1.3. Метод Эйлера
Простейшим и исторически
первым численным методом решения задачи
Коши является метод Эйлера. Геометрически
его можно интерпретировать следующим
образом. Поскольку, согласно (1.5), для
точки
известно значение
,
то проведем в этой точке касательную к
интегральной кривой. Согласно (1.5) можно
найти и производную в этой точке
.
Поэтому для построенной касательной
можно записать уравнение:
.
(1.8)
При достаточно малом шаге
ордината
.
(1.9)
этой касательной будет мало
отличаться от ординаты
точного решения. Здесь
.
Следовательно, точка пересечения
касательной с прямой
может быть принята за новую начальную
точку. Через эту точку снова проведем
прямую
,
(1.10)
которая уже приближенно
отражает поведение касательной к кривой
в точке (
).
Подставляя сюда
,
т.е. пересекая эту «касательную» прямой
,
получим приближение значения
значением
.
(1.11)
и т.д. В итоге этого процесса, определяемого формулой
.
(1.12)
и называемого методом
Эйлера, график решения
данной задачи Коши (1.5) приближенно
представляется ломаной линией,
составленной из отрезков приближенных
касательных (рисунок 1.2), в связи с чем
данный метод еще называют методом
ломаных.
Рисунок 1.2. – Геометрическая интерпретация метода Эйлера
Математически формулы метода Эйлера можно получить, используя разложение в ряд Тейлора. Линеаризуя решение в окрестности начальной точки по формуле Тейлора, имеем
.
(1.13)
При
и с учетом (1.5) получаем
.
(1.14)
Выражение (1.14) можно переписать в следующем виде с учетом (1.9)
.
(1.15)
Следовательно, точное
решение (1.15) содержит два слагаемых –
саму формулу Эйлера для вычисления
значения
и остаточный член
,
(1.16)
где
- некоторая точка интервала (
).
Остаточный член (1.16)
характеризует локальную
или шаговую ошибку
метода Эйлера, т.е. ошибку, совершаемую
на одном шаге. Очевидно, что от шага к
шагу, т.е. при многократном применении
формулы (1.12), возможно наложение ошибок.
За
шагов, т.е. в точке
,
образуется глобальная
ошибка. Порядок
глобальной ошибки (относительно шага
)
на единицу ниже, чем порядок локальной
ошибки, а порядком глобальной ошибки и
определяется порядок соответствующего
численного процесса решения задачи
Коши.
Таким образом, локальная ошибка метода Эйлера находится в квадратичной зависимости от шага, а глобальная – в линейной. Следовательно, метод Эйлера относится к методам первого порядка.
Если проанализировать
рисунок 1.2, то можно сделать вывод, что
чем больше шаг
,
тем больше отклонение ломаной линии
решения от кривой точного решения и
соответственно тем хуже точность и
сходимость процесса вычисления. Если
в уравнении Коши первого порядка (1.5)
обозначить через
коэффициент при
,
то выражение для критического шага
имеет вид:
.
(1.17)
Решение будет устойчивым,
если
.
Однако, как показали исследования
погрешности вычислений, уменьшение
шага дает положительный результат до
определенного его значения
.
При дальнейшем уменьшении шага погрешность
вычислений начинает стремительно
нарастать. Поэтому если не требуется
высокая точность вычислений методом
Эйлера, то фактически выбранный шаг
вычислений бывает существенно выше
.
Если же требуется более высокая точность
вычислений, то следует использовать
методы, которые имеют более высокий
порядок точности и позволяют при этом
проводить расчеты с достаточно крупным
шагом.
Рассмотрим устойчивость процесса вычисления на следующем примере задачи Коши:
на отрезке [0,1] при использовании явного метода Эйлера. Перепишем уравнение таким образом, чтобы привести его к виду (1.5)
.
Определим критическое значение шага в соответствии с (1.17)
.
Уравнение для нахождения приближенного решения (1.12) в данном случае будет иметь вид
.
Найдем решение данного уравнения Коши. Будем изменять значения аргумента от нуля до единицы со значениями шага 0,05; 0,2 и 0,5. В первом случае метод является устойчивым, во втором случае на грани устойчивости, а в последнем случае является неустойчивым. Результаты расчетов дают следующие графики, приведенные на рисунке 1.3
Рисунок 1.3 – Результаты расчетов для различных значений шага
Как иллюстрирует данный рисунок, при шаге 0,05 приближенное решение достаточно близко к точному, которое является экспонентой. При шаге 0,2 пилообразная ломаная линия решения не сходится и не расходится. А при шаге 0,5 пилообразная ломаная линия решения расходится.