Ch_2_-_Pr-m_Gl_8-11

+∞

dx

+∞

dx

+∞

dx

а) ∫

;

б) ∫

;

в) ∫

;

x

2

− 1

x ln x

1

+

x

2

2

2

− ∞

если они сходятся.

Решение. По определению (11.22), получаем

1

t − 1

1

+∞ dx

t

dx

1 x − 1

t

∫

2

= lim

∫

2

= lim

=

− ln

=

ln

+ 1

lim ln

t +

2 x

−1

t →+∞

2

x −1

t

→+∞ 2

x

2

2 t →+∞

1

3

=

1

t − 1

− ln

1

=

1

(ln1 + ln 3)

= 0,5 ln 3

ln lim

2

t→+∞ t + 1

3

2

б) по определению,

+∞

dx

t

dx

t

2 =

∫

= lim ∫

= lim ∫ d ln x = lim ln ln x

t →+∞

t →+∞

t →+∞

t

2

x ln x

x ln x

2

ln x

2

= lim (ln ln t − ln ln 2) = +∞

t →+∞

т.е. данный интеграл расходится.

в) Полагая в определении (11.24), что а = 0, учитывая четность подынтегральной

функции, имеем

+∞

+∞

+∞

dx

=

0

dx

+

dx

= 2

dx

= 2 lim

t

dx

=

−∞∫ 1+ x2

−∞∫ 1+ x2

∫0 1

+ x2

∫0 1+ x2

∫0 1+ x2

t →+∞

= 2 lim (arctgt − arctg0) = 2(π / 2 − 0) = π .

t →+∞

Б. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Краткая теория

Пусть функция y =

f (x) — непрерывна, но не ограничена на полуинтервале [a, b) . В

b

этом случае интеграл ∫ f (x)dx

называется несобственным (второго рода) и, по

a

определению,

b −δ

b

∫

f ( x )dx

=

δ → 0 + ∫

f ( x )dx

(11.25)

lim

a

a

Если предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует и конечен,

то этот интеграл называется сходящимся; в противном случае —

расходящимся.

Аналогично,

если

функция

y = f (x)

непрерывная,

но неограниченная на

полуинтервале (a,

b] то, по определению,

b

δ

→ 0 +

b

∫

f ( x ) dx

∫

f ( x ) dx

(11.26)

= lim

a

a + δ

1

dx

2

dx

а) ∫

;

б) ∫ 3

;

(x − 1)

2

1 −

0

x 2

− 7

1

dx

1 − δ

dx

10− δ =

∫

=

lim

∫

=

lim

arcsin

x

1 −

2

1 −

2

0

x

δ → 0 +

0

x

δ → 0

+

=

lim

arcsin

(1 − δ ) = arcsin

1 = π / 2

δ → 0 +

Геометрический смысл полученного результата:

площадь под кривой

y =

1

− x 2

1

на полуинтервале [0,1) равна π /2 (ед.² ) (рис. 11.16).

б) Подынтегральная функция

y =

1

не определена во

3

(x − 1)

2

2

dx

1

dx

2

dx

∫ 3

= ∫

+ ∫

,

2

(x − 1)

2

− 7

(x − 1)

− 7 3

1

3

(x − 1)2

+∞

dx

+∞

∫

11.80. ∫ arctg x dx .

11.75.

.

4

1

(x + 1)

0

−∞

dx

+∞

11.76. ∫

.

11.81..

∫ xe 2 x dx .

3 (2x + 1)

2

−1

− ∞

+∞

ln x

+∞

11.77.

dx .

11.82. ∫ xe− x2 dx .

∫1

x 3

−∞

dx

3

dx

11.83. ∫

11.78.

.

.

∫ x 2 + 4x + 9

0

9 − x 2

+∞

5

dx

11.84. ∫

11.79.

∫

e− x sin x dx .

.

1

5 − x

0

0

dx

2

dx

11.85. ∫

.

11.87. ∫

.

+1)

2

3

−1 (x

0

1 - x

0

11.86. ∫ ln

x dx .

1

1

11.88. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой y =

и ее

x 2 + 2x

горизонтальной асимптотой при x ³ 1.

11.89. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох плоской фигуры,

1

заключенной между кривой y =

, ее вертикальной асимптотой и осью Ох на

3

4 - x

заключенной между линиями y = ln x и y = 0 на полуинтервале (0;

1].

11.4. Приближенное вычисление определенного интеграла

Краткая теория

Пусть функция y = f (x) задана на отрезке [a, b] и этот отрезок разбит на п равных

частей точками a = x0 < x1 < ... < xn = b ,

xi = xi−1 + ih ,

где

Тогда

f k (x)

£ 2!= 2 и (см.(11.28))

D £ (1 - 0)3

× 2 =

1

.

6n 2

12n 2

формуле (11.27) достаточно положить n=5. Тогда

h =

1− 0

= 0,2

и x

= 0, x = 0,2,

x

= 0,4,

x = 0,6,

x

= 0,8,

x

= 1 . Соответственно,

0

2

4

5

5

1

3

f (x0 ) =

1

=

1,

f (x1 ) =

1

= 0,96154 ,

+ 0,22

1+ 02

1

f (x2 ) =

1

= 0,86207,

f (x3 ) =

1

= 0,73529 ,

1 + 0,62

1 + 0,42

f (x4 ) =

1

= 0,60976,

f (x5 ) =

1

=

1

.

1

+ 0,82

1

+ 12

2

Представляем теперь эти значения в (11.27), и окончательно получаем:

1

dx

1 + 0,5

∫

≈

0,2

+ 0,96154 + 0,86207 +

0,73529 + 0,60976 = 0,78373.

+ x

2

0 1

2

1

dx

= π

По формуле Ньютона—

Лейбница ∫

, поэтому применение формулы

1

2

0

+ x

4

1

интеграла

∫ e− x2 dx с точностью до 0,001?

0

11.5. Использование понятия определенного интеграла в экономике

Пусть

функция z = f (x) описывает изменение производительности некоторого

производства с течением времени. Тогда объем продукции Q(t1 , t2 )

произведенной за

промежуток времени [t1 t2 ] вычисляется по следующей формуле:

t2

Q(t1 , t2 ) = ∫ f (t)dt

(11.29)

t1

Q(t1 , t2 ) = t∫2

(32 − 2-0,5t +5 )dt = 32(t2 − t1 ) +

64

(2-0,5t2 − 2-0,5t1 ).

t1

ln 2

(20,5 − 20 )= 4,95 ;

Тогда:

Q(0; 1) = 32(1 − 0) +

64

ln 2

Q (2; 3) = 32(3 − 2) +

64

(20 ,5×3 − 2 0,5×2 )= 18,48 ;

ln 2

Дугласа.

В этом случае производительность f (t)

представляется в виде произведения

трех сомножителей:

f (t) = a0 Aα (t)Lβ (t)K γ (t) ,

где функции A(t), L(t), K (t) есть

величины затрат

природных

ресурсов

труда и

капитала (соответственно), a0 ,α , β ,γ —

некоторые числа.

11.97. Найти объем выпускаемой продукции за пять лет, если в функции Кобба—

Дугласа

A(t) = et ,

L(t) = (t + 1)2 ,

K (t) = (100 − 3t)2 ,

a0 = 1, α = 1, β = γ = 0,5 ,

(t

—

время в годах).

Решение. Подставляя функцию производительности

f (t) в формулу (11.29),

получаем:

5

5

(− 3t 2

+ 97t + 100)dt .

Q(0;5) = ∫ et (t + 1)(100 − 3t )dt = ∫ et

0

0

Применяя дважды последовательно формулу интегрирования по частям (11.13),

имеем:

Q(0;5) = (− 3t 2 + 97t +100)et

5 − (97 − 6t )et

5 − 6et

5 = 64825.

0

0

0

Рассмотрим функцию y = f (x) характеризующую неравномерность распределения

доходов среди населения, где у —

доля совокупного

дохода,

получаемого долей х беднейшего населения. График этой функции

называется кривой Лоренца

(рис.

11.17).

Очевидно,

что

0 ≤ f (x) ≤ x

при

x [0, 1],

и

неравномерность распределения

доходов тем больше, чем больше площадь фигуры ОАВ (см. рис.

11.17). Поэтому в качестве меры указанной неравномерности

используют так

Рис. 11.17

называемый коэффициент Джини k,

равный отношению площади

Лоренца может быть описана уравнением y =

x

где x [0, 1]. Вычислить

,

3

− 2x

коэффициент Джини k.

Решение. По формуле (11.16) получаем

1

1

1

1

3

1

x

x

-1,5 +1,5

x +

+

dx =

SOAB = ∫

x -

dx = ∫

x +

dx = ∫

2

2 2x -

3

2x - 3

0

3 - 2x

0

0

x 2

1

1

1

3

1 = 1 - 0,75 ln 3 » 0,176

=

+

x

+

ln

2x - 3