Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Елтаренко Исследование операцыи 2007

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

где 0 – время до окончания обслуживания заявки, находящейся на обслуживании в момент поступления заявки k-го приоритета, ni – заявки более высокого приоритета, которые надо пропустить на обслуживание, qi – время обслуживания заявок i-го приоритета.

1		n1	n1


2		n2	n2
:					ni
:				канал	ni
				обслуживания
i		ni	ni
:
:

n		nn	nn
	Рис. 1.30. Схема функционирования СМО с приоритетами
ni	– число заявок в очереди в момент поступления заявки k-го

приоритета, ni – число заявок, поступивших в систему за время

ожидания в очереди заявок k-го приоритета.

k 1

Сумма niqi учитывает тот факт, что надо пропустить на об-

i 1

служивание заявки более высокого приоритета, которые придут за время ожидания в очереди.

Определим математическое ожидание от (1.51):

M ( k				k		k 1
M ( k	)	M (	0	)	M (n )M (q )	M (n )M (q ) . (1.52)
ож			0		i i	i i
				i	1	i 1
					80

M( ожk ) есть не что иное, как среднее время ожидания заявок k-го приоритета Wqk .

M (ni ) – среднее число заявок в очереди заявок i-го приоритета:

M(ni ) Lqi iWqi .

M(qi ) – среднее время обслуживания заявок i-го приоритета:

M(qi ) Mi (t) .

Следовательно,

M(ni )M(qi ) Wqi i Mi (t).

Обозначим через i i Mi (t) , тогда:

M(ni )M(qi ) iWqi .

M(ni ) – среднее число заявок i-го приоритета, поступивших за время ожидания в очереди заявки k-го приоритета. Очевидно, что

M(ni ) iWq , а M(ni )M(qi )				iWq Mi (t)				iWq .
k					k			k
Перепишем (2) с учетом полученных выражений:
			k	1				k
Wq	k	M( 0 )			iWq	Wq	k	i	(1.53)
	k				i		k
			i	1				i 1
(последнее слагаемое		из первой		суммы		Wq		перенесли во	вторую
						k
сумму) или
				k	1
			M ( 0 )		iWq
					i
Wqk				i	1	.			(1.54)
Wqk				k		.			(1.54)

1 i

i 1

Рассмотрим, как это выражение переписывается для разных приоритетов:

Wq M ( 0 ) ,

1 1 1

	M(	0 )			M(		0 )
	M(	0 )		1	1									M( 0 )
Wq2					1		1							M( 0 )						,
Wq2		1	1		2					(1				1)(1			1		2 )	,
		1	1		2					(1				1)(1			1		2 )
	M(	0 )			M(		0 )									M(	0 )
	M(	0 )		1	1						2	(1		1)(1						2 )
Wq					1		1					(1		1)(1				1		2 )
Wq					1
3					1
3
							1					2		3
					M (		0 )								.
(1		1		2 )(1			1				2			3 )	.
В общем случае Wqk												M( 0 )							(k = 2, 3, ...).
В общем случае Wqk										k	1					k			(k = 2, 3, ...).
							1						i	1				i
													i					i
										i	1					i 1
		k
Обозначим			i		через Sk , тогда:
		i	1
						W				M (			0 ) ,								(1.55)
								q		1			S1
							1			1			S1
							1
			Wqk						M (		0 )					(k = 2, 3, ...).					(1.56)
			Wqk													(k = 2, 3, ...).					(1.56)
					1			Sk		1	1			Sk
Остановимся на вопросе определения M (																		0 ) .

Рассмотрим СМО без приоритетов. В этом случае выражение (1.51) принимает вид:

	n
ож 0	ni qi ,
	i 1
	n
а выражение (1.53) Wq M( 0 )	Wq i .
	i 1

Откуда получим выражение для Wq :

Wq	M (	0 )	.	(1.57)
	n

1	i
	i
	i 1

В СМО без приоритетов в соответствии с формулой (1.50) Хинчи-

на−Поллачека:

[D(t) M 2 (t)]

M(t2 )

(1.58)

2[1

M(t)]

2[1 M(t)]

Напомним,

что для произвольно выбранной заявки в СМО с при-

оритетами:

i Mi (t)

M (t)

i 1

(1.59)

(t2 )

i 1

M(t

)

i [Di (t)

Mi (t)] .

(1.60)

Выражение (1.58) с учетом (1.59) и (1.60) имеет вид:

[D (t) M i2(t)]

(1.61)

2 1

Если сравнить (1.57) и (1.61), то получаем:

1 M( 0 ) 2

i	[D (t)	M 2	(t)],	(1.62)
i	i	i

i 1

а выражение (1.56) примет вид:
		Wq	M (	0 )	,
		Wq	1 Sk 1	1 Sk	,
		k	1 Sk 1	1 Sk
		k
	k
где Sk	i , i	i Mi (t) .
	i 1
			83

Для определения остальных характеристик используем формулы Литтла:

Lq	kWq	, Ws	Wq	Mk (t) , Ls	kWs	Lq k .
k	k	k	k	k	k	k

Пример расчета одноканальной СМО с приоритетами

Задана СМО, в которую поступают заявки трех приоритетов с ин-

тенсивностями	1	5	,	2	2,	3	1. Время обслуживания зая-

вок − постоянные величины и равны T1 1 10 − для потока пер-
вого приоритета, T2			1 8 − для второго приоритета и T3 1 8 − для

третьего. Так как времена облуживания – постоянные величины, то

D 0 ,	D		0 и	D			0 .
1	2				3
Сначала рассчитаем							1,			2 ,		3 :
				5		1 1				;			2 1 1		;		1 1 1 .
			1									2				3
			1		10				2			2				3
					10				2				8	4			8	8
Далее вычислим Sk :
				S			1		; S			1 1 3			; S		7 .
					1		2			2		4	2	4		3	8
					1					2						3
Отметим, что S3 должна быть меньше 1.
Определим M( 0 ) :
			M( 0 )			1	5 1 10 2						2 1 8 2			1 1 8 2		31 .
						2												40
Переходим к расчету Wq :
									k
W			31					31			,	W				31			31,
W											,	W							31,
q	640 (1			1 2)			320					q	640 (1			1 2)(1		3 4)	80
1	640 (1			1 2)			320					2	640 (1			1 2)(1		3 4)	80
1												2
W				31								31 ;
W												31 ;
q	640 (1			3 4)(1					7 8)			20
3	640 (1			3 4)(1					7 8)			20
3
L	5		31	31 , L						2		31	31,	L		1 31		31.
L	5			31 , L						2			31,	L		1 31		31.
q		320		64			q					80	40	q			20	20
1		320		64			2					80	40		3		20	20
1							2								3
												84

Lqk

Ws1

Ls1

Ls3

– средняя длина очереди заявок k-го приоритета.

31	1		63	, W			31	1	41, W			31	1	67 ;
				, W					41, W					67 ;
320	10	320			s		80	8	80	s		20	8	40
320	10	320				2	80	8	80		3	20	8	40
						2					3
31	1	63			1	1	, L		31	1	41		2	1 ,
64	2	64			1	2	s	2	40	4	40		2	4
31	1	67			3	1 .
20	8	40			3	8
20	8	40				8

1.7.2. Многоканальные СМО с приоритетами

Класс СМО iei t , ie i t , m 1, , PRIOR .

Потоки заявок всех приоритетов – пуассоновские, время обслуживания распределено по экспоненциальному закону. Интенсивность обслуживания произвольной заявки определяется по формуле:


			n
			i	i
			i 1			.
	i	; i		i		.
Введем обозначения: i	i			i	.
Введем обозначения: i					.
	i			m
	i

Как и в одноканальной СМО с приоритетами, в данной СМО время ожидания в очереди заявки k-го приоритета равно (см. формулу

(1.51)):

k		k 1
k	niqi	niqi .
ож 0	niqi	niqi .
i	1	i 1

Проделав выкладки, как и для одноканальной СМО, получим:

Wq		M (	0 )	,	(1.63)
	k	1 Sk 1	1 Sk

	k
где Sk	i .
i	1

а Wqk

Чтобы определить M ( 0 ) , рассмотрим СМО без приоритетов:

Wq		M(	0)	m M( 0)	.	(1.64)
Wq		n		n	.	(1.64)
		n		n
	1		i	m i
		i 1		i 1

Среднее время ожидания заявок в очереди для СМО без приоритетов определяется по формуле (см. п. 4.1.2):

	P	m
			,	(1.65)
Wq m!(1 )2
0

m 1	k	m	1	1
m 1	k	m
где P0

	k!	m! 1
k 0	k!	m! 1

Приравнивая (1.64) и (1.65),

В результате получаем: M(

Если использовать замену

M( 0 )

			M(	0 )			m
			M(	0 )			P0
получим:								.
получим:			1				m!(1- )2	.
		P0	m
0 )		P0			.
0 )		m!(1-		)	.
		m!(1-		)
		, то получим:
	m	, то получим:
		P	m 1
		P
	0					,
	(m -1)!(m-				)	,

вычислим по формуле (1.63).

Далее, используя формулы Литтла, определим:

L	W	, W W				1	, L	W L		.
L	W	, W W					, L	W L		.
q	k q	s	k	q	k		s	k s	q k
k	k		k		k		k	k	k

1.8. Оптимизация параметров СМО

При проектировании или совершенствовании СМО возникает задача оптимизации ее параметров. От качества обслуживания зависят затраты на СМО и потери в СМО.

потери от низкого	затраты на
уровня	функционирование
обслуживания	СМО

оптимальный уровень	качество
качества	обслуживания

Рис. 1.31. Определение оптимального уровня качества СМО

Ставится задача определения оптимального уровня качества обслуживания. Можно сформулировать большое число задач оптимизации СМО, формируя различные целевые функции. В данном разделе в качестве примеров рассмотрено несколько постановок таких задач.

Задача оптимальной интенсивности обслуживания в одноканальной СМО с бесконечной очередью

Класс СМО

e t ,

e t , m

1, .

F( )

C1Ls

– целевая функция, где C1 – потери в единицу

времени от пребывания заявки в СМО,

– затраты в единицу вре-

мени при увеличении интенсивности обслуживания на единицу.

С учетом того, что

, получим целевую функ-

цию: F(

) C1

C2 .

Для определения минимума целевой

функции найдем производную:

0 .

(

Искомая оптимальная интенсивность находится из уравнения:

C1 C2 ( )2 ,

	C1	.
опт	C2

Задача оптимальной интенсивности в одноканальной СМО без очереди

F( ) C3 отк C2– целевая функция, где C3 – потери от отка-

за в обслуживании (доходы от обслуживания одной заявки), C2 –

затраты в единицу времени при увеличении интенсивности обслуживания на единицу (то же, что в предыдущей задаче).

Поскольку P		,	P			отк	, то

отк				отк
					2
	F(		)		C3			C2	,

	F		(		C 2		C2		0 ,
					)2
					3

откуда получим:

	C3	.
опт	C2

Задачи оптимизации параметров многоканальной СМО

Класс СМО et , et , m 1, .

Определение оптимального числа каналов. Сформируем целевую функцию: F(m) C1Ls C4m , где C4 – затраты в единицу времени

на функционирование одного канала, C1 – то же, что в задачах опти-

мальной интенсивности, рассмотренных выше. В данном классе СМО не удается аналитически определить оптимальное число каналов. Поэтому необходимо построить зависимость F(m) используя

аппарат анализа многоканальных СМО (см. п. 1.4.2) и по F(m) определить оптимальное число каналов.

Класс СМО et , et , m 1, N .

Определение оптимального числа мест в очереди

Для данного класса СМО целевая функция имеет вид:

F(N) C L	C P	C N , где C		– затраты в единицу време-
1 s	3 отк	5	5

ни на поддержание одного места в очереди, C1 , C3 – те же коэффи-

циенты, что в задачах оптимальной интенсивности в одноканальной СМО. В этой задаче тоже не удается аналитически определить оптимальное число каналов. Поэтому необходимо построить зависимость

F(N) и определить оптимальное число мест в очереди.

Задачи оптимизации СМО по нескольким параметрам

Класс СМО et , et , m 1, N .

Рассмотрим задачу определения оптимального количества каналов m и числа мест в очереди N в многоканальных СМО.

Целевая функция имеет вид:

F(N,m) C L	C m	C P	C N , где коэффициенты
1 s	4	3 отк	5

C1, C3, C4 , C5 интерпретированы в ранее рассмотренных задачах.

Для нахождения оптимальных значений m и N следует использовать методы поиска экстремума. Если целевая функция не унимодальна, то следует использовать методы поиска глобального экстремума.

На практике ставятся задачи оптимизации параметров не отдельной СМО, а сети СМО. Принципиально их постановка не отличается от задач оптимизации СМО.

Вопросы и задачи

1.Для каких классов СМО справедливы формулы Литтла?

2.Информационная система технологии "клиент-сервер" обслуживает клиентов. Поток запросов в систему пуассоновский, интенсивностью 20/мин. Время обработки запроса сервером (поиск и

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20132.59 Mб41Елисеев Автоматизация проектирования в программном комплексе 2010.pdf
#
16.08.20132.97 Mб46Елманов Исследование топологии поверхности методом сканируюсчей 2008.pdf
#
16.08.2013616.13 Кб36Елманов Моделирование процессов вакуумной плавки металлов 2008.pdf
#
16.08.20131.25 Mб49Елманов Теплоемкост металлов и сплавов 2007.pdf
#
16.08.20131.15 Mб69Елманов Теплопроводност металлов и сплавов 2007.pdf
#
16.08.20132.72 Mб95Елтаренко Исследование операцыи 2007.pdf
#
16.08.20133.97 Mб131Емелянов Лекции по основам електрослабой 2007.pdf
#
16.08.201311.16 Mб107Емелянов Фундаменталные симметрии 2008.pdf
#
16.08.2013507.34 Кб13Енглиш-Руссиан дицтионары оф енглиш фор манагерес 2009.pdf
#
16.08.20138.42 Mб234Ермолаев Технологические процессы в машиностроении 2011.pdf
#
16.08.20131.2 Mб71Жабрев Лабораторный практикум Получение и 2007.pdf