Диденко Сверхпроводясчие ускоряюсчие 2008

В [1.6] показано, что величина Rост в основном зависит от наличия на поверхности микротрещин, так как при этом образуются локально возбуждаемые высокочастотные поля. Особенно интенсивно такие трещины появляются, когда сверхпроводящий слой наносится на несверхпроводящую подложку. Например, если свинец наносится на медную подложку, то из-за разных коэффициентов расширения возникают дислокации, приводящие к растрескиванию поверхности и сильному увеличению остаточного сопротивления. В резонаторах сложной формы число дислокаций неодинаково по всей поверхности и увеличивается в областях, где радиус кривизны мал. Это объясняет и то, что в диафрагмированных волноводах Rs в режиме 0 и π колебаний меньше, чем в режиме π /2 колебаний. Если сверхпроводник изготовлен из сплошного куска, то в нем количество трещин будет меньше и, следовательно, меньше Rост. Наличие микротрещин позволяет правильно объяснить наблюдающуюся в экспериментах зависимость Rост от частоты:

Rост ~ ω 2.

Сравним экспериментальные результаты с теоретическими, полученными при ξ 0 →∞ для свинца в 10-см диапазоне (рис. 1.7) [1.8.].

Рис. 1.7. Зависимость поверхностного сопротивления свинца от температуры при f=2,85 ГГц по данным:

1 – эксперимента; 2 – теории

Остаточное сопротивление в экспериментах было порядка

Rост ~ 2 10–7 Ом. При всех значениях температуры Rs эксп/Rs теор ~ 5. Аналогично для ниобия при f = 2,85 ГГц и T=1,85 К отношение

Rs эксп /Rs теор=12. Для других сверхпроводников, у которых ξ 0/δ 0,L конечны, но все же значительно больше 1, экспериментально наблюдаемое Rs эксп отличается от Rs теор, но это отличие менее суще-

21

ственно. Так, это отношение равно 3,2 для олова и 1,5 – для алюминия.

Необходимо отметить, что Rост зависит от дозы радиационного облучения [1.9]. На рис. 1.8 изображена зависимость изменения удельного остаточного сопротивления Rост для постоянного тока от дозы нейтронного облучения Фt. Измерения были выполнены для ниобия при Т = 4,6 К на реакторе, имеющем поток быстрых нейтронов Ф = 1013 нейтр./(см2·с). Из рисунка видно, что дозы Фt ~ 1018 нейтр./см2 оказывают существенное влияние.

Рис. 1.8. Зависимость удельного остаточного сопротивления ниобия от дозы нейтронного облучения

Если сравнивать с экспериментальными данными значение поверхностного сопротивления, вычисленного при ξ 0/δ 0,L→∞ , и пользоваться формулами (1.12) и (1.13), как делалось раньше, то на частоте 11,2 ГГц лучшее согласие между теорией и экспери-

расчеты показали, что, например, для ниобия лучшее согласие по-

лучается, если положить 2∆ (0) = (3,72±0,01) kБТкр; А1 = 0,97±0,02; Rост = (1,94±0,12) 10–8 Ом.

Зависимость Rs от температуры для ниобия с учетом конечного значения ξ 0 изображена на рис. 1.9. Здесь же для сравнения приведена кривая, характеризующая теоретическую зависимость Rs от Т для свинца при тех же условиях. Кривая 1 построена для следующих значений параметров: Ткр = 7,19 К, 2∆ (0) = 4,1kБT,

υ F = 6 105 м/с, δ 0, L = 3,08 l0–8 м, l0 = 0,7 10–6 м.

Значения Rs на другой частоте можно получить, основываясь на том, что Rs ~ ω 2:

22

Рис. 1.9. Зависимость поверхностного сопротивления от температуры с учетом конечной величины фактора когерентности: 1 – для свинца; 2 – для ниобия

Полуфеноменологическая теория, описывающая поведение сверхпроводников в СВЧ диапазоне с учетом аномального скинэффекта, была развита А.Б. Пиппардом [1.10]. Основываясь на двухжидкостной теории, он получил формулы, позволяющие исследовать временную и частотную зависимости поверхностного сопротивления Rs. Но они дают правильные результаты только при

0,4 ≤ T/Tкр ≤ 0,9:

где Rост – остаточное сопротивление; А1(ω ) – коэффициент, характеризующий частотную зависимость, который при f < 5 ГГц пропорционален ω 3/4. Учитывая Rl ~ ω 2/3, из (1.34) видно, что при низкой температуре Rs ~ ω 2 (для обычных проводников R ~ ω 1/2). Эта зависимость является одной из основных причин выбора низкой рабочей частоты для высокочастотных систем.

Результаты микроскопической теории сводятся к следующему. Удобно ввести некоторую функцию F(ω ), через которую и глубину проникновения, и импеданс можно выразить наиболее просто:

23

Функция F(ω ) сильно зависит от соотношения между величи-

нами: hω , kБТ и ∆ .

Используя формулы для F(ω ), можно определить значения для мнимой и действительной частей поверхностного импеданса в любой области. В наиболее интересной для техники СВЧ области изменения частоты и температуры выполняется условие

h ω << kБТ <<∆ . В этом случае для F(ω ) справедливо выражение

В табл. 1.2 приведены значения Rs и Xs для свинца на частоте 2,86 ГГц при 2∆ /kБTКР=4,16. Как видно из таблицы, поверхностное сопротивление быстро падает с уменьшением температуры. Из формулы (1.38) следует, что для сравнительно низкой частоты Rs/Rl ~ ω 4/3 эта зависимость полностью совпадает с эмпирической зависимостью.

Приведенные выражения для поверхностного импеданса справедливы только для сверхпроводников первого рода (см. далее), для которых глубина проникновения электромагнитного поля намного меньше длины когерентности. У свинца и особенно ниобия глубина проникновения сравнима с длиной когерентности, и поэтому выражения не будут справедливы. Поверхностное сопротивление у них отлично от того, которое следует из микроскопической теории для чистых пиппардовских сверхпроводников. Как видно из таблицы, поверхностное сопротивление быстро падает с уменьшением температуры.

24

Таблица 1.2

Характеристики свинца

1.6. Аномальный скин-эффект

Как следует из (1.16), глубина проникновения δ уменьшается с ростом частоты. Таким образом, для высоких частот и/или низких температур ее величина может стать меньше, чем длина свободного пробега электрона. В этом случае электроны находятся в области поля только часть времени между соударениями. В такой ситуации электроны являются менее «эффективными» переносчиками высокочастотного тока. При этом экранирующее действие, препятствующее проникновению электрического поля внутрь проводника, снижается. Это приводит к большему по сравнению с формулой (1.20) значению поверхностного сопротивления высокочастотному току. По сравнению со случаем протекания постоянного тока большее значение длины свободного пробега на СВЧ не приводит к росту проводимости. Это явление, на первый взгляд противоречащее логике, носит название аномального скинэффекта.

Более строгое изучение причин этого явления показывает, что аномальный скин-эффект возникает из-за того, что выражение j(0)=σ (l0)E(0), где l0 – длина свободного пробега, справедливо только если E(R) слабо изменяется на расстоянии порядка длины свободного пробега. В противном случае закон Ома не выполняется и ток в некоторой точке зависит от поля в области вокруг нее, причем характерный размер этой области сравним с длиной свободного пробега электрона. Ток в точке определяется интегральным влиянием поля на носители тока, находящиеся от нее на расстоянии порядка l0:

25

Условия возникновения аномального скин-эффекта можно оценить, основываясь на значении безразмерного параметра

Этот параметр напрямую зависит от длины свободного пробега l0 и сопротивления ρ =1/σ . Классическое выражение для поверхно-

В последнем случае поверхностное сопротивление не зависит ни от температуры, ни от сопротивления на постоянном токе, так как произведение (ρ l0) есть не зависящая от температуры характеристика вещества.

Для промежуточного случая α S ≥ 3 поверхностное сопротивление в состоянии с нормальной проводимостью описывается выражением

где R(∞ ) – поверхностное сопротивление в предельном случае. Предельный случай α S →∞ реализуется в хороших проводни-

ках, например меди, при низкой температуре и на высоких частотах. Если медный резонатор охлаждается от комнатной до криогенной температуры и проводимость меди на постоянном токе возрастает в 100 раз, поверхностное сопротивление изменяется не более чем в 6 раз. С экономической точки зрения этот незначительный эффект не оправдывает затрат на криосистему.

Как известно, постоянное магнитное поле проникает в сверхпроводник на глубину 10–5...10–6 см. С изменением частоты глубина проникновения поля в сверхпроводник меняется, однако все время остается меньше глубины скин-слой в нормальном металле. Это означает, что при любых частотах производные от составляющих поля, нормальных к поверхности сверхпроводника, велики по сравнению с производными в тангенциальных направлениях. Поэтому внутри сверхпроводника поле вблизи поверхности можно рассматривать как поле плоской волны, для которой тангенциаль-

26

ные составляющие электрического Eτ и магнитного Нτ полей связаны следующим соотношением:

где n – единичный вектор нормали к поверхности, направленный внутрь металла; Zs – поверхностный импеданс сверхпроводника. Предполагается, что поле меняется во времени по закону ехр(–iω t).

При комнатной температуре, когда справедлив закон Ома,

Zs (ω ) = Rs + iX s = − (1 − i) ωµ0 / 2σ ,

где δ ск – глубина скин-слоя для металлов с нормальной проводимостью; σ – проводимость металла. При этом Rs = –Xs = (ωµ Формулу (1.44) можно записать в виде:

це объема; т0 – эффективная масса электронов; υ F – скорость электронов на поверхности Ферми; l0 – длина свободного пробега; µ 0 – магнитная проницаемость вакуума.

Из известных зависимостей A/R и –А/Х от a1/6 (рис. 1.10) видно, что при малых а имеет место линейная зависимость, как это следует из формул (1.5). Однако из экспериментальных данных видно, что с уменьшением температуры величины A/Rs и –A/Xs растут сначала линейно от а1/6, а затем все медленнее, асимптотически приближаясь к постоянным значениям, уже не зависящим от а1/6,

мального скин-эффекта.

27

целый ряд феноменологических теорий, наиболее существенными из которых являются теории Лондонов, Гортера и Казимира, Пип-

парда [1.11].

Ф. Лондон и Г. Лондон для описания поведения сверхпроводников в низкочастотном электромагнитном поле предложили модель, основанную на локальной связи между плотностью тока и вектором-потенциалом магнитного поля:

µ 0 = 4π 10–7 Гн/м. При Т = 0 ns= n0, где n0 – полная плотность электронов; е0 – заряд электрона. Это уравнение вместе с системой уравнений Максвелла, позволило показать, что напряженность магнитного поля экспоненциально убывает при проникновении в глубь сверхпроводника и уменьшается в «е» раз на расстоянии δ 0,L от поверхности.

Параметр δ 0,L обычно называют лондоновской глубиной проникновения; он характеризует глубину проникновения поля в сверхпроводник при T=0. С изменением температуры изменяется и глубина проникновения δ L так как изменяется плотность электронов в сверхпроводящем состоянии. Гортером и Казимиром в тех же предположениях о локальности взаимодействия было проведено термодинамическое рассмотрение сверхпроводников и построена соответствующая двухжидкостная теория сверхпроводимости. Эта теория позволяет определить температурную зависимость глубины проникновения δ

Дальнейшее исследование сверхпроводников позволило более точно определить границы, в которых применимы предположения о локальности взаимодействия. Оказалось, что это справедливо, если волновые функции слабо изменяются на так называемой длине когерентности.

Учет эффектов нелокальностей позволил Пиппарду получить интегральное соотношение, связывающее плотность тока в определенной точке с вектором-потенциалом в некоторой области вокруг этой точки. Вместо соотношения (1.46) Пиппард предложил

29

в качестве основного уравнения электродинамики чистых сверхпроводников следующее соотношение:

где R = r–r'; ξ 0 – длина когерентности, характеризующая данный сверхпроводник; этот параметр определяет расстояния, на которых волновые функции практически не изменяются.

Такая простая связь была предложена Пиппардом на чисто феноменологической основе. Однако позже с развитием микроскопической теории сверхпроводимости было показано, что точная связь между током и полем напоминает это соотношение, хотя является более сложной. Именно поэтому соотношение (1.48) не утратило своего значения и до сих пор.

Ценность соотношения (1.48) заключается в том, что оно позволяет получить простую зависимость между током и напряженностью поля не только для чистых сверхпроводников, но и для металлов с примесями. Можно ожидать, что когда длина свободного пробега l0 уменьшается из-за присутствия примесей и становится сравнимой с длиной когерентности, то в выражении (1.48) появится затухающий множитель типа ехр(–R/l0), и поэтому для сверхпроводника с примесями будет иметь место следующее соотношение:

Это выражение позволяет объяснить изменение глубины проникновения с изменением концентрации примеси и, в частности, тот факт, что с увеличением примеси глубина проникновения увеличивается. Однако все рассмотренные теории характеризуют первоначальный этап теории сверхпроводимости и не являются достаточно строгими. Поэтому не будем подробно анализировать отдельные частные случаи.

Толчком к развитию микроскопической теории сверхпроводимости явилось открытие изотопического эффекта, сущность которого заключалась в том, что критические температуры Ткр изотопов ртути и других элементов, переходящих в сверхпроводящее

30