU(2)L генераторы: IL+ = χ+4 χ5 , а IL− и I3,L можно найти с помощью IL+ . Аналогично, IR+ = χ5+χ+4 , а другие ге-
306
нераторы определяются |
с помощью |
IR+ . Например, |
I3,R = |
|||||
= |
1 |
[I+R − I−R ] . Кроме того, операторы |
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
B − L = − |
∑χi+χi |
+ ∑χ+pχp ; Q = |
∑χi+χi − χ4+χ4. |
(8.96) |
||
|
|
|
3 |
|||||
|
|
3 |
i |
p |
i |
|
Заметим, что это лишь один из способов представления свойств группы SO(2N). Преимущество спинорного базиса состоит в том, что вычисления требуют лишь манипуляций с антикоммутационными соотношениями для χi . Например, пусть нам нужно оценить
массы up и down–кварков, индуцируемые на электрослабом масштабе взаимодействием с 10-плетом хиггсов. Иначе говоря, необходимо оценить оператор ψСГаψНа. Чтобы обнаружить, какие компоненты Н соответствуют электрослабым дублетам, заметим,
что SO(10)→SO(6)×SO(4). Обозначим через а = 1,…, 6 SO(6) ин-
дексы, а через р = 7,…, 10 – индексы SO(4). Группа SO(6) изоморфна группе SU(4), а SO(4) – изоморфна группе SU(2)L SU(2)R. Чтобы оценить матричный элемент приведенного выше оператора, необходимо придать ненулевые вакуумные средние Н9,10, поскольку все другие элементы имеют электрический заряд. Действительно, это можно увидеть в SU(5) базисе, где χ5 соответствует нейтрино с нулевым зарядом, а все другие χ, имеют ненулевой электрический заряд. Таким образом, нужно оценить матричный элемент типа
0 χ1ΓgCχ+2 χ3+χ+4 0 . В этом матричном элементе только члены χ5,
содержащиеся в Γg , а также χ2χ3χ4 и χ1+χ5+ , определяют его ве-
личину.
Обсудим теперь нарушение SO(10) до группы симметрии стандартной модели. SO(10) содержит максимальные подгруппы
SU(5)×U(1) и SU(4)c×SU(2)L×SU(2)R×Z2, где Z2 – группа, соответст-
вующая зарядовому сопряжению. Группа же SU(4)c содержит под-
группу SU(3)c×U(1)B–L.
Прежде чем обращаться к нарушению симметрии, обсудим Z2 подгруппу и её приложения.
307
Дискретную подгруппу Z2 часто называют в литературе D- четностью. Относительно преобразований D-четности, u → uc, e → ec и т.д. Вообще говоря, симметрия D-четности и SU(2)R симметрии могут быть нарушены отдельно друг от друга. Это имеет несколько интересных физических приложений. Например, если D-четность нарушается на масштабе (MP), большем, чем (MR) SU(2)R, то спектр хиггсовского бозона получается асимметричным, и две калибровочных константы эволюционируют по-разному. На масштабе MR gL ≠ gR. SO(10) оператор, который включает операцию D-четности,
имеет вид D ≡ Г2Г3Г6Г7. Присутствие группы D-четности на масштабах, ниже масштаба GUT, может привести к образованию доменных стенок, ограниченных струнами. Это утверждение имеет катастрофические космологические последствия, если MР = MR. Однако эту проблему удается избежать, если MР > MR.
Таким образом, существует много способов нарушения SO(10) до группы симметрии стандартной модели. Ниже рассмотрим несколько интересных цепочек нарушения, а также SO(10) мультиплеты, чьи вакуумные средние приводят к нарушению.
А) SO(10) → SU(5) → GСтандартной Модели
Хиггсовский мультиплет, «ответственный» за нарушение на первом шаге – 16-мерный мультиплет (обозначим его через ψН), который содержит поле с квантовым числом νс, является SU(5) синглетом, но с ненулевым значением B–L. Второй шаг нарушения осуществляется за счет
16H →1−5 +10−1 + |
|
+3 . |
(8.97) |
5 |
Нарушение SU(5) до группы симметрии стандартной модели осуществляется за счет 45-мерного мультиплета, содержащего 24мерное представление SU(5). Это представление содержит синглет группы симметрии стандартной модели. В матричном обозначении, можно записать нарушение за счет 45-плета в виде <A> = iτ2 diag(a, a, a, b, b), где а ≠ 0, b – может быть как отличным от нуля, так и равным нулю.
Вторая физически интересная цепочка нарушений:
В) SO(10) → G2 2 4D → GСтандартной Модели .
308
В этой цепочке обозначено |
|
G224D = |
|
SU(2)L×SU(2)R×U(4)c×Z2. |
|||||||||||||||||||||
Нарушение происходит за счет хиггсовского мультиплета |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
(2,2,6) . |
|
(8.98) |
|||
54 = (1,1,1) + (3,3,1) + (1,1,20 ) + |
|
||||||||||||||||||||||||
Вторая стадия нарушения G224D до GСтандартной Модели осуществляется |
|||||||||||||||||||||||||
двумя способами, |
приводящими |
|
к |
|
совершенно |
разной |
физике: |
||||||||||||||||||
1) 16 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16 , 2) 126 + 126 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Приведем разложение G224D на 16 и 126: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
16 = |
( |
|
|
) |
+ |
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2,1,4 |
|
1,2, |
4 |
|
; |
|
|
|
|
|
(8.99) |
|||||||||
126 = |
( |
3,1,10 |
) |
+ 1,3, |
|
) |
+ |
( |
2,2,15 |
) |
+ 1,1,6 |
) |
. |
||||||||||||
10 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
||||||
В матричном обозначении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
<54> = diag(2a, 2a, 2a, 2a, 2a, 2a, –3a, –3a, –3a, –3a). |
(8.100) |
Для мультиплета 126 возникает компонента с ненулевым вакуумным средним.
Важно отметить, что если суперсимметрия проявляет себя до электрослабого масштаба, то следует рассматривать хиггсовские
бозоны, которые парами (например, 16 + 16) уменьшают ранг группы.
С) SO(10) → G2231 → GСтандартной Модели .
Это нарушение происходит за счет комбинации 54 и 45 – мерных хиггсовских представлений. Отметим отсутствие Z2 симметрии после первого нарушения симметрии. Действительно, (1, 1, 15) (относительно G224D ) мультиплет, нарушающий SO(10) симметрию,
нечетен относительно преобразований D – четности. Второй этап нарушения – точно такой же, как в случае (В).
D) SO(10) → G2 2 4 → GСтандартной Модели .
На втором этапе нарушения отсутствует D – четность. Действительно, хиггсовский мультиплет 210 разлагается относительно G2 2 4 следующим образом:
210 = (1,1,15) + (1,1,1) + (2,2,10) +
(8.101)
+(2,2, 10) + (1,3,15) + (3,1,15) + (2,2,6).
Компонента, которая приобретает ненулевое вакуумное среднее –
∑ 78910 .
309
Обратимся теперь к обсуждению масс фермионов. Как обычно, в калибровочных теориях, они возникают из юкавских связей после спонтанного нарушения симметрии. Чтобы определить юкавские связи, заметим, что имеет место разложение 16×16=10+120+126. Поэтому калибровочно-инвариантные связи имеют вид:
16.16.10 ≡ ΨT C−1ГaΨHa ; 16.16.120 ≡ ΨГaГbГcΨΛabc
(8.102)
и 16.16.126 ≡ ΨГaГbГcГd ГeΨΔabcde.
В этих выражениях опущены индексы поколений. Трактуя юкавские связи как матрицы в пространстве поколений, получаем сле-
дующие |
их симметричные свойства: h |
= hT |
, |
h |
= −hT |
и |
|
|
|
10 |
10 |
|
120 |
120 |
|
h |
= hT |
, где индексы обозначают юкавские связи спиноров с |
|||||
126 |
126 |
|
|
|
|
|
|
соответствующими хиггсовскими полями.
Чтобы после электрослабого нарушения симметрии фермионы приобрели массы, нужно придать ненулевые вакуумные средние
компонентам полей в различных случаях: |
H9,10 |
≠ 0, Λ789,7810 ≠ 0 |
или Λ129 = Λ349 = Λ569 ≠ 0 . Аналогично |
12789 = |
34789 = 56789 ≠ 0 |
и т.д. |
|
|
SO(10) модель подразумевает несколько важных ограничений на |
||
фермионные массы: |
|
|
а) если имеется только один хиггсовский 10-плет, «ответствен-
ный» за формирование масс, то только при |
H10 ≠ 0 имеет место |
соотношение Mu = M d = M e = M νD , где M F |
(F = u, d,…) обозна- |
чает массовую матрицу фермиона F – типа. |
|
б) если имеются два 10-плета, то M d = M e |
и Mu = MνD . |
в) если фермионные массы формируются 126-плетом, то имеется массовое соотношение, следующее из SU(4) –симметрии: 3M d = −M e и 3Mu = −MνD .
Очевидно, если имеется только 10-плет, генерирующий массы фермионов, то возникают плохие массовые соотношения для первых двух поколений. С другой стороны, получается достаточно хорошее соотношение между массами b и τ. Один из путей улучшения ситуации – учесть вклады от 126-плета, который осуществляет
310