Елтаренко Исследование операцыи 2007

P*

a22

a12

;

(2.4)

1b

a22 a11

a12

a21

P*

1

P*

a11

a21

.

(2.5)

2b

1b

a22

a11

a12

a21

m n

a22a11

a12a21

*

*

a P P

.

ij ia

jb

a22 a11

a12 a21

j 1 i 1

a22

a21

0

a22

a21

0

a22

a12

0

a22

a12

0

a11

a21

0

или

a11

a21

0 .

a11

a12

0

a11

a12

0

P*

a22

a21

4

3

7

;

1a

a22

a11

a12

a21

4

2

3 3

12

P*

5

.

2a

12

Для участника B решением будет:

P

4

3

7

;

1b

4

2

3

3

12

P

5

.

2b

12

Цена игры равна:

4 2

3 3

1

.

12

12

стратегии его выигрыш

1

не будет зависеть от действий про-

12

γ

где

1

P a

(1

P

)a

–

γ1

1a 11

1a

21

а11

выигрыш участника А, если

а22

участник придерживается

чистой стратегии S1b ,

а21

γ2

P a (1 P

)a

– ес-

2

1a

12

1a

22

а12

ли участник придерживается

чистой стратегии S2b .

0

Р*1а

1

Р1а

Приравняв

1 и

2,

полу-

Рис. 2.1. Графическая интерпретация

чим

оптимальное

значение

решения игры за участника А

P* ,

которое

соответствует

1a

101

S*

P*

, , P*

, , P*

a

1a

ia

na

S*

P*

, , P*

, , P* .

b

1b

jb

mb

n

j

a P

j

1, 2, , m .

(2.6)

ij

ia

i

1

Найдем минимум из

j , обозначим его через

min

j . Будем

j

искать P*

из условия max .

ia

Все

j

j

1, 2, , m ,

так как

– минимальное.

Поэтому

(2.6) перепишем в виде неравенств:

n

a P

( j

1, 2, , m) .

(2.7)

ij

ia

i

1

Для вероятностей Pia выполняется условие:

n

Pia

1.

(2.8)

i 1

равносильно поиску min

1

. Для удобства на-

Нахождение max

хождения

P

введем переменную

x

Pia

, тогда (2.7) перепишется

ia

i

n

n

1

в виде:

a x

1 ( j

1, 2, , m) , а (2.8) – в виде

x

.

ij

i

i

i 1

i 1

x*

n

Определяем

из условия, что

min

x при ограничениях:

i

i

i 1

105

n

aij xi

1 ( j 1, 2, , m);

i

1

xi

0,

0.

Для

0 необходимо, чтобы все

j были положительные. Это

обеспечивается, если все aij

0 . Поэтому, если в матрице есть отри-

цательные

элементы,

увеличим

все элементы

aij

на

также увеличивается на C .

C abs(min(aij )). При этом

i, j

n

мирования найдем x*

и значение целевой функции

x* . После

i

i

i 1

чего можем определить искомые P*

по формуле:

ia

x*

Pia

a

.

n

1

C .

n

x*

i

i 1

1.

Переходим к положительным элементам матрицы: aij C .

2.

Решаем задачу линейного программирования:

n

min

xi ;

i 1

n

при ограничениях

aij xi 1 ( j

1,2,...,m), xi 0.

i 1

106

*

x*

i

3. Находим вероятности: P

( ЦФ – значение целевой

ia

ЦФ

ем:

1

C .

ЦФ

Решение игры для игрока B

Перейдем к матрице

aij

с неотрицательными элементами так же

как и при решении для участника А. Через i (i

1, 2, , n) обозна-

чим проигрыш игрока B при фиксированной стратегии игрока A :

m

i

aij Pjb .

j

1

m

Для вероятностей Pjb

выполняется условие:

Pjb 1.

~

j

1

Введем обозначение

max

i

. Задача минимизации ~ эквива-

m

1

max yj

~

j 1

y

m

при ограничениях: aij y j 1 (при y j

0).

j 1

чение целевой функции ( ЦФ). Цена игры –

~

1

, а искомые ве-

ЦФ

роятности – P*

y* ~ .

jb

j

n

для A – {P*} из условия max min

a P

,

ia

j

ij

ia

i 1

для B – {P*

m

} из условия min max

a P

,

jb

i

ij

jb

j

1

aA aB

– цена игры.

108

n

max min

aij Pia

aA ;

j

i 1

и существует решение для участника В

P* , определяемое из ус-

ib

ловия:

m

min max

aij Pjb

aB .

i

j 1

aij

– матрица n m выигрыша для игрока A

bij

– матрица n m выигрыша для игрока B .

Необходимо

найти оптимальные смешанные стратегии P*

и

ia

P* .

jb

2.4.1. Принципы решения биматричных игр

Пусть Sa

Pia – стратегия для игрока A, а Sb Pjb – страте-