Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матмодели. Лекции, литература, задание 1 лаба / Тема 1 матмоделей

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

22.05.2015

Размер:

498.69 Кб

Скачать

☆

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Методы решения нелинейных уравнений

Пусть дано нелинейное уравнение вида:

, (1)

где - функция, определенная и непрерывная на некотором промежутке. Требуется найти корни уравнения, т.е. числа , , которые при подстановке в данное уравнение превращают его в числовое равенство. При этом рассматриваются только вещественные корни.

В зависимости от вида уравнения число корней может быть различным. Например, уравнение имеет 4 корня, уравнение имеет бесконечное число корней, уравнение имеет некоторое конечное число корней.

Для решения данных уравнений применяют численные методы, которые являются приближенными с заданной степенью точности и состоят из двух этапов:

1. Находятся отрезки , внутри которых содержится один корень . Этот этап называется отделением корней или локализацией корней. По сути, на данном этапе осуществляется грубое нахождение корней .

2. Грубое значение каждого корня уточняется до заданной точности одним из численных методов, в которых реализуется последовательные приближения.

На первом этапе для локализации корней используется теорема: «Если функция , определяющая уравнение , непрерывна и на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е. , то на этом отрезке содержится хотя бы один корень этого уравнения». Основной задачей на данном этапе является максимальное уменьшение интервала локализации, чтобы уменьшить число корней на этом интервале. В вычислительной практике обычно используют следующие способы локализации корней:

а) средствами машинной графики функция представляется на дисплее, и приближенно определяются отрезки, которым принадлежат точки ;

б) средствами математического анализа исследуется функция и строится ее график. Пример такого графика приведен ниже на рисунке 1.

Рисунок 1 – График функции

На втором этапе для вычисления корней уравнения используются различные методы приближенных вычислений с заданной точностью. В основном используются различные итерационные методы, позволяющие построить последовательность значения аргумента , по условию:

, (2)

где - точное значение корня;

- заданная точность вычислений

Ниже рассмотрим основные эти методы вычислений.

1.2. Метод половинного деления (метод бисекции)

Пусть дано уравнение и отделен простой корень , т.е. найден такой отрезок , что принадлежит этому отрезку и на концах этого отрезка функция принимает значения, противоположные по знаку (). Отрезок называется начальным интервалом неопределенности, потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено.

Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Для этого находится середина текущего интервала неопределенности , и в качестве следующего интервала неопределенности из двух возможных выбирается тот, на концах которого функция имеет разные знаки. Иллюстрация данного метода приведена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Графическая интерпретация нахождения корней

функции методом бисекции

Процесс вычислений завершается, когда длина текущего интервала неопределенности становится меньше заданной величины , задающей точность нахождения корня. В качестве приближенного значения корня берется середина последнего интервала неопределенности.

Достоинство данного метода – он позволяет найти простой корень уравнения для любых непрерывных функций при любых значениях , таких, что .

Недостатки данного метода – 1) схождение к точному решению происходит медленно; 2) данный метод не обобщается на системы нелинейных уравнений и не может быть использоваться для нахождения корней четной кратности.

1.3. Метод хорд

Данный метод при одних и тех же начальных условиях обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод бисекции. При использовании метода хорд отрезок делится не пополам, а в отношении .

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и , что иллюстрирует рисунок 3.

Уравнение хорды AB имеет следующий вид:

. (3)

Рисунок 3 – Графическая интерпретация нахождения корней

функции методом хорд

Для точки пересечения хорды с осью абсцисс имеем и , тогда из уравнения (3) получим

(4)

Затем находится значение функции . Если , то в точку переносим правую границу интервала, а конец хорды в точке остается неподвижным. Этому случаю соответствуют формулы

; (5)

. (6)

Данный случай иллюстрирует рисунок 4,а. Если же , то в точку переносим левую границу интервала, а конец хорды в точке остается неподвижным. Этому случаю соответствуют формулы

; (7)

. (8)

Данный случай иллюстрирует рисунок 4,б.

Рисунок 4 – Выбор неподвижного конца хорды функции

Расчеты прекращаются, когда выполняется условие . В качестве решения принимается значение .

Достоинство метода – сходимость метода хорд линейная, но более быстрая, чем сходимость метода бисекции.

Недостаток метода – необходимо определять неподвижный конец хорды.

1.4. Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона является одним из наиболее популярных численных методов. Он быстро сходится, так как имеет квадратичную сходимость, и имеет различные модификации. Однако этот метод эффективен при весьма жестких ограничениях на функцию :

а) существование второй производной функции на интервале ;

б) удовлетворение первой производной условию для всех значений на данном интервале;

в) знакопостоянство и для всех значений на данном интервале.

Поэтому данный метод целесообразно использовать совместно с другими методами, например, с методом бисекции.

Геометрическая интерпретация метода Ньютона приведена на рисунке 5 и состоит в следующем.

Рисунок 5 – Графическая интерпретация нахождения корней

функции методом Ньютона

Задается начальное приближение . Для сходимости решения необходимо выполнение в данной точке условия

(9)

Далее строится касательная к кривой в точке , т.е. кривая заменяется прямой линией. В качестве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процесс построения касательных и нахождения точек пересечения с осью абсцисс повторяется до тех пор, пока приращение аргумента не станет меньше заданной величины .

Выведем расчетную формулу метода Ньютона. Вместо участка кривой ВС (точка С соответствует ) возьмем участок АВ – касательную, проведенную в точке (, ). Для этого отрезка справедливо конечное соотношение

, (10)

где - угол наклона касательной в точке (, ). Решая соотношение (10) относительно , получим

. (11)

В общем виде выражение (11) будет иметь вид

. (12)

Достоинства метода – это один из самых быстро сходящихся методов. Там, где при использовании метода бисекции выполняется 20 итерации, методом Ньютона достаточно выполнить 2 – 3 итерации.

Недостатки метода – жесткие требования к функции, перечисленные выше. Кроме того, необходимо вычисление не только функции, но и ее производной, что увеличивает трудоемкость расчетов.

1.5. Модификации метода Ньютона

1.5.1. Упрощенный метод Ньютона

При использовании данного метода вместо формулы (12) используется следующая формула

. (13)

При использовании данного метода производная подсчитывается только в точке начального приближения, а на последующих итерациях не учитывается. Первая итерация совпадает с первой итерацией метода Ньютона. На последующих итерациях соответствующие отрезки параллельны касательной, проведенной в начальной точке. Для данной модификации снимаются некоторые ограничения метода касательных, например, условие знакопостоянства производных. Сходимость упрощенного метода Ньютона линейная.

1.5.2. Метод секущих.

В этой модификации метода Ньютона производная заменяется отношением конечных приращений

. (14)

Тогда формула (12) примет вид

. (15)

Достоинства данных модификаций – снижение трудоемкости расчетов. Снижение некоторых ограничений на функцию.

Недостаток – снижение скорости сходимости почти в два раза.

1.6. Метод простой итерации

При использовании данного метода уравнение вида путем преобразований следует привести к виду . Для обеспечения сходимости необходимо найти значение производной функции в области искомого корня. Если , то сходимость решения будет обеспечена, если же , то процесс вычислений будет расходящийся. Если функция может быть найдена несколькими способами, то обычно для одного из них метод сходится.