Диденко Сверхпроводясчие ускоряюсчие 2008

Полная энергия, оставленная в резонаторе при пролете заряда, записывается в виде

Точечный заряд теряет энергию на все волны в первоначально невозбужденном резонаторе. Неизбежное возбуждение волн высших типов приводит к потере энергии пучка и рассеянию мощности в резонаторе. Дополнительные потери энергии пучка на выс-

Рассмотрим движение релятивистского точечного заряда в линейном ускорителе, в котором наряду с СВЧ резонаторами есть пролетные трубки для пучка, сильфоны и др. После того как заряд пролетит возмущающий элемент, он индуцирует поверхностные заряды, излучающие электромагнитную энергию. Возникшее локальное электромагнитное поле может проявить себя в виде силы, действующей на летящие последующие заряды. Интерес представляет интегральный эффект воздействия этих полей на заряды, пролетающие через ту же самую возмущенную область. Для оценки этого действия вводят понятие наведенного потенциала. Наведенный потенциал характеризует суммарный импульс, переданный запаздывающим зарядам, которые двигаются с такой же скоростью вдоль того же направления, как и заряд точечного источника или параллельно ему. Полагают, что точечный источник с зарядом q1 движется параллельно оси симметрии на расстоянии r1 от нее, как показано на рис. 2.3. Ультрарелятивистский исходный заряд q1 пролетает через участок с измененной геометрией и индуцирует наведенные поля, которые распространяются на длине L и действуют на нерелятивистский тестовый заряд q. Предположим, что заряд источника перемещается соответственно на z1=ct, и что тестовый заряд q движется на расстоянии r от оси и на расстоянии s позади заряда источника, то есть перемещается соответственно на z=ct–s.

71

Продольный и поперечный потенциалы, наведенные единичным зарядом источника, записываются в виде [2.10]:

Рис. 2.3. Взаимодействие двух зарядов, пролетающих участок ускоряющей структуры с измененной геометрией

Интервал L должен быть достаточно большим, чтобы включить все поле, которое «видит» тестовая частица. Уравнения (2.34) и (2.35) полезны как функции Грина, с помощью которых можно рассчитать наведенные потенциалы для произвольного распределения заряда. Каждый наведенный потенциал представляет собой импульс, приложенный к запаздывающей тестовой частице. Таким образом, получаем изменение продольного момента ∆ pz или изме-

Соответствующая усредненная компонента наведенной силы есть

Хотя наведенные поля являются сложными функциями положения частицы и времени, введение наведенных потенциалов помогает упростить проблему путем использования не зависящих от времени функций положения в сгустке, которые определяют общий мгновенный импульс в этой точке. Наведенный потенциал δ - функции является характеристическим свойством изменения геометрии и может быть использован как функция Грина для опреде-

72

ления общего наведенного потенциала произвольного фиксированного распределения заряда.

Рассмотрим релятивистский пучок в симметричной цилиндрической структуре без потерь. Полагаем, что сигнал источника движется на расстоянии r1 вдоль оси x, где θ = 0 , и координаты тестовой частицы (r, θ ) . Радиальные координаты будем выражать

как часть радиуса а апертуры пролетной трубки. Сама структура характеризуется модами, которые меняются по азимуту как eimθ , где m - целое число. Например, моды с индексами m = 0,1,2 явля-

ются монопольными, дипольными и квадрупольными модами соответственно. Общая компонента m продольного наведенного потенциала может быть выражена как отдельно функция координат и как сумма всех продольных мод n конкретной структуры [2.11]:

Аналогично записывается для поперечного наведенного потенциала, который для m>0 не равен нулю:

Величина kmn – это параметр потерь для моды, который определяется через электродинамические параметры резонатора в соответствии с выражением (2.28):

Общий наведенный потенциал получается суммированием по m. Если радиальное смещение мало в сравнении с а, доминирующим будут члены m = 0 (монопольный член для продольного наведенного потенциала) и m = 1 (дипольный член для поперечного наведенного потенциала). В этом случае выражения для наведенных потенциалов будут приближенными:

73

При таком приближении продольный наведенный потенциал не зависит от поперечных координат как заряда источника, так и тестового заряда; поперечный наведенный потенциал линейно пропорционален радиусу заряда источника, не зависит от поперечной координаты тестовой частицы и везде направлен вдоль оси x, параллельно которой движется источник. Поскольку каждый член в wz меняется, как cos(ω s/c), то наведенный потенциал непосредственно за точечным зарядом при s=0+ будет положительным. Из определения наведенного потенциала по формуле (2.31) получаем, что наведенное поле направлено против направления движения, и тестовая частица сразу же за зарядом источника замедляется. Сам заряд источника при s=0 «видит» половину наведенного потенциала, который индуцируется позади него. Каждый член в поперечном наведенном потенциале меняется, как sin(ω s/c). Это предполагает, что поперечный наведенный потенциал равен нулю сразу же за зарядом источника и в отличие от продольного случая заряд источника не «видит» какого-либо поперечного наведенного потенциала, который он генерирует. Так как s увеличивается, то знак обоих наведенных потенциалов может меняться.

Зависимости продольного и поперечного наведенного потенциала от частоты представляются в виде

wz ω 2 , w ω 3.

Очевидно, что наведенные поля сильно растут с увеличением частоты.

Потери энергии заряда источника q1 на электромагнитную энергию наведенного потенциала есть

Обычно определяют общий параметр потерь kоб как

∞

kоб = ∑ k0n .

n= 0

Потери энергии в структуре заряда q1 на наведенные поля ∆ W = q12kоб , и рассеянная мощность от наведенных полей может

быть расcчитана в соответствии с выражением (2.28) при введении добротности мод Q.

74

Удобно ввести обозначения коэффициентов потерь энергии для монопольных мод как k и дипольных мод как k . Тогда для мо-

нопольных мод (максимум на оси)

для немонопольных мод (вне оси)

Для коэффициента продольных потерь получается

Коэффициент поперечных потерь определяется из выражения:

Погонное поперечное шунтовое сопротивление можно представить в виде:

где Ez 0 – основная гармоника продольной составляющей электри-

ческого поля, kz – продольная фазовая постоянная.

Максимальные значения Eмакс и Hмакс определяют предельное значение ускоряющего градиента. Отношения Eмакс/Еуск и Hмакс/Еуск

– это константы, определяемые только геометрией резонатора. Они увеличиваются пропорционально с ростом Еуск. Отношение Емакс/Eуск показывает чувствительность формы резонатора к явлению полевой электронной эмиссии. Традиционно считалось необходимым оптимизировать форму резонатора именно в отношении Eмакс/Еуск, которое растет с ростом Eмакс.

75

В последние годы в связи с исследованием явления перехода резонатора из сверхпроводящего состояния в нормальное из-за появления локальной тепловой нестабильности (квенч) предложено оптимизировать форму ячейки с целью снижением Hмакс на поверхности до значения, близкого к Hкр.ВЧ. Когда Нмакс поднимается до Нкр.ВЧ, сверхпроводимость исчезает. Максимальный допустимый градиент может быть записан в виде

e=Eмакс/(2Еуск) и h=Hмакс/(42Еуск), тогда для ячеек TESLA e=1, h=1.

Нкр.ВЧ определяется свойствами материала. Теория сверхнагрева предсказывает Нкр.ВЧ=1,2 Нкр для ниобия на сверхвысоких частотах, Нкр будучи термодинамическим критическим полем на постоянном токе.

Из уравнения (2.50) очевидно, что есть два пути для дальнейшего улучшения ускоряющего градиента: 1. увеличивать Нкр.ВЧ, используя лучшие материалы, такие как Nb3Sn; 2. уменьшать Нмакс / Еуск путем изменения геометрии резонатора.

Уравнение (2.50) описывает максимальный теоретический градиент, полученный для идеального резонатора. Однако, более общая форма уравнения должна быть записана в виде

Здесь безразмерный коэффициент r ≤ 1, представляет уменьшение критического высокочастотного поля от его теоретического значения из-за загрязнений, дефектов кристаллической решетки и других причин на глубине проникновения высокочастотного поля. Безразмерный коэффициент β ≥ 1 представляет увеличение Нмакс из-за локального несовершенства геометрии.

В резонаторе, сделанном из идеального ниобия с гладкой внутренней поверхностью, r=1 и β=1 и уравнение (2.51) превращается в уравнение (2.50).

Реальные рабочие резонаторы много сложнее идеальных. С одной стороны, существует зависимость характеристик резонатора

76

от параметров конкретного листа ниобия, неровности поверхности, высокотемпературной тренировки (степени десорбции водорода при заключительной очистке) и низкотемпературной (нагрев до температуры менее 100° С) обработки. Из-за этих причин критическое высокочастотное магнитное поле конечной поверхности ячейки может быть меньше, чем Нкр.ВЧ или r<1. C другой стороны, на поверхности резонатора имеются неизбежные локальные геометрические неоднородности, такие, как утолщения шва в месте соединения полуячеек по экватору при полном проплавлении их с помощью электронного пучка, поликристаллические границы, возникающие при различной химической очистке. Наличие таких неоднородностей приводит к тому, что β>1. Максимальный достижимый градиент уменьшается на коэффициент r/β.

а б Рис.2.4. Характерные картины электрического (а) и магнитного (б) полей в эл-

липтическом резонаторе

На рис. 2.4 приведены характерные картины электрического и магнитного полей в эллиптическом резонаторе. Максимальное значение электрического поля находится на поверхности диафрагмы в месте ее скругления, а максимальное значение магнитного поля – на поверхности вблизи экватора.

При проведении оптимизации формы ячейки важно правильно задать ее профиль. Это можно сделать, представляя профиль ячейки в виде сопряжения кольцевых дуг (рис. 2.5,а) или в виде двух эллиптических дуг (рис. 2.5,б). Преимуществом описания профиля с помощью окружностей является простота используемых уравнений. Однако в этом случае необходимо при описании симметричной ячейки иметь дело с девятью независимыми переменными. Форму ячейки можно описать также с помощью двух сопряженных эллиптических дуг. Теперь число независимых переменных три, а именно две полуоси одного эллипса (А, В) и одна полуось

77

другого эллипса (а). Другие размеры (полуось b и радиус ячейки Req) определяются по заданным частоте, виду колебаний и фазовой скорости волны.

Рис. 2.5. Половина ячейки, описанная: а – с помощью шести сопряженных дуг окружностей; б – двух эллиптических дуг окружностей

На рис. 2.6 представлены результаты оптимизации формы ячейки [2.10, 2.11] с помощью шести дуг окружности и двух эллиптических дуг для двух отношений радиуса отверстия в диафрагме к длине волны. Эти зависимости могут быть использованы при любой рабочей частоте.

Нормированное h

Нормированное е Рис.2.6. Кривые оптимизации формы ячейки

Нормированная разница между частотами видов колебаний π и 0 ( ω π , ω 0 ) называется коэффициентом связи между ячейками для полосы пропускания ускоряющей моды:

78

Сравним резонаторы, состоящие из одной ячейки и из многих ячеек. Структура из одной ячейки предпочтительна в отношении высокочастотных свойств по следующим причинам: легче изготовить демпфер волн высших типов, нет проблемы с выравниванием поля, ввод мощности передает меньшую мощность, легче произвести очистку резонатора и подготовить к сборке. Однако она дороже даже для линейного ускорителя на небольшую энергию. Одноячеечные резонаторы применяются только в ускорителях с очень большим током.

Многоячеечные структуры менее дорогие (меньше вспомогательного оборудования: криостатов, настроечных элементов, вводов мощности, контрольной электроники) и позволяют иметь большую величину реального ускоряющего градиента (лучше фактор заполнения).

К недостатку многоячеечных структур относится зависимость равномерности поля от числа ячеек N. Связь отношения неравномерности амплитуды поля ∆ Ai к амплитуде поля Ai с отношением изменения частоты ∆ fi к частоте fi записывается в виде

где коэффициент равномерности поля для структуры из N ячеек и с коэффициентом связи kс записывается в виде

р.п

kc

Приведенная формула оценивает чувствительность распределения поля многоячеечной структуры к ошибкам в частоте ускоряющей моды отдельной ячейки.

Кроме того, в длинных резонаторах короткие сгустки частиц могут возбуждать «запертые виды колебаний». Поля этих колебаний на высоких частотах заключены внутри ячеек и имеют малую амплитуду в соединяющих резонаторы трубках дрейфа. Это обстоятельство не позволяет вывести волны высших типов с помощью известных устройств вывода этих волн, устанавливаемых между резонаторами. Число ячеек в структуре должно быть огра-

79

ничено также для того, чтобы величина мощности, проходящей через СВЧ окно, была ниже реального предела для таких окон. С другой стороны, желательно увеличение числа ячеек, чтобы минимизировать стоимость системы, эффекты краевых полей, снизить длину пролетных промежутков между соседними резонаторами.

Устройство ввода мощности в многоячеечный резонатор также зависит от числа ячеек. С увеличением числа ячеек более сложными становятся химическая обработка и стадия сборки.

Многолетние эксперименты с тепловой и химической обработкой, эксплуатация и сборка позволили поддержать профиль поля , даже с большим числом ячеек N и малым коэффициентом связи kc. Для TESLA равномерность поля 95%.

2.3. Критерии для конструирования резонатора

Суммируем высокочастотные параметры резонатора, которые необходимо знать при оптимизации внутренней поверхности ячейки. Рабочий вид колебаний характеризуется пятью парамет-

рами, а именно: Rш/Q, G, Eмакс/Еуск, Bмакс/Eуск, kc. Волны высших типов определяются поперечным и продольным коэффициентами

потерь k , k II . Итого имеются семь высокочастотных параметров и

пять геометрических размеров, которые можно менять. Геометрические размеры следующие: эллипс диафрагмы, радиус диафрагмы, эллипс экватора (см. рис. 2.6).

Эллипс диафрагмы: полуоси hr, hz.

Радиус диафрагмы: ri.

Эллипс экватора: полуоси hr, hz.

Рис.2.7. Геометрические размеры эллипсной ячейки

Наибольшее влияние на высокочастотные параметры резонатора оказывает радиус диафрагмы. С целью исследования зависимости основных электродинамических характеристик резонаторов

80