Ch_2_-_Pr-m_Gl_8-11

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(1 + x/100)T

= 2. Логарифмируя, получаем T ln(1 + r/100) = ln2, откуда T =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

787.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

(x −1)

∞

lim

= 0.

lim (х - 1) e

= ∞; lim (х - 1)

e =[ ∞·0] = lim

− x

x→+∞

x→−∞

∞

x→−∞ − L

Следовательно, прямая у = 0 (ось абсцисс) является левосторонней горизонтальной асимптотой.

5. у' = ex + (х - 1) ex = х ex. Производная обращается в нуль в точке х = 0. Знаки производной показаны на рис. 8.9.

Рис. 8.9

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞; 0), возрастает на интервале

(0; +∞); х= 0 –	точка минимума и ƒ min (0) = -1.
6. у" = ex + xex = ex (x + 1); y" = 0 при х = -1. Производная y"<0, если х +1 < 0, т.е.
на интервале	(− ∞;−1 ). На интервале (− 1;+∞) у" > 0. Таким образом, функция выпукла

вверх на интервале(− ∞;−1 )и выпукла вниз на интервале (− 1;+∞) ; х = -1 – точка перегиба. 7. Точка пересечения с осью ординат (0; -1), с осью абсцисс – (1;0). График

функции изображен на рис. 8.10.

Рис. 8.10

Найти асимптоты графика функции:

1 − x3

2 + xe x

(2x 2 − 1)

− x

8.100. у =

(2 − x)(1 + 3x 2 )

8.101. у =

8.102. у =

3 + e x

arccos х

8.103. у =

8.104. у =

8.105. у =

3x3 − x 2 .

sin

x2 − π

8.106. у =

ln 2 x

8.107. у =

1 − cos х

Исследовать функции и построить их графики:

8.108. у =

8.109. у = x 2 (x − 4)2 .

1 + x 2

8.111. у = (x + 1)e− x .

−

8.112. у = xe 2 .

e x

− e− x

8.114. у =

8.115. у = 3 1 − ln х .

e x

+ e − x

8.117. у = xe x .

8.118. у =

1 − e x

8.120. у =

8.121. у = ln(x + x 2 + 1).

(x 2 + 1)

8.110. у = 2 + x3 .

8.113. у = ln х . x

8.116. у = e x .

8.119. у = sin x + cos 2 x .

8.122. у = . sin х + cos х

	1			1
8.123. у = 3 x + 1 − 3 x − 1 .			+
	8.124. у =				.

		3 x + 1	3	x − 1

8.6. Применение производной в задачах с экономическим содержанием

Краткая теория

1.Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства х единиц данного продукта. Прибыль Р(х) = D(х)– С(х), где D(х)– доход от производства х единиц продукта.

Средние издержки А(х) при производстве х единиц продукта есть С(х) . Предельные

издержки М(х) = С'(х).

2. Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение х единиц продукта, при котором прибыль Р(х) оказывается наибольшей.

8.125. Функция издержек имеет вид С(x) = 100 + 1 x2, а доход при производстве x

единиц товара определяется следующим образом:

если x < 0,

D(x) = 4000x,

4000(100 +

), если x > 0.

x − 100

Определить оптимальное для производителя значение выпуска x0.

Решение. Функция прибыли имеет вид:

100 + 4000x −

x 2 ,

если x < 100,

P(x) =

399900 + 400

x − 100

−

x2 , если x > 100.

Найдем производную функции прибыли:

4000 − 2x,

если x < 100,

P' x

)

2000

(

− x,

если x > 100.

x −100

Очевидно, P'(x) > 0 при x <100,

так что наибольшее значение прибыли на отрезке

[0; 100] есть P(100) = 399900. Найдем теперь наибольшее значение прибыли на интервале (100; +∞). Имеется одна критическая точка x = 200. При этом P'(x)>0 при 100< x <200 и P'(x)<0 при x>200, т.е. x = 200 – максимальное значение P(x) на интервале (100; +∞).

P(200) = 419900 > P(100), таким образом, xопт = 200 (ед.).

8.126. Функция издержек имеет вид		x2
	C(x) = 10+		. На начальном этапе фирма

	10

организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки A(x). В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл. ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?

Решение. Средние издержки A(x) = 10 + x принимают минимальное значение при x 10

x = 10. Предельные издержки M(x) = x . При установившейся цене p = 4 оптимальное

значение P(x) выпуска задается условием максимизации прибыли: P(x) = 4x- C(x)→max, т.е. 4 = M(x), откуда xопт = 20.

Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.

8.127. Фирма минимизирует средние издержки, которые получаются в результате равными 30 руб./ед. Чему равны при этом предельные издержки?

Определить оптимальное для производителя значение выпуска x0, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p и известен вид функции издержек C(x):

8.128. C(x) = 13 + 2x + x3; p = 14.					8.129. C(x) = 10 + x +	1
						1	x x ; p = 8.
							x x ; p = 8.
					3
8.130. C(x) = 8 +	1	x +	1	2x ; p = 1,85.
8.130. C(x) = 8 +		x +		2x ; p = 1,85.
4		10

Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р известен вид функций издержек С (х):

8.131. С(х) = 10 +

х2

;

р = 10,5.

8.132. С(х) = 8 +

х3

; р = 6,5.

8.133. С(х) = 2х +

е2

;

р = 40.

При производстве монополей х единиц товара цена за единицу р (х). Определить

оптимальное для монополии значения выпуска х0 (предполагается, что весь производственный товар реализуется), если издержки С (х) имеют вид:

8.134. С(х) = 10 + х +

х2

;

р (х) = 8 -

8.135. С(х) = 10 + (х −1) 3 ; р (х) = 10 −

8.136. С(х) =

х3

;

р (х) = 8 -

8.137. Монополия устанавливает фиксированную цену р = 380 за единицу товара. Издержки при производстве х единиц товара равны С(х) = 292х + х2 . При этом

количество		реализуемого товара К (х)			зависит	от х следующим образом:
К(х) = х + (		−		) . Определить значение	х, при	котором монополия получит
	х0		х
максимальную прибыль.

8.138. Монополия производит фиксированное количество х единиц товара и устанавливает на единицу товара цену р > р0 . Количество реализуемого товара К зависит

от р следующим образом (р0 –	цена, при которой будет реализован весь товар):
К( р) = хе р0 − р	(р0 < 1).

Определить значение р, при котором монополия получит максимальную прибыль. 8.139. Решить задачу 8.138 при условии, что

К( р) =	х	( р0 <	1	).
	+ р − р0 )2
(1		2
8.140. На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки,
причем функция издержек имеет вид С(х) = 10 + 2х +					5	х2 . В дальнейшем цена на единицу

		2

товара устанавливается равной р = 37. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом измениться средние издержки?

8.141. Функция издержек имеет вид С(х) = 40х + 0,08х3 . Доход от реализации единицы продукции равен 200. Найти оптимальное для производителя значения выпуска продукции.

8.142. Зависимость объема выпуска (в денежных единицах) продукции V от

капитальных затрат х определяется функцией V (x) = 3 ln(1 + x3 ) . Найти интервал значений х,

на котором увеличение капитальных затрат не эффективно.

8.143. Считается, что увеличение реализации у от затрат на рекламу х (млн. руб.) определяется соотношением: у = 0 ,01 х . Доход от реализации единицы продукции

равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма получит максимальную прибыль.

8.144. Количество реализованной монополии продукции х в зависимости от цены р

за единицу определяется соотношением х = х (	р0	− 1 )( р < р	) . Найти значение цены р,

0	р	0

при котором монополия получит наибольшую прибыль.

8.145. Доход от производства продукции с использованием х единиц ресурсов составляет величину 400 х . Стоимость единицы ресурсов составляет 10 усл.ед. Какое количество ресурсов следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?

8.146. Функция издержек имеет вид С(х) = х + 0,1х2 . Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

8.147. Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции х

определяется	как	D(x) =	100x - 1000				х	(400 ≤ х ≤ 900) . Функция	издержек на этом
промежутке	имеет	вид:	С(х) = 50х +	4			. Найти оптимальную		для монополии –
					х	х

			5

производителя значение выпуска продукции.

8.148. Цена на продукцию монополии – производителя устанавливается в соответствии с соотношением, идентифицируемом как р = р0 (1-0,2 х ). При каком значении выпуска продукции доход от ее реализации будет наибольшим?

8.149. Функция издержек С(х) имеет вид: С(х) = 2х, х ≤ 100; С(х) = 200 + р(х − 100)2 , x > 100. В настоящий момент уровень выпуска продукции х = 200. При каком условии на параметр р фирме выгодно уменьшить выпуск продукции, если доход от реализации единицы продукции равен 50?

		Глава 9.	Дифференциал функции
			Краткая теория
1. Приращение		y дифференцируемой функции y = f (x) может быть представлено в
	виде:	y = f ′(x) x + α (	x) x ,	(9.1)
где	f ′(x) - производная функции		f (x) ;	x - приращение независимой переменной;
α ( x) - бесконечно малая величина.				функции y = f (x) называется главная,
2.	Дифференциалом (первого порядка)

линейная относительно x часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

dy =

f ′(x) x

(9.2)

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

dх =

(9.3)

Поэтому дифференциал функции

dy = f ′(x)dx

(9.4)

3. Свойства дифференциала:

1) dc = 0 , где с = const.

2) d (cu) = c du.

d (u ± v) = du ± dv.

d (uv) = v du + u dv.

(9.5)

vdu − udv

′

6) dy

= f (u) du.

4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

При достаточно малых значениях ∆х приращение функции ∆у ≈ dy, т.е.

f (x +

x) ≈ f (x) + f ′(x) x.

(9.6)

Чем меньше значение ∆х, тем точнее формула (9.6).

Если аргумент х вычислен с относительной погрешностью δ

то, функция

f (x) − с относительной погрешностью δ

y , определяемой по формуле

xf ′(x)

δ y

Ex ( y)

δ x ,

(9.7)

где

Ex ( y)

- эластичность функции

(по

абсолютной величине).

f (x)

5. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d2y функции

y = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции,

т.е.

	d2y = d(dy).		(9.8)
Дифференциалом n-го порядка dny называется дифференциал от дифференциала
(n – 1) – го порядка этой функции, т.е.		dny = d(dn-1y).	(9.9)
9.1. Найти дифференциал функции y = x2 + x + 1 в точке х = 2 двумя способами:
а) выделяя линейную относительно ∆х часть приращения функции ∆у;
б) по формуле	dy = f′(x) dx.
Решение.		f(2) = ((2 + ∆x)2 + (2 + ∆x) +
а) Приращение функции ∆у = f(x + ∆x) – f(x) = f(2 + ∆x) –		f(2) = ((2 + ∆x)2 + (2 + ∆x) +
1) – (2 2 + 2 + 1) = 5∆x + ∆x2. Выделяя линейную относительно ∆x часть приращения
функции, получаем, что dy = 5∆x = 5dx.
б) Дифференциал функции dy = (x2 + x + 1)′dx = (2x + 1)dx = (2·2 + 1)dx = 5dx.
9.2. Найти 1,0050,5;	1,035.

Решение. Получим вначале приближенную формулу для вычисления любой n-й степени. Полагая f(x) = xn, найдем f′(x) = nxn-1 и в соответствии с (9.6):

(x + ∆x)n ≈ xn + nxn-1∆x. В данном примере для x = 1: 1,0050,5 ≈ 1 + 0,5·0,005 = 1,0025; 1,035 ≈ 1 + 5·0,03 = 1,15.

9.3. Использую понятие дифференциала, вычислить приближенно arcsin 0,51. Решение. Рассмотрим функцию y = arcsin x. Полагая x = 0,5, ∆x = 0,01 и применяя

формулу (9.6), имеем:

arcsin(x + ∆x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ ∆x = arcsin x + 1 Dx .

1 - x2

Следовательно,

arcsin 0,51 ≈ arcsin 0,5 +	1	× 0,01	= π / 6 + 0,011	= 0,535.

1	- (0,5)2

9.4. С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 1%?

Решение. Объем шара радиуса x равен f(x) = (4/3)πx3. Найдем f′(x) = 4πx2,

Ex	( f )	=	f ¢(x)x	=	x × 4πx2	= 3 и по формуле (9.7) δ y » 3δ x = 3 ×1 = 3% .


			f (x)		(4 / 3)πx3

9.5. Найти количество лет, в течение которых первоначальная сумма вклада увеличится в два раза, если ставка банковского процента (за год) равна r.

Решение. Найдем количество лет T , в течение которых первоначальная сумма вклада увеличится в два раза. Так как за год вклад увеличивается в (1 + r/100) раз, то за T лет вклад увеличится в (1 + r/100)T раз. Таким образом, необходимо решить уравнение

100

Для приближенного вычисления значения ln(1 + r/100) используем понятие дифференциала. Получим вначале приближенную формулу для вычислении ln x. Полагая

f(x )= ln x, найдем f′(x) = 1/x и в соответствии с (9.6) ln(x + ∆x) ≈ ln x + x . В данном x

примере для x = 1, ∆x = r/100 получим ln(1 + r/100) = ln1 + r/100 = r/100. Таким образом

T ≈ 100 ln(2/r). Так как ln2 ≈ 0,7, получаем, что время удвоения вклада T ≈ 70/r (лет).

9.6. Найти dy и d2y, если y =			ln x	.
9.6. Найти dy и d2y, если y =				.
			x
				ln x ′			1 - ln x		2
Решение:	dy =	f ¢(x)dx =				dx =		dx		;
Решение:	dy =	f ¢(x)dx =				dx =	x2	dx		;
					x		x2

1- ln x

1- ln x ′

-x - (1- ln x)2x

2 ln x - 3

y = d (dy) = d

Найти приращения функций и их дифференциалы и вычислить их значения при заданных x и ∆x:

9.7.	y = 2x3 + 5x 2 , x = 1, Dx = 0,1.	9.8. y = x2 + 5x, x = 2, Dx = 0,001.
9.9.	y = 1 - x3 , x = 1, Dx = -1/ 3.

Найти дифференциалы первого порядка функций и вычислить их значения при заданных x и ∆x:

9.10. y =	2		, x = 9, Dx = -0,01.	9.11. y = tgx, x = π , Dx =		π	.

		x		3	180
9.12. y = x ln x, x = 1, x = 0,01.

Найти дифференциалы первого порядка функций:

9.13. y =

arcsin

9.14. y =

x − 6

49 − x2

12 x + 6

9.16. y = x3 − 3x2 + 3x.

9.17. y = x4 − 3x2 + 4.

9.19. y = ln(sin

9.20. y = e−

x).

cos x

9.22. y =

+ arctg

9.23. y = x ln x.

9.25. y = x3 + x x.


9.28. y =	x + 1				.

		x − 1
9.31. y = ln			1	− x		.

	1			+ x

9.26.y = arctg(x2 + 1).

9.29.y = arctge2 x .

9.32.y = x ln x − x.

9.15. y = arcsin x2.

9.18.y = sin3 2x.

9.21.y = arctg 1 .

9.24.y = arcsin x.

9.27.y = x3 sin x.

9.30. y =	x	.

1	− x

Найти дифференциалы второго порядка функций:

9.33.	y = 4x5 − 7x2 + 3.	9.34.	y = cos 2x.	9.35. y = 4− x 2 .
9.36.	y = sin 2x.	9.37.	y = tg2x.	9.38. y = (x − 1)0,5.
9.39.	y = x 2 ln x.	9.40.	y = x sin x.

Используя понятие дифференциала, приближенно вычислить:

9.41. е0,2.	9.42. ln 1,02.	9.43. 170,25.
9.44. arcsin 0,54.	9.45. 1.021/3.	9.46. cos 151o.
9.47. sin 29o.	9.48. arctg 1,05.	9.49. lg 11.

9.50.Показать, что относительная погрешность в 1% при определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара.

9.51.Найти время удвоения вклада в банк, если ставка банковского процента за год составляет 5% годовых.

Глава 10. Интегральное исчисление функции одной переменной.

10.1.Неопределенный интеграл.

Краткая теория

Первообразной функцией для		функции f (x) называется			такая	функция F (x) ,
производная которой равна данной функции, т.е. F ′(x) = f (x) .
Неопределенным	интегралом	от	непрерывной	функции		f (x)	или	от
дифференциального	выражения f (x)dx		называется	общее	выражение		для	всех
первообразных функций f (x) .Обозначение:			∫ f (x)dx = F (x) + C,					(1)
где F ′(x) = f (x) .	Функция	f (x)	называется подынтегральной функцией, а

выражение f (x)dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

[∫ f (x)dx]′

= f (x), d ∫ f (x)dx = f (x)dx .

(2)

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме

этой функции и произвольной постоянной:

∫ dϕ (x) = ϕ (x) + C .

(3)

Постоянный

множитель

можно

выносить

за

знак

неопределенного

интеграла:

∫ cf (x)dx = c∫ f (x)dx

(c = const).

(4)

Неопределенный интеграл от алгебраический суммы непрерывных функций

равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

∫[ f1 (x) - f 2 (x) + f3 (x)]dx = ∫ f1 (x)dx - ∫ f 2 (x)dx + ∫ f3 (x)dx.

Таблица простейших неопределенных интегралов

∫ x m dx =

x m+1

+ C (m ¹ -1).

(5)

∫sin xdx = - cos x + C.

(10)

m +1

∫ 0 × dx = C.

(5а)

∫

dx =

∫

= tgx + C.

(11)

cos

∫1× dx = ∫ dx = x + C.

(5б)

∫

dx = ∫

= -ctgx + C.

(12)

sin 2 x

∫

dx =

∫

= ln

+ C.

(6) ∫

dx =

∫

= arcsin x + C = -arccos x + C.

(13)

1- x2

∫ e x dx = e x + C.

(7)

∫

dx = ∫

= artgx + C = -arcctgx + C. (14)

+ x 2

∫ a

a x

∫

dx = ∫

x -1

dx =

+ C.

(8)

+ C.

(15)

-1

x +1

ln a

∫ cos xdx = sin x + C.

(9)

10.2. Интегрирование разложением.

Метод разложения основан на свойстве 4 неопределенного интеграла.

Если

f (x) = f1 (x) - f 2 (x) + f3 (x), то ∫ f (x)dx = ∫ f1 (x)dx - ∫ f 2 (x)dx + ∫ f3 (x)dx.

												7
		I = ∫34						3			x 4				12
1.					x3 dx.			I = 3∫ x		dx = 3				+ C =		4	x7	+ C.
	Найти интеграл								4
	Найти интеграл								4		7
													7
								4					7
								4
				1			2
2.	Найти интеграл	I = ∫ 1	−				dx .
2.	Найти интеграл	I = ∫ 1	−			2	dx .
				x

Раскрывая скобки и пользуясь формулой (5)

для случая, когда m –

отрицательное

число, находим

−2+1

x−4+1

x−2 dx +

x−4 dx = x − 2

I =

−

dx =

dx − 2

∫

∫ x2

∫ x4

∫

− 2 +1

− 4 +1

= x + 2x−1 −

x−3 + C = x +

−

+ C.

3x3

x 4 − 3x2 + 53

− 7x + 6

Найти интеграл

I = ∫

dx.

Для вычисления интеграла следует разделить многочлен, стоящий в числителе на

знаменатель. Если это выполнить, получим:

−1

I1 = ∫

−

5 −

−

+ 5x −

+ C

−

+ 5 x

−

+ 9 + C.

Найти интеграл

I = ∫

x 4

dx.

1 + x

Прибавляя и вычитая единицу из x4 , получаем:

(x 4

− 1)+ 1

(x 2 − 1)(x 2 + 1)

= ∫ (x 2 − 1)dx + ∫

I = ∫

dx = ∫

dx + ∫

∫ x 2 dx − ∫ dx + ∫

+ x

1 + x

+ x

=x3 − x + arctgx + C. 3

5. Найти интеграл

I = ∫sin 2

dx.

Так как

sin 2

(1 − cos x), то

I =

∫ (1 − cos x)dx =

∫ dx −

∫ cosxdx =

x −

sin x + C.

Используя метод разложения, найти интегралы:

10.2. ∫ 4 x .

10.5. ∫ tg 2 xdx .

10.8. ∫ (2 x 2 + 1 )(2 + 3 x

10.11. ∫sin x / 2 cos x / 2dx .

10.3. ∫

(2 x 8

e x 2 x )dx .

10.4. ∫

9 x

+ 1

10.6.

10.7. ∫ (2 x 3

− 3 x 2 + 4 2

x + 1

)dx .

1 − 4 x

+ 1)3

+ 8

)dx .

10.9.

∫

x 3

dx .

10.10. ∫

dx .

+ 2

4 x

10.12. ∫

cos 2x

10.13. ∫

+ x3 − 1

dx .

cos

x sin

10.14. ∫

- x + 2

10.15. ∫

1 + x 2 - 1 - x2

10.16. ∫

tgx / 2

dx .

-1

- tg

1 - x 4

x / 2

10.3. Независимость вида интеграла от выбора аргумента функции.

Если	F (x) = ∫ f (x)dx, F ¢(x) = f (x),	(16)
то	F (u) = ∫ f (u)du,	(17)
где u = ϕ (x)	- любая дифференцируемая функция от х. Формула (17) получается из

формулы (16) путем формальной замены х на u, она дает возможность значительно расширить таблицу простейших интегралов. На ее основании получаем:

∫uα du =

α +1

(α

∫

= tgu + C

+ C

¹ -1).

(5)'

(11)'

cos

= ln

+ C.

(6)'

= -ctgu + C.

(12)'

∫

∫ sin 2 u

∫ eu du = eu

+ C.

(7)'

∫

= arcsin u + C = - arccos u + C. (13)'

1 - u

∫ au du =

+ C.

(8)'

∫

= artgu + C = -arcctgu + C.

(14)'

ln a

1 + u 2

∫ cos udu = sin u + C.

(9)'

∫

u -1

+ C.

(15)'

u +1

∫sin udu = - cos u + C.

(10)'

При пользовании формулами (5') — (15') необходимо иметь в виду простейшие

преобразования дифференциала:

1. dx = d (x + b) , где b –

постоянная величина.

5. xdx =

d (x 2 + b).

2. dx =

d (ax) , где постоянная a ¹ α .

6. sin xdx = −d (cos x).

3. dx =

d (ax + b)

7. cos xdx = d (sin x).

4. xdx =

d (x 2 ).

ϕ (′x)dx = dϕ(x).

В общем случае

Найти неопределенный интеграл

I = ∫ (2x + 3)2 dx.

На основании преобразования 3 дифференциала имеем

dx =

d (2x + 3).

Применяя формулу (5′) для случая, когда u = 2x + 3, α = 2, находим

I = ∫ (2x + 3)2

d (2x + 3) =

∫ (2x + 3)2 d (2x + 3) =

(2x + 3)3

+ C =

(2x + 3)3 + C.

Найти интеграл

= ∫

xdx

+ 2

d (x2 + 2)

d (x

2 + 2)

ln(x

+ 2)+ C.

I = ∫

∫

. =

+ 2

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.05.2015665.6 Кб31A_Few_Glimpses_of_Ecology_metodichka.doc
#
21.05.20152.51 Mб88bibliofond.ru_732812.rtf
#
21.05.2015315.39 Кб25Bilety_po_filosofii.doc
#
02.12.2018205.31 Кб8biology.doc
#
21.05.2015357.59 Кб60Ch_1-_Pr-m_Gl_1-7.pdf
#
21.05.2015787.4 Кб46Ch_2_-_Pr-m_Gl_8-11.pdf
#
21.05.20152.94 Mб151Ch_2_-_Pr-m_Gl_8-11_-_kopia.doc
#
21.05.2015403.46 Кб16datyIstoria_Rossii.doc
#
21.05.2015720.45 Кб16Don_Failla_System.pdf
#
21.05.201537.89 Кб12Ekzamenatsionnye_voprosy_po_istorii.doc
#
21.05.2015182.52 Кб65EKZAMEN_bu.docx