Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

теля. Это преобразование можно рассматривать как вращение и сдвиг базисных векторов в локальной системе отсчета. Философия СМР состоит в том, что даже при лоренц-нарушении физика должна оставаться независимой от наблюдателя. лоренц-преобразование частицы – вращение или сдвиг поля, приписываемого частице, оставляющее систему координат неизменной. В этом случае, если имеет место лоренц-нарушение, физика может изменяться. С точки зрения эксперимента, наблюдательная инвариантность СМР означает, что результаты измерения не зависят от выбора системы координат. С другой стороны, если лоренцевская симметрия нарушена, результаты эксперимента могут изменяться, если измерительная аппаратура вращается или сдвигается в некотором направлении. Конечно, эта особенность СМР нарушает принцип относительности, являющийся основным предположением (ненарушенной) релятивистской теории. Это принцип иногда формулируется как эквивалентность пассивных и активных преобразований Лоренца, когда одно преобразование рассматривается обратным другому преобразованию.

Подобное же различие между преобразованиями наблюдателя и частицы имеет место для общих координатных преобразований, проводимых на пространственно-временном многообразии с геометрией Римана или Римана-Картана. Преобразование наблюдателя – это изменение пространственно-временных координат, которое оставляет физику неизменной. С другой стороны, преобразование частицы – это диффеоморфизм, отображающий одну точку пространства-времени в другую.

Вообще говоря, полное СМР следует определять с помощью вербейн-формализма. Это дает возможность обнаружить отличие между пространственно-временным многообразием и локальной

лоренцевской системой отсчета. Вербейн eμa обеспечивает связь между компонентами тензорного поля Tλμν на пространственном

многообразии (обозначенном с помощью греческих индексов) и соответствующими компонентами Tabc... в локальной лоренцевской

системе (обозначаемой латинскими индексами). Эта связь задается в виде

331

В таких обозначениях gμν – компоненты пространственно-

временной метрики, в локальной же лоренцевской системе метрика имеет форму ηab – метрики Минковского. Поэтому необходимое

условие для вербейна: gμν = eμaeνbηab . Ковариантные производные, действующие на тензорные поля с локальными индексами, содержат спиновую связность ωμab . Например,

связность не является независимым полем, она описывается вербейном и его производными. В пространстве-времени РиманаКартана спиновая связность представляет собой независимую степень свободы, ассоциированную с ненулевым кручением.

Независимость от наблюдателя СМР означает, что все члены в лагранжиане являются наблюдаемыми скалярами относительно общих координатных преобразований и локальных лоренцевских преобразований. Это значит, что каждый пространственновременной индекс и каждый локальный лоренцевский индекс в лагранжиане должны быть свернутыми. Однако СМР не инвариантны относительно диффеоморфизмов частицы и локальных лоренцевских преобразований. Действительно, диффеоморфизм означает отображение одной точки пространства-времени на другую и характеризуется бесконечно малым преобразованием в координатном базисе:

Четыре бесконечно малых параметра ξμ являются степенями сво-

боды диффеоморфизма. С другой стороны, при бесконечно малых лоренц-преобразованиях частицы, компоненты поля преобразуются как свертка с матрицей:

где εab = −εba – бесконечно малые параметры, несущие шесть лоренцевских степеней свободы и формирующие локальную группу

332

Лоренца. Очевидно, в сумме имеется десять соответствующих про- странственно-временных симметрий. Нарушение этих симметрий происходит тогда, когда член в лагранжиане, характеризующий взаимодействие, содержит коэффициенты, которые при преобразовании частицы остаются неизменными.

Полная теория СМР состоит из неограниченного числа наблюдаемых скалярных членов в лагранжиане, включающих свертки полей СМ, гравитационных полей и СМР-коэффициентов. Набор возможных СМР можно ограничить, воспользовавшись условиями калибровочной инвариантности и перенормируемости СМ. Такой ограниченный набор СМР называют минимальным СМР. Минимальное СМР сначала определим в пространстве-времени Минковского, а затем обобщим на геометрию Римана-Каратана, включив гравитационные поля.

Минимальное СМР, построенное из операторов с размерностью не выше, чем четыре, описывает лоренцевское нарушение в лидирующем порядке. Действительно, следует ожидать, что члены в лагранжиане больших размерностей подавлены дополнительными степенями массы Планка. Эффекты связи гравитационных полей тоже ожидаются слабыми по сравнению со взаимодействиями СМ. В частности, по сравнению с электромагнитными взаимодействиями. По этой причине представляется разумным, прежде всего, осуществлять проверку лоренц-инвариантности в КЭД в плоском про- странстве-времени Минковского. Тем не менее, следует иметь в виду, что некоторые типы лоренц-нарушений могут происходить и в высших порядках.

9.3. Гравитационный сектор

При построении гравитационного сектора СМР используется вербейновский формализм, который позволяет сформулировать теорию аналогично калибровочному сектору. лоренц-нарушение происходит из-за присутствия СМР-коэффициентов, которые не меняются при лоренц-преобразованиях частицы в локальной системе отсчета. В этом случае СМР-коэффициенты несут латинские индексы, например, ba для вектора. Превращение в пространст-

венно-временные координаты осуществляется следующим обра-

333

зом: bμ = eμaba . Лагранжиан записывается в терминах полей и

СМР-коэффициентов, определенных на пространственновременном многообразии. Естественно (хотя и не обязательно) предполагать, что СМР-коэффициенты являются плавными функциями на многообразии. Нет необходимости считать их ковариант- но-постоянными. Действительно, определяя ковариантно-постоян- ные тензоры на многообразии, мы тем самым ограничиваем геометрию этого многообразия. Одно из упрощающих предположений, которое выглядит вполне естественно в контексте спонтанного нарушения лоренц-инвариантности, – постоянство СМР-коэф- фициентов в локальной системе отсчета.

Первый шаг при построении минимального СМР, включающего гравитацию – учет гравитационных полей в обычной СМ. Это можно сделать, переписав все члены в Lлептон. и Lкалибр. в терминах

полей и гамма-матриц, определенных по отношению к локальной системе отсчета. Тогда для превращения этих членов, определенных уже на пространственно-временном многообразии, можно использовать вербейн-формализм. При этом для ковариантного интегрирования плотности лагранжиана (задающего действия) следует учесть определитель вербейна. С учетом этих изменений, Lлептон. принимает следующий вид:

Другие слагаемые в лагранжиане, соответствующие кварковому, юкавскому, хиггсовскому и калибровочному секторам получаются аналогично. Различные лептонные вклады в лагранжиан можно разделить на CPT-четные и CPT-нечетные. Например, CPT-четный вклад:

LCPTлептон-чет. . = − 12 i(cL )μνAB eeaμLAγa DνLB −

(9.10)

− 12 i(cR )μνAB eeaμRAγa DνRB .

Чисто гравитационный сектор минимального СМР состоит из лоренц-инвариантной и лоренц-неинвариантной части. Лоренцинвариантный лагранжиан включает произведение гравитацион-

334

ных полей. В общем случае такой лагранжиан содержит кривизну, кручение и ковариантные производные. Эйнштейновская гравитация (с космологическим членом или без него) входит в этот сектор.

Лагранжиан с лоренц-нарушающими членами в гравитационном секторе в минимальном СМР строится путем объединения СМР коэффициентов с гравитационными полевыми операторами. При этом должны возникать скаляры относительно локальных лоренцевских и общих координатных преобразований. В минимальном случае (с размерностью до четырех) эти слагаемые лагранжиана имеют вид:

СМР коэффициенты в (9.11) имеют симметрии, связанные с ло- ренц-нарушающими операторами. Все коэффициенты, за исключе-

нием (kT )λμν , имеющего размерность массы, безразмерны.

Лоренц-нарушающий сектор вносит дополнительные гравитационные связи, которые могут иметь феноменологические следствия (в космологии, в физике черных дыр, гравитационном излучении и постньютоновской физике).

9.4.Спонтанное нарушение лоренцевской инвариантности

Одним из первоначальных мотивов для развития СМР было, как уже отмечалось, открытие спонтанного нарушения локальной лоренцевской симметрии в теории струн. Если полное СМР описывает не зависящее от наблюдателя лоренц-нарушение на уровне эффективной теории поля, то специальному случаю соответствует спонтанное нарушение лоренц-симметрии. При этом тензорные поля приобретают ненулевые вакуумные средние, имеющие выделенные пространственно-временные направления, нарушающие симметрию относительно сдвигов и вращений. Согласно теореме Голдстоуна, при спонтанном нарушении непрерывной глобальной симметрии возникают безмассовые намбу-голдстоуновские (NG) моды. Если же нарушается локальная симметрии, то имеет место

335

механизм Хиггса, и калибровочные бозоны приобретают массу. Естественно возникает вопрос: а какова судьба NG-мод при спонтанном нарушении лоренцевской симметрии? Следующий вопрос: происходит ли механизм Хиггса в случае нарушения локальной лоренцевской симметрии? Общий анализ теорий со спонтанным нарушением лоренцевской симметрии можно провести в простран- стве-времени Римана-Картана, а также в предельных случаях Риманова и Минковского пространства-времени. Прежде всего, можно установить связь между спонтанным нарушением локальной лоренцевской симметрии и диффеоморфизмами. Действительно, если вербейн приобретает вакуумное среднее, которое для простоты выберем как некоторое значение в пространстве Минковского:

eμa = δμa , и если локальный тензор имеет фиксированное вакуумное среднее ba , нарушающее локальную лоренцевскую симметрию, то и ассоциированный пространственно-временной вектор bμ , полу-

чаемый при свертке с вербейном, тоже приобретает фиксированное вакуумное среднее. Пространственно-временное вакуумное среднее bμ нарушает диффеоморфизмы. Обратное утверждение тоже

справедливо. Если нескалярное тензорное вакуумное среднее на пространственно-временном многообразии нарушает диффеоморфизм, то ассоциированный локальный тензор приобретает ненулевое вакуумное среднее, нарушающее локальную лоренцевскую симметрию. В скалярном случае производные поля будут иметь вакуумные средние, нарушающие локальную лоренцевскую симметрию.

Обратимся теперь к обсуждению NG-мод. Поскольку имеется шесть лоренцевских симметрий и четыре диффеоморфизма, которые могут быть нарушены, когда тензор с соответствующим числом индексов приобретает ненулевое вакуумное среднее, то следует ожидать появления до десяти NG-мод. Однако эти десять мод могут быть поглощены как дополнительные степени свободы вербейна. Действительно, вербейн имеет 16 компонент. При наличии лоренцевской симметрии, шесть мод можно исключить калибровкой. Обычно это антисимметричные компоненты. Аналогично, для исключения четырех дополнительных степеней свободы можно

336

использовать диффеоморфизм. Таким образом, в общем случае остается шесть вербейновских мод. В эйнштейновской теории четыре из этих мод становятся вспомогательными, в результате две безмассовых моды относятся к гравитону. Однако в более общей теории гравитации может быть до шести распространяющихся мод, которым в формализме вербейна соответствуют шесть вербейновских степеней свободы. Если лоренцевская симметрия и диффеоморфизмы нарушены, то утрачивается возможность исключения путем выбора калибровки некоторых вербейновских степеней свободы. В частности, т. к. до десяти симметрий может быть нарушено, то до десяти дополнительных NG-мод возникает у вербейна. На число мод влияет природа вакуумных средних и тот факт, что симметрия является пространственно-временной симметрией. Например, в случае векторного вакуумного среднего, которое нарушает три лоренцевских симметрии и один диффеоморфизм, можно ожидать появление 3-х безмассовых лоренцевских NG-мод и одной безмассовой NG-моды диффеоморфизма. Если же векторное вакуумное среднее оказывается константой, мода диффеоморфизма становится вспомогательной модой. В этом случае, поскольку NG-моды несут векторные индексы, безмассовый вектор имеет две распространяющиеся моды. Это пример того, как обычный учет NG-мод (по одной безмассовой моде на каждый нарушенный генератор) не проходит для нарушенной пространственно-временной симметрии. Судьба NG-мод зависит от геометрии. В римановом или пространстве-времени Минковского, где кручение равно нулю, NG-моды возникают как дополнительные безмассовые или вспомогательные моды вербейна. Однако в пространстве-времени РиманаКартана, имеющем ненулевое кручение и где спиновая связность имеет степени свободы, независимые от вербейна, возможно осуществление механизма Хиггса. Дело в том, что при спонтанном нарушении симметрии образуется массовый член спиновой связности. Если теория допускает распространение безмассовых мод спиновой связности, то эти моды приобретают массу. Специфическая векторная модель спонтанного нарушения лоренцевской симметрии, называемая “bumblebee” модель, иллюстрирующая поведение NG-мод, будет рассмотрена ниже.

337

9.5. Bumblebee модель

Это векторная теория, в которой векторное поле Bμ приобретает ненулевое вакуумное среднее, спонтанно нарушающее лоренцевскую симметрию. Лагранжиан теории состоит из кинетического

члена для Bμ и потенциала, спонтанно нарушающего лоренцевскую симметрию. При этом потенциал не обладает U(1) -инвариантностью. Потенциал подразумевает вакуумное среднее ba ≠ 0 для вектора в локальной системе отсчета. Вербейн связыва-

ет вакуумное среднее с пространственно-временным вектором Bμ = eμaba . Для простоты будет искать пертурбативное решение на

фоне пространства Минковского. Это означает, что можно пренебречь отличием между латинскими и греческими индексами и записать

где десять симметричных возбуждений hμν = hνμ связаны с метрикой gμν = ημν + hμν , а шесть антисимметричных компонент χμν = −χνμ – локальные лоренцевские степени свободы. Вакуумное решение имеет вид

Кинетические и потенциальные члены можно выбрать разными способами. В иллюстративных целях будет исследовать модель с лагранжианом:

где k = 8πG , ξ – коэффициент связи между векторным полем и кривизной. В (9.14) учтены взаимодействия с векторным током, а также связи вектора с кривизной. Кинетические слагаемые в (9.14) аналогичны кинетическим членам в Эйнштейн-Максвелловской теории. Однако, в общем случае пространства-времени Римана-

338

Картана, наличие кручения вносит вклад в полевые напряженности, определяемые следующим образом:

где Dμ – ковариантные производные. Потенциальный член

где λ – множитель Лагранжа. Он учитывает ограничение – векторное поле имеет вакуумное среднее ba , удовлетворяющее соотно-

шению baba = b2 (знак соответствует случаям времениподобного

и пространственноподобного векторов). Перепишем далее векторное поле в терминах вербейна и пертурбативно разложим в ряд:

При этом степени свободы вербейна включают NG-моды.

Эту модель можно исследовать в линеаризованном приближении. Симметричные и антисимметричные компоненты вербейна преобразуются следующим образом

при бесконечно малых лоренцевских преобразованиях. Относительно же бесконечно малых диффеоморфизмов

hμν → hμν − ∂μξν − ∂νξμ,

В этих выражениях величины порядка (εh), (εχ), (ξh), (ξχ) и

т. д. считаются в линеаризованном приближении малыми, и ими пренебрегается.

NG-моды находятся при рассмотрении флуктуаций возле вакуумного решения

Полезно ввести проекции на поперечные и продольные компоненты δBμ . Предполагая b2 ≠ 0 , проекции имеют вид

339

В терминах этих проекций определяются NG лоренцевские и диффеоморфные моды. При бесконечно малых локальных лоренцев-

ских преобразованиях возбуждаются только те компоненты εμ , которые удовлетворяют условию bμεμ = 0 . Если же осуществляет-

ся бесконечно малый диффеоморфизм, то возбуждается только продольная компонента ρ. Таким образом, ее можно отождествлять с NG-модой диффеоморфизма. Заметим, что флуктуации метрики относительно вакуумного решения

тоже является диффеоморфизмом. Динамика NG мод зависит от фоновой геометрии. Рассмотрим случаи пространства Минковского, Римана и Картана-Римана.

9.5.1. Пространство Минковского

В этом пространстве кривизна и кручение равны нулю, а метрика имеет вид

Лагранжиан модели сводится к выражению

В этом случае мода ρ диффеоморфизма в величине Bμν сокращается. Она становится вспомогательной модой и не распростра-

340