1.4. Модификации метода Эйлера первого порядка точности

Одной из модификаций является явный метод Эйлера-Коши или уточненный метод Эйлера, применяемый с целью повышения точности расчета. В данном случае используется следующая формула

. (1.18)

Дадим геометрическую интерпретацию данного метода. Это иллюстрирует рисунок 1.4

Рисунок 1.4 – Геометрическая интерпретация метода Эйлера-Коши

Пусть известны две точки и на искомой интегральной кривой . Проведем через точку () касательную , тангенс угла наклона которой равен . Затем через точку () проведем прямую , параллельную . Ее уравнение имеет вид

. (1.19)

Тогда следующая точка приближенного решения получится при

.

Это соотношение полностью совпадает с формулой (1.18).

Данный метод является двухшаговым, в отличие от предыдущего. Он является методом второго порядка, что обеспечивает лучшую его сходимость. При использовании данного метода необходимо для начала расчета иметь две «разгонные» точки. Первая точка определяется известным начальным условием , а вторая точка может быть найдена другим методом, например, по формуле (1.9). При этом, чтобы на первом шаге не сделать большой локальной ошибки, следует вторую точку определить для половинного шага.

Начальную задачу для уравнения (1.5) можно заменить эквивалентным интегральным уравнением:

. (1.20)

При из него получится равенство

. (1.21)

Для вычисления интеграла в правой части уравнения (1.21) могут быть использованы известные квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, парабол и т.д. Так, если к интегралу применить простейшую квадратурную формулу правых прямоугольников, то придем к методу

. (1.22)

Этот метод называется неявным или обратным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решить уравнение, в общем случае нелинейное. Данный метод является методом первого порядка, как и явный метод Эйлера Вычисление одного шага является более трудоемким, чем при явном методе Эйлера. Однако, как показали исследования, явный метод Эйлера является условно устойчивым, а неявный – абсолютно устойчивым.

Если для вычисления интеграла в правой части уравнения (1.21) использовать квадратурную формулу трапеций, то получим тоже неявный метод, называемый методом трапеций. Он описывается следующим выражением

. (1.23)

Квадратурная формула трапеций на порядок точнее формул левых и правых прямоугольников, поэтому по сравнению с явным и неявным методами Эйлера данный метод относится к методам второго порядка.

Определенный интерес представляет совместное использование явного метода Эйлера и неявного метода трапеций. Сначала по формуле (1.12) находится хорошее начальное приближение для и подставляется в выражение (1.22). При этом выражение (1.22) рассматривается как один шаг метода простых итераций для уточнения данного значения. Таким образом, получаем гибридный метод, описываемый выражением

. (1.24)

Данный метод получил название метода Хойна (или метода Хьюна).

Можно достичь большей точности, если при использовании последнего метода исходя из того же начального приближения выполнить не одну, а несколько итераций по методу трапеций

. (1.25)

Такой вариант совместного применения метода Эйлера и метода трапеций называют усовершенствованным методом Эйлера-Коши с итерационной обработкой. Этот метод еще также называют методом Эйлера с пересчетом. Делать много итераций по формуле (1.25) не рекомендуется (обычно их выполняют не более трех-четырех).