Елтаренко Исследование операцыи 2007

S0

S1

S2

Sn

S0

q0

q1

q2

qn

S1

q0

q1

q2

qn

Pmn

S2

0

q0

q1

... ... ...

qn m 1

...

Sm ... ... ... ...

...

... ... ... ...

...

Отметим, что

qn 1.

n 0

Строка S0 матрицы совпадает со строкой

S1 , потому что рас-

P

P q

Pq

0

0

0

1

0

P

P q

Pq

P q

1

0

1

1

1

2

0

n 1

P

P q

Pq

1 i

, (n 0,1, 2,...)

n

0

n

i

n

i

0

P(z)

P zn ;

n

n 0

zn P q

zn

n 1

P(z)

Pq

n 1 i

.

(1.43)

0

n

i

n

0

n 0

i 0

P0Q( z)

Преобразуем второе слагаемое:

n 1

1

n 1

zn

Pq

zn 1

Pq

.

n

1 i

n

1 i

i

z n

i

n 0

i

0

0

i

0

Сделаем замену n

1

k :

1

k

1

k

zk

Pq

zk

Pq

P q

.

k

i

k

z k 1

i

z k 0

i

k i

0

i

0

i

0

1

zk

k

1 P

zk q

1 P(z)Q(z)

1 P Q(z) . (1.44)

Pq

z k 0

i 0

i

k i

z

0 k 0

k

z

z

0

Выражение (1.44) можно также получить, используя свойство Z–

преобразования:

z

n

P

1 (P(z) P ) .

n 1

z

0

n 0

P(z) P Q(z)

1 P(z)Q(z)

1 P Q(z) .

0

z

z

0

Откуда

P Q(z)(1

1

)

P0Q(z)(z

1)

0

z

P(z)

.

(1.45)

1

z

Q(z)

1

Q(z)

z

Рассмотрим подробнее Q z :

Q(z)

z

k

q

z

k (

t)k

e

t

(t)dt ;

k

k!

k 0

k 0

0

Q(z)

(

tz)k

e t

(t)dt ;

k!

0

k 0

71

Q(z)

e t ( z 1) (t)dt ;

0

Q (z)

te t ( z 1) (t)dt ;

z

0

Qz (1)

t (t)dt

M (t) ;

(1.46)

0

Q (z)

2t 2e t ( z 1) (t)dt ;

z

0

Q (1)

2 M(t 2 )

2

D(t)

M 2 (t) .

(1.47)

z

Чтобы определить

P0 в (1.45),

надо использовать свойство Z–

преобразования:

P z

z

1 1.

lim P(z)

lim

P0Qz (z

1)

P0Q(z)

P0Q(1)

1.

1

Qz (z)

1 Qz (1)

z 1

z 1

Учитывая (4) и тот факт, что Q(1)

1, получим:

P0

1.

1

M(t)

Откуда

P0 1

M(t) .

(1.48)

Ls Pz (z) P0

Qz (z

1) Q(z) z

Q(z) (1 Q (z))Q(z)(z 1))

.

z Q(z) 2

После преобразования получим:

Pz (z)

P0

z(z 1)Qz

Q(z)(Q(z) 1)

.

(z

Q(z))2

Ls

Pz (1) P0 lim

z(z 1)Qz

Q(z)(Q(z) 1)

.

(z

Q(z))

2

z 1

Q (z2

z) 2zQ 2Q Q(z)

L

P lim

z

z

;

s

0

z 1

2(z Q(z))(1 Qz )

P0

L

lim[Q

Q (z)(z2

z)

] .

s

z 1

z

2(z Q(z))

Q (3) (z2

z)

Q (2z

1)

Ls lim Qz

lim

z

z

;

2(1

Qz )

z 1

z

1

Ls

Qz

(1)

Qz

(1)

.

(1.49)

2(1 Qz (1))

После подстановки в (1.49) выражения (1.46) и (1.47), получим:

Ls

M(t)

2(D(t) M 2(t))

,

(1.50)

2(1

M(t))

эфф

; Ws

Ls ;

Wq

Ws M t ;

2

[D(t) M 2 (t)]

L

W

L

.

q

q

q

2(1

M(t))

73

2

1

1

2

2

2

Ls

.

2(1

)

1

1

Пример 2. Пусть T – время обслуживания – постоянная величина,

т.е. M t T,

D t

0. После подстановки в формулу Хинчина–

Поллачека получим выражение для Ls :

Ls

T

2T 2

.

2(1

T)

СМО с произвольным входным потоком

Класс СМО

f t ,

e t , m

1, n

.

ления заявок в СМО.

Матрица переходов из одного состояния в другое

имеет вид:

dkn

S0

S1

S2

S3

Sn

S0

h0

d0

0

0

0

S1

h1

d1

d0

0

0

dkn

S2

h2

d2

d1

d0

0

Sn 1

hn 1

dn 1

dn 2

dn 3

d0

.

.

d

( t)n

e

n f (t)dt .

n

n!

0

Вероятности hk

вычисляются из условия, что сумма вероятностей

по каждой строке равна единице:

k

hk 1

dn .

n

0

Предельные вероятности найдем из уравнения P P

dkn

:

P

P d

k

1

k

k

0

P2

Pk 1dk

k

0

Pn

Pk n 1dk

k

0

Будем находить решение системы уравнений в виде:

P Bxn , где 0

x

1, а B – постоянный коэффициент.

n

Bxn

Bxk n 1dk ( n 1, 2, )

k 0

x

xk d

k

.

k

0

Значит, x0 существует, если

M t

1.

Решая уравнение x

D x , находим

x0 . Для определения коэф-

фициента В воспользуемся соотношением

Pn

1:

n

0

B

x n

1;

0

n

0

B

1

1;

1

x0

B 1 x0 .

Таким образом, P

1

x xn .

n

0

0

Определим характеристики СМО:

Ls

nPn

;

n 0

L

n(1 x )x n

(1 x )x

nx n 1

;

s

0

0

0

0

0

n 0

n 0

F (x )

(

x n )

1

;

x )2

0

0

x0

(1

n 0

0

Ls

x0

;

1

x0

Ws

Ls M(t) ;

Wq

Ws

1

;

Lq

Wq

Ls

1

.

M(t)

M(t)

Примеры анализа СМО методом вложенных цепей Маркова

Пример 1.Пусть входной поток – пуассоновский, т.е. f

t

e t .

Составим уравнение для определения x0 :

D x

x ;

77

D x

x

k

d

x

k (

t)k e t

e

t

dt ;

k

k!

k

0

0 k 0

D(x)

et( x

) dt

et ( x

)

.

x

0

x

0

Решаем уравнение

x

x2

(

)x

0.

x

Решением данного уравнения будет

x0

;

Ls

, т.е.

1

вал между поступлениями заявок T const.

Составляем уравнение для x0 :

D x

x

D(x)

x

k ( T)k

e

T

e

T (x 1)

;

k!

k

0

e T ( x 1)

x .

Находим x0

из полученного уравнения.

Ls

x0

; Ws

LsT ; Wq

Ws

1

;

Lq Ls

1

.

T

1 x0

вок

разного приоритета. Обозначим эти потоки через

i (i

1, 2, ...,n) , где i – приоритет.

Будем считать, что поток 1

имеет самый высокий приоритет, а n

– самый низкий.

n

Суммарный поток заявок в СМО равен:

, P

i

– веро-

i

i

i 1

n

произвольной заявки входного потока: (t)

(t)

i

.

i

i

1

1

n

Mi (t) t

i (t)dt

i Mi (t) ;

0

i 1

M(t

2

)

1

n

t

2

(t)dt

1 n

M(t

2

) ,

i

i

0 i 1

i 1

D(t)

1

n

[M

(t

2

) M

2

(t)] .

i

i

i

i

1

2

2

1 n

2

M(t

) D(t) M

(t)

i

[D (t) M

(t)].

i

i

i 1

k

k 1

k

niqi

niqi ,

(1.51)

ож 0

i

1

i 1