Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

выглядит, как обычно.

Таким образом, велбейн является своего рода калибровочным полем с одним ковариантным векторным индексом и калибровочным групповым индексом. Однако есть ещё одно “калибровочное

поле” ωμab -спиновая связность, которое определяется как “связ-

ность” (≡ калибровочное поле) при действии группы Лоренца на спиноры. Действительно, ковариантная производная в искривлённом пространстве действует на спиноры аналогично ковариантной производной, содержащей калибровочное поле:

Это определение означает, что Dμψ является объектом, преобразующимся при общих координатных преобразованиях как тензор. Таким образом, ωμab действует как калибровочное поле на любой

локальный лоренцевский индекс a.

Если нет динамических фермионов (т.е. фермионов, не имеющих кинетического члена в действии), то ωμab = ωμab (e) – фиксированная функция, определяемая “постулатом велбейна”:

Заметим, что можно стартовать с соотношения

и его антисимметризовать, поскольку Γρμν – симметричен. Соотношение (7.136) тоже иногда называют “постулатом велбейна”.

В выражении (7.135) T a – так называется кручение, и его можно рассматривать как полевую напряжённость eμa . Постулат же

велбейна означает, что кручение (полевая напряжённость велбейна) равно нулю.

Можно построить объект, который будет представлять собой полевую напряжённость связности ωμab :

261

Это определение совпадает с определением напряжённости калибровочного поля для группы Лоренца SO(1,d-1). Кривизна оказывается аналогом Риманова тензора:

называется “формулировкой второго рода”, поскольку ωμab не яв-

ляется независимой величиной, она зависит от eμa .

Заметим, однако, что если считать ω независимой переменной в действии (7.139), то уравнения движения для ω дают Tμνa = 0 , т.е.

“постулат велбейна”. Таким образом, ω можно считать независимой переменной без изменения классической теории. Это так называемая “формулировка первого рода” гравитации в терминах неза-

висимых (eμa , ωμab ) . Супергравитацию можно определить двумя

независимыми способами, приводящими к одному результату. Это суперсимметричная теория гравитации, а также локально суперсимметричная теория. Иначе говоря, можно действовать двумя способами: а) суперсимметризовать Эйнштейновскую теорию гравитации б) выбрать суперсимметричную модель и сделать её локальной. На практике используется комбинация этих двух подходов.

Если мы хотим сделать глобальную симметрию локальной, то следует ввести калибровочное поле, соответствующее этой сим-

метрии. Таким калибровочным полем могло бы быть Aμα (SUSY действует на индекс α). Его обычно обозначают через ψμα и назы-

вают гравитино; μ – “искривлённый” индекс, α – “плоский” локальный лоренцевский индекс. В плоском пространстве объект

262

ψμα имел бы одинакового типа индексы (“искривлён-

ные” = “плоские”). Можно показать, что μα форма соответствует

полю спина 3/2, поэтому это же утверждение справедливо для искривлённого пространства. Если мы имеем дело с суперсимметричной теорией гравитации, то это означает, что гравитино под действием преобразования суперсимметрии переходит в другое состояние: ψμα = Qα (гравитация). Индексная же структура свиде-

тельствует о том, что в это преобразование входит не метрика, а “нечто” с только одним “искривлённым” индексом, а именно, велбейн. Таким образом, супергравитация требует “велбейн – спиновой связности” формулировки гравитации. Для записи SUSY преобразований начнём с обсуждения, касающегося изменения велбейна. По аналогии с моделью Весса-Зумино, где δφ = εφ или век-

торным мультиплетом, в котором вариация векторного поля δAμa = εγμψa , изменение велбейна можно записать в виде:

где G – ньютоновская константа, появляющаяся из размерных соображений. Поскольку ψ подобна калибровочному полю локальной суперсимметрии, можно ожидать изменения типа δAμ = Dμε . По-

этому имеем

Действие для свободной частицы со спином 3/2 в плоском пространстве называется действием Рариты-Швингера

SRS = − 2i ∫d 4 xεμνρσψμγ5γν∂ρψσ = − 12 ∫d d xψμγμνρ∂νψρ , (7.142)

где первая запись соответствует 4-м измерениям, а вторая – произвольному числу измерений ( iεμνρσγ5γν = γμρσ в 4-х измерениях, γ5 = iγ0γ1γ2γ3 ). В искривлённом пространстве действие (7.142) имеет вид

263

SRS = − 2i ∫d 4xεμνρσψμγ5γνDρψσ =− 12 ∫d d x(det e)ψμγμνρDνψρ . (7.143)

Теперь всё готово для построения N = 1 (на массовой поверхности) супергравитации в 4-х измерениях. Её действие есть сумма действий Эйнштейна-Гильберта и Рариты-Швингера

При этом суперсимметричные преобразования определяются следующим образом:

Однако этого недостаточно для определения теории. Следует определить формализм и различные величины:

а) формализм второго порядка. Независимыми полями являются eμa , ψμ , ω не является независимым полем. В этом случае имеется

динамический фермион (ψμ ) , поэтому кручение Tμνa уже отлично от нуля, т.е. ω ≠ ω(e) .

Действительно,

б) формализм первого рода. Все поля: ψ, e, ω – независимые. Но в этом случае следует снабдить действие законом преобразования ω. Этот закон имеет вид:

δωμab (первый порядок) =

ψab = εabcd ψcd ; ψab = ea−1μeb−1ν (Dμψν − Dνψμ ) .

264

7.9.2.Общие свойства теорий супергравитации в 4-х измерениях

N = 1 мультиплет супергравитации состоит из (eμa , ψμα ) и имеет

спины (2, 3/3). Этот мультиплет может быть связан с другими N = 1 супермультиплетами с меньшими спинами: киральным мультиплетом со спинами (1/2,0) и калибровочным мультиплетом (1, 1/2), а также с мультиплетом гравитино, состоящим из гравитино и вектора со спинами (3/2, 1). Добавляя соответствующее число таких мультиплетов, получаем N = 2, 3, 4, 8 мультиплеты супергарвитации. Число N равно числу генераторов суперсимметрии. N = 8 супергравитация имеет максимальный суперсимметричный мультиплет со спинами 2. Связь с супергравитацией суперсимметричным мультиплетом является обобщением связи с гравитацией. Это осуществляется путём рассмотрения полей в искривлённом пространстве.

Мультиплеты супергравитации состоят из следующих полей: 1) N = 3 супергравитация включает мультиплет (2,3/2) + 2 муль-

типлета гравитино (3/2,1) + один векторный мультиплет (1,1/2).

Поля { eμa , ψiμ, Aμi , λ } i = 1,2,3.

2) N = 4 супергравитация. Мультиплет (2,3/2) + 3 гравитинных мультиплета (3/2,1) + 3 векторных мультиплета + один киральный

мультиплет (1/2,0). Поля {eμa , ψiμ, Aμk , Bμk , λi , φ, B} , где i = 1,2,3,4; k = 1,2,3; Aμk – вектор, Bμk – аксиальный вектор, φ – скаляр, B –

псевдоскаляр.

3) N = 8 супергравитация. Мультиплет (2,3/2) + 7 гравитинных мультиплета (3/2,1) + 21 векторный мультиплет (1, 1/2) + 35 ки-

ральных мультиплетов (1/2,0). Поля {eμa , ψiμ, AμIJ , χijk , ν} – один

гравитон, 8 гравитино ψiμ , 28 фотонов AμIJ , 56 фермионов χijk со

спином 1/2 и 70 скаляров в матрице ν.

В этих моделях фотоны не связаны с фермионами, такие модели называют “некалиброванными” моделями. Однако эти модели об-

265

мерная редукция означает отбрасывание высших мод и учёт лишь низшей фурье-моды, т.е.

В заключение этой главы следует отметить, что SUSY – партнеры известных частиц пока не обнаружены, т.е. суперсимметрия оказывается нарушенной. Мы не рассматриваем механизмов нарушения SUSY (это могло бы составить предмет изучения отдельной книги), хотя и коснемся этой проблемы в следующей главе. Необходимо отметить, если масштаб нарушения SUSY составляет ТэВ’ы, то SUSY-партнеры способны обнаружить себя на LHC.

267

Глава 8 СИММЕТРИИ БОЛЬШОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ

8.1. Группа SU(5)

Основная идея Большого объединения на некотором масштабе M x сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий – найти группу симметрии G, которая проявляла бы себя на масштабах M x . На масштабе M x эта симметрия должна нарушаться, приводя при меньших масштабах энергии к группе симметрии стандартной модели SU(3)c×SU(2)L×U(1)Y. Если измерить калибровочные константы при малых энергиях и экстраполировать их на большие масштабы, то они должны объединиться на масштабе M x . Если не рассмотривать объединения с гравитацией, то следует считать, что M x << M P1 – планковская масса (~1019 ГэВ). Помимо объединения

калибровочных взаимодействий, следует ожидать объединения кварков и лептонов в мультиплеты группы G. Это объединение способно объяснить квантование электрического заряда и нейтральность атомов – факты, принимаемые, но не объясняемые стандартной моделью. При таком объединении возникают взаимодействия между кварками и лептонами, приводящие к распаду протона.

Простейший пример объединения – модель Джорджи-Глешоу, основанная на калибровочной группе SU(5). Группа SU(5) на масштабе M x нарушается до группы SU(3)c×SU(2)L×U(1)Y, а на мас-

штабе M z – до группы SU(3)c×U(1)EM.

В группе SU(5) фермионы включают три поколения, причём каждое поколение содержит 15 фермионных состояний.

Так, например первое поколение состоит из трёх дублетов левых кварков и шести синглетов правых кварков:

а также левого лептонного дублета и правого лептонного синглета:

268

Здесь индекс i относится к цвету.

Второе поколение включает c, s, νμ , μ. Третье – t, b, ντ , τ. Спинор с 15-ю компонентами, вообще говоря, соответствует

группе SU(15) с 224-мя векторными бозонами. В группе SU(5) 15 левых частиц распределяются по двум мультиплетам:

15 = 5 +10 . (8.3)

В первом поколении квинтет например выбирают следующим образом:

a = 1,2,…5 и r, y, b – цветовые индексы.

Декуплет соответствует антисимметризированному произведению

3×3 = 6+ 3 , для группы SU(5) 5×5 =10+15.

Декуплет описывается антисимметричной матрицей

Иногда говорят, что каждая из частиц декуплета построена из двух правых квинтетных частиц – квинтонов и гравитино – безмассовой нейтральной частицы со спином 3/2. Такие частицы предсказываются моделями супергравитации. Фермионы группы SU(5) объединены в два различных мультиплета, и объяснение этому даёт груп-

па SU(10).

269

Вернёмся к группе SU(5). Эта группа имеет 24 генератора. Если рассматривать теорию, в которой SU(5)-симметрия локальная, то каждому генератору соответствует векторный бозон. Генератором группы будет, например, электрический заряд. Поскольку след генератора равен нулю, то сумма зарядов частиц в SU(5)-мультиплете будет равняться нулю. Поэтому

И при точной цветовой симметрии Qd = −13 , т.е. SU(5)-симметрия

объясняет дробность зарядов кварков.

Что касается 24 векторных бозонов, то при точной SU(5)- симметрии все они безмассовые. Восемь бозонов, осуществляющих переходы между тремя цветными кварками – глюоны, они относятся к подгруппе SU(3)c. Три бозона “ответственные” за переходы в лептонном секторе квинтета, – W+, W –, W0, связаны с группой SU(2)L. Кроме того, имеется двенадцатый бозон B0, источником которого являются гиперзаряды частиц, он соответствует группе U(1). Как и в стандартной модели, фотон и Z-бозон являются ортогональными суперпозициями полей W0 и B0. При этом бозоны

взаимодействуют как с левыми токами dLi γμdLk , так и с правыми токами dRi γμdRk . W-бозоны взаимодействуют и с лептонами, и с

кварками.

Двенадцать других векторных бозонов представляют собой два заряженных цветовых триплета:

где i – цветовые индексы, а нижние индексы соответствуют электрическим зарядам. Бозоны X и X осуществляют преходы d ↔ e− ,

а Y и Y – переходы d ↔ ν . Если рассматривать переходы в декуплете, обмен X и Y-бозонами связан с нестабильностью протона. Чтобы обеспечить наблюдаемое ограничение на время жизни про-

тона (τp ≥1032 лет), массы X и X -бозонов должны быть очень

большими ( ≥1014 ГэВ). Очевидно, что SU(5), если она и существовала, очень сильно нарушена, однако некоторые черты симметрии

270