Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

расщепление кварковых и лептонных масс, поскольку «на языке» G224 , он содержит (2,2,15) компоненту, определяющую массовое

соотношение me = −3md . В сочетании с вкладом 10-плета, это дает феноменологически приемлемые фермионные массы. Georgi и Jarlskog предложили следующий вид M d и Me :

Эти массовые матрицы приводят к mb = mτ на масштабе GUT и

me = 1 md , что неплохо согласуется с наблюдаемыми значениями. mμ 9 ms

Одной из притягательных черт SO(10) модели является содержащаяся в ней лево-правая симметрия. Следствие этого – полная кварк-лептонная симметрия спектра. Это означает существование правого нейтрино, которое необходимо для понимания малости масс нейтрино посредством see-saw механизма. See–saw механизм в стандартной модели можно реализовать введением в теорию правого нейтрино, являющегося синглетом по группе симметрии стандартной модели. Легко видеть, если в теории есть правые нейтрино

νC , то в суперпотенциале MSSM появляются дополнительные члены вида: h−νLHuνC + M νC νC . После нарушения электрослабой симметрии возникает 2×2 массовая матрица для (ν,νC ) вида

Эта матрица может быть диагонализована, и при M >> hu υu имеет

«легкое» собственное значение mν = (huυu )2 и «тяжелое» собст-

M

венное значение ≈ M .

311

Легкое собственное значение можно рассматривать как слабовзаимодействующее нейтрино, а тяжелое – как суперслабовзаимодействующее правое нейтрино. Таким образом, без всяких подгонок (используя только тот факт, что m f = ( hu υ u ) получаем

mν = m f 2/M << m f .

Заметим, что huυu для трех поколений является матрицей – ди-

раковской массой нейтрино. Левые, как и правые нейтрино, в этом случае оказываются майорановскими нейтрино.

Хотя в контексте стандартной модели естественно ожидать M >> υu , ничего неизвестно о величине М. Кроме того, соотноше-

ние huυu =mf следует рассматривать как предположение. Однако

SO(10) модель допускает количественную трактовку обоих аспектов see – saw механизма.

Для исследования приложений включения see-saw матрицы в SO(10) модель, прежде всего, заметим следующее: если единственным источником масс кварков и заряженных лептонов является 10мерное представление SO(10), то имеет место, следующее соотношение между дираковской массой нейтрино и U-кварка:

MU = MνD . Кроме того, νC νC массовый член М возникает за счет

вакуумного среднего νCνC компоненты 126 -плета, т. е. соответствует масштабу нарушения калибровочной симметрии. Таким обра-

зом, за исключением матрицы f связи 126 -плета, все может быть определено. Это обстоятельство обеспечивает предсказательность SO(10) модели в нейтринном секторе. Например, если выбрать типичные связи для f порядка единицы и пренебречь смешиванием поколений, то получим

mντ ≈1 эВ. Эти значения масс нейтрино весьма привлекательны с точки зрения проблемы солнечных нейтрино и темной материи.

312

Интересно рассмотреть вопрос о величине υB−L в SO(10) модели. Если спектр частиц до масштаба GUT такой же, как MSSM, то МU и υB−L одинаковы и порядка 2 1016 ГэВ. С другой стороны, если на масштабах, выше υB−L , симметрия G2213 и спектр включает бидуб-

леты SUSY LR теории, B − L = ±2 триплеты как левой, так и правой групп, а также цветовой октет, то в однопетлевом приближении υB−L ≈1013 ГэВ. В рамках же подхода, описанного выше, υB−L

уменьшается до нескольких ТэВ. Таким образом, масштаб υB−L

оказывается модельно зависимым.

В SO(10) модели (B–L) симметрию можно нарушить, используя пару 116 + 16 . В этом случае для придания массы νС можно использовать оператор 16m 16m 16H 16H / M Pl , который после нару-

шения (B–L) придает νС массу ~ υ2B−L / M Pl . Для υB−L ≈ Mu это дает MνC ≈1013 ГэВ.

Другой способ получения малых масс нейтрино в SO(10) моделях – использовать 16-плеты вместо 126-плетов и не прибегать к «услугам» операторов высших размерностей, переходя при этом к 3×3 see-saw механизму (вместо 2×2, обсуждавшегося выше). Для введения 3×3 see-saw механизма нужен дополнительный синглет-

После нарушения симметрии возникает следующая массовая матрица

где υR – вакуумное среднее 16H . Диагонализуя эту матрицу в предположении υu ≈ μ ≈ υR , получаем массу легчайшего нейтри-

μh2υ2

но: mν = u , а также два других массовых соотношения ~ f υR. f υR

313

Очевидным преимуществом 126-плета перед 16-плетами является его способность автоматически сохранять R-четность даже после (B–L) нарушения. Действительно, поскольку R = (–1)3(B–L)+2S и 126-плет нарушает (B–L) симметрию посредством νCνC компоненты, то он удовлетворяет правилу B–L=2. Подставляя это значение в формулу для R, обнаруживаем, что R-четность сохраняется даже после нарушения симметрии. С другой стороны, при использовании 16-плета, (B–L) нарушается νC компонентой, т.е. B–L=1. В результате R-четность оказывается нарушенной после нарушения симметрии.

SO(10) модель имеет очевидные преимущества перед SU(5): возможность автоматического сохранения R-четности, малые ненулевые нейтринные массы, интересные фермионные массовые соотношения и т.д. Притягательна она и с точки зрения космологии: в её рамках на масштабе 1011 ГэВ оказывается возможным генерировать лептонную асимметрию. Эта лептонная асимметрия в присутствии сфалеронных процессов способна конвертироваться в барионную асимметрию и объяснять наблюдаемое соотноше-

ние nb . nγ

8.3.13. Большое объединение, основанное на группе Е6

Впервые эта группа рассматривалась в 1970-е годы. В 1980-е было показано, что компактификация Калаби-Яу суперструнных моделей приводит к группе Е6 в видимом секторе и предсказывает представления для полей материи и хиггсовские мультиплеты, которые можно использовать для построения реалистических моделей.

Группа Е6 содержит следующие подгруппы: 1) SU(10)×U(1); 2) SU(3)L×SU(3)R×SU(3)C; 3) SU(6)×SU(2). Наличие [SU(3)]3 под-

группы показывает, что Е6 – объединение лево-право симметрично. Базисное представление группы Е6 – 27-мерно. С целью построения реалистических моделей полезно представить разложение по первым двум подгруппам

314

Фермионное заполнение в базисе [SU(3)]C выглядит следующим образом

Таким образом, по сравнению с SO(10) появляется одиннадцать дополнительных фермионных полей, т.е. модель неминимальна в секторе полей материи. Важно отметить, что все новые фермионы – векторо-подобные. Это важно для низких энергий, так как электрослабые данные ограничивают число дополнительных фермионов, если они не являются вектороподобными. Кроме того, век- торо-подобная природа новых фермионов важна с точки зрения сокращения аномалий стандартной модели.

Обратимся к нарушению симметрии и рассмотрим две цепочки. Хотя Е6 – группа 6 ранга, существует много способов достижения группы симметрии стандартной модели (ранг 4). Одна из цепочек выглядит так:

Е6 → [SU(3)]3 → G2213 → GСтандартной Модели.

Первый переход осуществляется за счет хиггсовского поля размерности 650, которое содержит синглет относительно [SU(3)]3. В струнных моделях первый переход связан с вильсоновскими петлями, содержащими калибровочные поля вдоль компактифицированного направления. Второй переход в цепочке происходит посредством n0 поля 27-мерного хиггсовского бозона. Наконец, последний переход может происходить двумя способами в зависимости от того, хотим мы или нет сохранить R-четность после нарушения симметрии. Если не заботится о сохранении R-четности, то достаточно воспользоваться полем νс 27-плета хиггсовских бозо-

315

нов. С другой стороны, если необходимо сохранить R-четность, то хиггсовское поле минимальной размерности должно принадлежать 351-плету. Тогда можно получить группу симметрии стандартной модели.

Другая важная цепочка нарушений симметрии:

Е6 → SO(10)×U(1) → G2213 → GСтандартной Модели.

Первый этап нарушения осуществляется за счет 78-мерного представления, а остальные – за счет 27-плета хиггсовских бозонов.

Массы фермионов в этой модели возникают за счет 27-плета хиггсов, поскольку 27m27m27H – Е6 инвариантны и содержат дублеты MSSM. Взаимодействие [27]3 в терминах компонент можно записать следующим образом:

[27]3 → QQD + QcQc Dc + QQc H c +

(8.110)

+LLc H + H 2n0 + DDcn0 + QLDc + Qc Lc D.

Отсюда видно, что если в дополнение к обычным значениям B–L, приписываемым обычным фермионам, считать B–L для D равным (–2/3), а для Dc (+2/3), то тогда все члены в (8.110) сохраняют R-

четность до нарушения симметрии. Если νc ≠ 0 , то dc и D сме-

шиваются, и это нарушает R-четность. Взаимодействие (8.110) генерирует член ucdcdc, приводящий к процессам с B = 2, например, нейтрон – антинейтронным осцилляциям.

8.3.14. SU(5)×SU(5) объединение

Эта модель автоматически сохраняет R-четность, а также содержит простой see-saw механизм генерации нейтринных масс в контексте суперструнной компактификации. Причина введения SU(5)×SU(5) – невозможность получить в струнных моделях 126плет, в случае SO(10) определяющий фермионную компактификацию. Поля материи в этой модели относятся к лево-право-

симметричным представлениям (5,1) + (1,5) + (10,1) + (1,10) (обозначенным через FL, FR, TL, TR)

316

8.3.15. SU(6) Большое объединение

В этой модели при определенных условиях в процессе нарушения симметрии возникают хиггсовские дублеты MSSM как псевдоголдстоуновские мультиплеты без всякого “fine tuning”.

Обсудим только хиггсовский сектор модели, поскольку наша цель – проиллюстрировать новый механизм дублетно-триплетного расщепления. Пусть хиггсовские поля относятся к 35-плету (обо-

значенному через Σ), а также к 6 и 6 ( Н и H ) . Потребуем, чтобы,

т.е. члены типа HΣH считаем равными нулю. Это довольно жесткое требование, однако оно имеет очень интересные следствия. Пусть поля имеют следующие ненулевые вакуумные средние

Заметим, что Σ нарушает SU(6) группу до SU(4) ×SU(2) ×U(1), а Н – нарушает до SU(5) U(1). Голдстоуновские бозоны, необходимые

для нарушения до SU(5)×U(1), принадлежат 5 + 5 +1, т.е. относительно группы стандартной модели преобразуются следующим образом

(голд. бозон) = (3,1) + (1,2) + (3,1) + (1,2) + (1,1). (8.114)

Голдстоуновские же бозоны Σ, генерирующие нарушение SU(4)× ×SU(2)×U(1), преобразуются как

(3,2) + (3,2) + (1,2) + (1,2) . (8.115)

Поскольку оба вакуумных средних нарушены SU(6)→SU(3)× ×SU(2)×U(1), то безмассовыми состояниями, «поглощенными» механизмом Хиггса, являются

(3,1) + (3,1) + (1,2) + (1,2) + (3,2) + (3,2) + (1,1). (8.116)

318

Видно, что единственными «непоглощенными» голдстоуновскими бозонами являются два слабых дублета (8.1,2)+(8.1,2). Их можно идентифицировать как дублеты MSSM.

Важно подчеркнуть, что путь поиска простых групп Большого Объединения – это не единственный путь объединения частиц и взаимодействий во Вселенной. Может оказаться, что на струнном масштабе в теории суперструн непосредственно возникает стандартная модель. Эта возможность имеет серьезные преимущества и характерные проявления. Например, не нужно беспокоится по поводу дублет-триплетного расщепления и нет необходимости в распаде протона. Однако в этом сценарии есть одно загадочное обстоятельство: MSSM спектр приводит к объединению на масштабе ~1016 ГэВ, в то время как струнный масштаб объединения ~1017.6 ГэВ. Как понять эту разницу? Вполне могут существовать промежуточные масштабы или новые частицы, которые изменяют поведение бегущих констант и восполняют отмеченную разницу.

На ранних стадиях развития идей Большого Объединения считалось, что GUT модели необходимы для квантования электрического заряда и происхождения материи во Вселенной. Сейчас же известно, что квантование электрического заряда можно объяснить сокращением калибровочных аномалий. Кроме того, поскольку GUT модели приводят к квантованию электрического заряда, чтобы получить наблюдаемые значения этих зарядов, необходимы дополнительные предположения относительно хиггсовских представлений. Таким образом, понимание величин электрических зарядов элементарных фермионов требует более чем простую группу GUT.

На феноменологическом уровне проверки идей Большого Объединения всегда оказываются модельно зависимыми. Идея может быть продуктивной даже в отсутствии экспериментальных проявлений. Ситуация выглядит аналогичной суперсимметрии. Многие физики считают, что если хиггсовский бозон с массой меньшей 150 ГэВ, не будет обнаружен на LHC (ILC), то интерес к суперсимметрии как к идее, имеющей отношение к физике, будет в значительной степени утрачен. Ограничительных тестов для SUSY GUT не существует. С другой стороны, наблюдение значительного

нарушения аромата в процессах μ → еγ, р → К+νμ или N − N ос-

319

цилляций означало бы проявление некоторых форм Большого объединения.

В настоящее время есть указания из различных экспериментов на существования масс нейтрино. Если они подтвердятся, то это будет сильным доводом в пользу существование локальной B–L симметрии, а также лево-право-симметричных моделей Большого объединения на масштабе ~1011 ГэВ.

8.4. Суперсимметрия и феноменология суперструн

Как известно, генераторы SUSY образуют супералгебру, которая является (супер) расширением Пуанкаре алгебры Ли квантовой теории поля за счет фермионных генераторов. Эта супералгебра содержит как коммутаторы, так и антикоммутаторы. Вскоре после открытия (теоретического!) SUSY была проведена полная классификация простых и полупростых супералгебр, аналогичная картановской классификации алгебр Ли. Однако оказалось, что полная классификация супералгебр не слишком полезна для физики. В отличие от алгебр Ли, простые или полупростые супералгебры не могут быть использованы для описания внутрених симметрий.

В ранних работах по суперсимметричным теориям поля рассматривался лишь один фермионный генератор – майорановский спинор. Соответствующая супералгебра была названа N = 1 SUSY. Рассматривались и раширенные версии (N > 1) SUSY. Оказалось, однако, что N = 1 SUSY в четырех измерениях – наилучший выбор для SUSY расширения стандартной модели элементарных частиц. Причина – киральные свойства физических фермионов.

Когда суперсимметрия была объединена с общей теорией относительности, возникла теория супергравитации, которая соответствует пределу бесконечного натяжения струны в теории струн. В настоящее время большинство теоретиков рассматривают теорию суперструн в 10-ти измерениях как кандидата на теорию Всего (ТОЕ), объединяющую общую теорию относительности и квантовую механику. В теории струн имеются 5 кандидатов, которые связаны между собой двумя типами дуальностей: S-дуальностью, свя-

320