Елтаренко Исследование операцыи 2007

шанной стратегии Sa выполняется:

b Sa , Sb

b Sa , Sb .

Sb

Sb

Sa

Sa

Рис. 2.5. Множество приемлемых

Рис. 2.6. Множество приемлемых

стратегий для участника А

стратегий для участника B

Зависимость приемлемой стратегии Sb

от Sa также можно услов-

но представить в виде функции Gb

(рис. 2.6).

Пересечение двух множеств Fa

и Gb

дает решение биматричной

игры (рис. 2.7):

S1b

S2b

a

a11

a12

S1a ,

ij

a21

a22

S2a

S1b

S2b

b

b11

b12

S1a .

ij

b21

b22

S2a

Смешанные стратегии

для

A:

S

a

P

, P

, для

B :

1a

2a

S

b

P

, P

.

1b

2b

a S

a

, S

b

a P P

a P P

a P P

a P P

.

11 1a 1b

12 1a 2b

21 2a 1b

22 2a 2b

С учетом

P

1

P

и P

1

P

:

2a

1a

2b

1b

a S

a

, S

b

a P P

a P

1 P

11 1a 1b

12 1a

1b

a

21

1

P

P

a

22

1

P

1

P

.

1a

1b

1a

1b

После упрощения получим:

a S

a

, S

b

P P

a a

22

a a

21

a a

22

1a

1b

11

12

12

P

a

21

a

22

a

22

.

1b

Так как в нашем случае смешанная стратегия

Sa

определяется

одной вероятностью

P

,

а S

b

P

, то условие приемлемой страте-

1a

1b

гии для Sa запишется в виде:

a P

, P

a P

, P

.

1a

1b

1a

1b

Чистая стратегия

S

будет приемлемой (лучшей), когда

P

1

1a

1a

или когда

P

a

a

a

a

a

a

0 .

1b

11

22

12

21

12

22

Из данного неравенства можем сделать вывод, что чистая страте-

гия S

ia

– приемлемая, если P

P*

:

1b

1b

P

a22

a12

P*

1b

a11

a22

a12

a21

1b

при знаменателе C

a11

a22

a12

a21

0 .

Если же C

0 ,

то тогда P

a22

a12

,

и

S

– прием-

1b

a11

a22

a12

a21

1a

лемая при P

P* .

1b

1b

Напротив, стратегия S

2a

приемлема при

P

0, т.е. при условии,

1a

P

a

a

a

a

a

a

0 .

1b

11

22

12

21

12

21

Таким

образом,

при

C

0

стратегия

S2a

приемлема,

если

P

P

*

a22

a12

, а при C

0

*

– если P

P

.

1b

1b

a11

a22

a12

a21

1b

1b

На рис. 2.8 приведены зависимости при C

0 и C

0 .

P1b

C>0

P1b

C<0

1

Fa

1

P*1b

P*1b

Fa

0

1

P1a

0

1 P1a

Рис. 2.8. Множество приемлемых стратегий для участника А

Для построения Gb

S1a , S1b

запишем выражение для выигрыша

участника B :

b S

a

, S b P P

b P P

b P P

b P P

;

b

11 1a 1b

12 1a 2b

21 2a 1b

22 2a 2b

P

1

P

; P

1

P

;

2a

1a

2b

1b

b S

a

, S

P P

b b b b

b b

P b b

b .

b

1b 1a

11

22 12

21

21

22

1a 12

22

22

Чистая стратегия

S

– приемлемая P

1 , если

1b

1b

P

b

b

b

b

b

b

0

1a

11

22

12

21

21

22

или P

b22

b21

P*

,

1a

b11

b22

b12

b21

1a

при условии, что знаменатель

D

b11

b22

b12

b21

0.

Если D

0, то чистая стратегия S1b

приемлема при

P

b22

b21

P* .

1a

b11

b22

b12

b21

1a

На рис.

2.9 приведены зависимости

G P

, P

при D

0

и

b

1a

1b

D

0.

P1b

D<0

P1b

D>0

1

1

Gb

Gb

0

P*1a

0

P*1a

1 P1a

1 P1a

Рис. 2.9. Множество приемлемых стратегий для участника B

Решением биматричной игры будет пересечение Fa

и Gb .

Возможны четыре варианта пересечения Fa

и Gb

(в зависимости

от знаков C и D).

Первый вариант

P

1b

C 0, D 0 .

Реше-

1

ние

единственное

–

Gb

Fa

P* , P* .

P*

1a

1b

1b

P

1a

0

P*

1

1a

114

Второй вариант

P

1b

C 0, D 0 .

Ре-

1

(1,1)

шением будет P* ,

P* ,

Gb

1a

1b

точки

пересечения

P*

F

(1,1) и (0,0) – неустой-

1b

a

чи-

вы.

P

1a

0

P*

1

1a

Третий вариант

C

0, D

0. Решением бу-

P1b

дет P*

, P* . Точки (1, 0) и (0,

1a

1b

1

1)

дают неустойчивые реше-

ния.

Gb

P1*b

Fa

P1a

0

P1*a

1

Четвертый вариант

C

0, D

0 . Решение единст-

P1b

венное – P* ,

P* .

1a

1b

1

Gb

P1*b

Fa

P1a

0

P1*a

1

115

a

3

1

,

b

6

0

.

ij

1

6

ij

1

3

Находим оптимальные смешанные стратегии:

*

a22

a12

6

1

7

P

, C 0;

1b

a11

a22

a12

a21

3 6 1 1 9

*

b22

b21

3

1

2

P

,

D

0.

1a

b11

b22

b12

b21

6

3

1 5

Рассчитываем выигрыши участников игры:

a

a(S* , S* ) a P* P*

a P* P*

a P*

P*

a P*

P*

;

a b

11 1a 1b

12 1a 2b

21 2a 1b

22 2a 2b

a

3 2

7

1 2

2

1 3

7

6 3

2

103 ;

5

9

5

9

5

9

5

9

45

b

6 2

7

3 2

2

1 3

7

3 3

2

123.

5

9

5

9

5

9

5

9

45

2.4.3. Решение биматричных игр n m

Даны две матрицы выигрышей

и

bij

размерности n m.

aij

Необходимо найти оптимальные смешанные стратегии:

S*

{P*} и

S*

{P*

}.

a

ia

b

jb

Оптимальную смешанную стратегию {P*} находим из условия

ia

минимизации выигрыша противника

min

b

,

а {P* }

– из условия

jb

минимизации выигрыша противника min

a .

Для нахождения {P*} ставим задачу линейного программирова-

ia

ния:

n

max xi

,

i 1

n

при ограничениях

bij xi

1 ( j

1, 2,...,m), xi

0.

i

1

На основе найденных

x* вычисляем

{P*} (см. п. 2.3, решение

i

ia

матричных игр n m).

Для нахождения

{P* }

ставим задачу линейного программирова-

jb

m

ния:

max

y j

j 1

m

при ограничениях:

aij yj

1 (i

1, 2, ...,n) ,

yj

0.

j 1

На основе найденных

y* вычисляем

{P*

}

(см. п. 2.3. решение

j

jb

n

m

n

m

a

a P*P*

,

b

b P*P* .

ij ia jb

ij ia jb

i 1

j 1

i 1

j 1

ется вероятностью

P

, так как

P

1 P

. Поэтому решить диади-

1a

2b

1a

ческую игру – значит найти оптимальные P*

, P*

, P* .

1a

1b

1c

Зафиксируем стратегии участников B и C

S

P , P

S

P

, P

.

b

1b 2b

c

1c

2c

Приемлемая смешанная стратегия Sa

– это лучшая стратегия для

участника A при фиксированных Sb , Sc .

Fa Sb , Sc

– зависимость приемлемой стратегии Sa

от Sb , Sc ,

Gb Sa , Sc

– зависимость приемлемой стратегии Sb

от Sa , Sc ,

Hc Sa , Sb

– зависимость приемлемой стратегии Sc от Sa , Sb .

P2c

1

(-1,-1,0)

(-3,-4,-3)

(-4,-3,-3)

(-3,-3,-3)

(-1,-1,-1)

(0,-1,-1)

1

P2a

1