Ch_2_-_Pr-m_Gl_8-11

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кубанский государственный аграрный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тогда S = S AOB + S BCD =

11.31. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и

циклоидой x = t − sin t, y = 1 − cos t

на отрезке [0; 2π ] (см. рис.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

787.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Ньютона;

Найти интегралы:

10.146. ∫sin 3 xdx

10.149. ∫1 + sin x

10.152. ∫ 3sin 2 x + 5 cos2 x

10.155. ∫ 8 − 4 sin x + 7 cos x

10.158. ∫tg	3	x		+	π
					dx
					dx
			2		4

10.147. ∫ cos7 xdx

10.150. ∫ sin x − cos x

10.153. ∫ cos x dx

1 + cos x

10.156. ∫1 + tgxdx

1 − tgx

10.159. ∫ cos x cos x dx

2 3

10.148.

10.151.

10.154.

10.157.

10.160.

∫sin 3 x cos 2 xdx dx

∫ 2 sin x + sin 2x

sin x

∫ ( − )3 dx

1 cos x

∫(2 + cos x)(3 + cos x)

∫sin 9x sin xdxdx

10.9.Интегрирование некоторых иррациональных функций.

1.Интегралы вида

ax + b

∫ R

,...,

dx,

(32)

cx + d

где R –

подстановки

рациональная функция и p1 , q1 ,..., pk , qk - целые числа, находятся с помощью

ax + b	= t n , где n – наименьшее общее кратное чисел q , q		,..., q		.
cx + d	= t n , где n – наименьшее общее кратное чисел q , q	2	,..., q	k	.
	1	2		k

2.Интеграл от дифференциального бинома, т.е. интеграл

∫x m (a + bn ) p dx ,

где m, n, p – рациональные числа, a и b – постоянные, отличные от нуля; сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:

когда p – целое число, - разложением на слагаемые по формулам бинома

когда

m + 1

–

целое число, - подстановкой a + bx n

= t s , где s - знаменатель

дроби p;

m + 1

когда

+ p - целое число, - подстановкой ax −n + b = t s .

x +

1. Найти интеграл

I = ∫

dx.

x(1 +

x )

Это

интеграл

типа

(32),

для

которого

ax + b

= x

(т.е.

a = 1, b = 0, c = 0, d = 1),

cx + d

общий знаменатель всех дробей равен 6, поэтому применим

q1 3 q2 3

подстановку x = t 6

(она дает возможность освободиться от всех радикалов).

x = t 6 , то

dx = 6t 5 dt,

= t 2 ,

= t 4 .

x 2

Поскольку

Следовательно,

t 6 + t 4 + t

t 5

+ t 3 + 1

t 3 (t 2

+ 1) + 1

I = ∫

5 dt = 6∫

dt = 6∫

= 6∫t 3 dt + 6∫

(1 + t

)

1 + t

+ t

+ 6arctgt + C =

+ 6arctgt6

+ C.

t 4

3 x 2

2. Найти

I = ∫

3 1 + 4

dx .

Перепишем интеграл в виде

получим

m = - 1

; n = 1 ;

p = 1 .

I = ∫ x − 2 (1 + x 4 ) dx,

m + 1

−

+ 1

= 2 - целое число.

Составим выражение

4 4

Следовательно, здесь мы имеем второй случай интегрируемости. Подстановка запишется так,

−

1+ x 4 = t 3 ,(1+ x 4 ) 3 = t, x 4 = t 3 -1; x = (t 3 -1) 4

; x 2 = [(t 3 -

1)4] 2 =

;

(t 3 -1)2

dx = 4(t 3 -1)3 3t 2 dt = 12(t 3 -1)3 t 2 dt.

Поэтому

= ∫

t ×12(t 3 -1)3 t 2 dt = 12∫t 3 (t 3 -1)dt = 12∫ (t 6 - t 3 )dt =

-1)

t 7

t 4

t 3

+ C = 12t

+ C.

= 12

Возвращаясь к старой переменной, при помощи равенства t = 3 1 + 4

получим

1 + 4

I = 12(1 +

x )

1 +

+ C.

3. Найти интеграл

I = ∫

4 1

+ x 4

I = ∫ x0 (1 + x 4 )

−

Найти интеграл

виде

4 dx ,

заключаем, что

m = 0, n = 4, p = -

m + 1

Так как

+ p =

= 0

–

( целое число), то имеем третий случай интегрируемости.

Подстановка

ax−n + b = t s ,

где s –

знаменатель числа p,

в данном случае примет

вид x −4 +1 = t 4 , откуда

−

x =

(t 4 -1) 4 , dx = -t 3 (t 4 -

1) 4 dt ,

4 1 + x 4 = tx = t(t 4 -1) 4

Следовательно,

t 2 dt

t +1

I = -∫

∫

dt -

∫

arctgt + C.

t -1

-1 4

t +1 t

-1

+1 4

Найти интегралы:

x3 dx

10.133. ∫

10.134. ∫

xdx

10.135. ∫

xdx

x -1

x + 3

x +1

10.136. ∫

xdx

10.137. ∫

10.138. ∫

(1 + 3

)

2x +1

x +1

10.139. ∫

10.140. ∫ x

x -1

10.141. ∫

x - 2

x 2 -1

x +1

Глава 11. Определенный интеграл Краткая теория

1. Пусть функция у = f (x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на

n элементарных отрезков точками x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b.
В каждом из отрезков разбиения [xi−1, xi ] выберем произвольно точку ξi	и положим
xi = xi − xi−1 , где i = 1,2,..., n . Тогда сумма вида
n
∑ f (ξi ) xi	(11.1)
i=1

называется интегральной суммой для функции у = f (x) на отрезке [a, b].

Пусть существует и конечен предел S интегральной суммы (11.1) при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка xi , не зависящий от способа разбиения отрезка [a, b] на части и способа выбора точек ξi на отрезках разбиения. Тогда

функции у = f (x) называется интегрируемой на [a, b], а число S					- определенным
				b
интегралом от		f (x)	на [a, b], и обозначается ∫ f (x)dx :
				a
			b	n
			∫ f (x)dx = lim ∑ f (ξi ) xi		(11.2)
			a	max xi →0 i=1
Достаточным условием интегрируемости функции является ее непрерывность на
рассматриваемом отрезке.
2. Свойства определенного интеграла:
	b		b
1)	∫αf (x)dx = α ∫ f (x)dx,			где α - некоторое число.	(11.3)
	a		a
	b		b	b
2)	∫ ( f (x) ±g(x))dx = ∫ f (x)dx ±∫ g(x)dx .				(11.4)
	a		a	a
	b		a
3) ∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx.					(11.5)
	a		b
	a
4) ∫ f (x)dx = 0					(11.6)
	b
	b	c	b
5	∫ f (x)dx =∫ f (x)dx +∫ f (x)dx.				(11.7)
	a	a	c
6) Теорема о среднем. Если функция у = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
найдется такое значение ξ [a, b] ,что
b
∫ f (x)dx = f (ξ )(b − a)					(11.8)
a
7) Если функция у = f (x) - четная, то
a		a
∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx					(11.9)
−a		0
Если функция у = f (x) –				нечетная, то
a
∫ f (x)dx = 0					(11.10)
−a

8) Формула Ньютона – Лейбница. Определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a, b] функции f (x) равен приращению любой ее первообразной F (x) на этом отрезке:

b
∫ f (x)dx = F (b) − F (a) ,		(11.11)
a
или
F (b) − F (a) = F (x)	b

	a
9) Замена переменной в определенном интеграле. Если функция ϕ (t)		имеет

непрерывную производную на отрезке [α; β ], a = ϕ (a), b = ϕ (b) и функция непрерывна в каждом точке x = ϕ (t) , где t [α; β ], то

b	β
∫ f (x)dx =∫ f (ϕ(t))ϕ ′(t)dt		(11.12)

aα

10)Интегрирование по частям определенного интеграла. Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то

b	b	b
∫udv = uv		− ∫ vdu .	(11.13)
			(11.13)

aa a

11.1.Методы вычисления определенного интеграла

11.1.Вычислить определенные интегралы:

3x 4

− 5x2

+ 7

ln 2

а)

∫

dx ;

б)

∫

cos x

dx ;

в)

∫ e x e x − 1dx ;

π / 2

г)

∫ ln(1 − x2 )dx ;

д)

∫ x 2 cos xdx ;

е)

∫

1 − x 2

dx .

0,5

Решение:

а) используя эквивалентное преобразование подынтегральной функции (почленное деление числителя на знаменатель) и свойства (11.3),(11.4) определенного интеграла, получаем


2	3x 4	− 5x + 7	2	3		7		2	3	2	2	dx
∫			dx = ∫ 3x		− 5x +		dx = 3∫ x			dx − 5∫ xdx + 7∫			.
∫			dx = ∫ 3x		− 5x +		dx = 3∫ x			dx − 5∫ xdx + 7∫			.
1		x	1			x		1		1	1	x

Все три интеграла – табличные; согласно (11.11), окончательно имеем:

2			4		− 5x + 7dx = 3 x			4	2		2	2									(4 − 1) + 7(ln 2 − ln1) = 3,75 + 7 ln 2
2			4					4	2		2	2
	∫ 3x									− 5 x		+ 7 ln x		1	= 3			(16 − 1) − 5
														2
														2
1						x	4		1	2		1			4				4
						x				2					4				4

.
б) Так как													π
						cos x			при x 0,				π

	cos x												2
													2
					=							π	,π
						− cos x			при x			π	,π

												2
то (см. (11.7))
π						π / 2				π						π0				ππ / 2
	∫	cos x				dx = ∫ cos xdx + ∫ (− cos x)dx = sin x											/ 2		− sin x		= (1 − 0) − (0 − 1) = 2
	∫	cos x				dx = ∫ cos xdx + ∫ (− cos x)dx = sin x											/ 2		− sin x		= (1 − 0) − (0 − 1) = 2
0				0						π / 2

в)

Воспользуемся

заменой

переменной:

пусть

t =

e x -1 .

Тогда

t 2 = ex -1, ex = t 2 +1, 2tdt = exdx и dx =

2tdt

. Найдем

пределы

интегрирования по

t2 +1

x = 0 ,

x = ln 2 , то

переменной t:

если

то

t =

e0 -1 = 0 ;если

t = eln 2 -1 = 1 .Искомый

интеграл теперь принимает вид:

ln 2

t 3

∫ e x

e x -1dx = ∫ (t 2 +1)t

dt = 2∫t 2 dt =

(13

- 03 ) =

г) Воспользуемся формулой (11.13) интегрирования по частям: пусть

u = ln(1 - x2 ), dv = dx . Тогда du = (ln(1 - x 2 ))¢dx = -

dx ,

v = ∫ dv = ∫ dx = x и

- x

(см.(10.13))

2x 2

∫ ln(1 - x 2 )dx = x ln(1 - x2 )

+ ∫

dx =

0,5

1 - x 2

0,5

(x 2 -1) +1

= 0,5 ln 4 / 3 - 2 ∫

= 0,5 ln 4 / 3 - 2 ∫ dx - 2 ∫

-1

0,5

0,5 x

= 0,5 ln 4 / 3 - 2x

- 2 ×

x -1

= 1 + 0,5 ln12

0,5

д) Как было отмечено выше (см. § 10.3), данный интеграл находиться с помощью

последовательного

применения

формулы

интегрирования

по

частям.

Пусть

u = x2 , dv = cos xdx. . Тогда du = (x2 )¢dx = 2xdx , v = ∫ cos xdx = sin x и (см.(11.13)).

π / 2

∫ x 2 cos xdx = x 2 sin x

π0

/ 2

- ∫

2x sin xdx = π

- 2 ∫ x sin xdx .

Для нахождения последнего интеграла вновь применяем формулу (11.13):

u = x ,

dv = sin xdx . Тогда du = dx , v = ∫sin xdx = - cos x и

π / 2

∫ x 2 cos xdx = π

- 2x(-cosx)

π0

/ 2

- 2 ∫ cos xdx = π

- 2 sin x

π0

/ 2

= π

- 2 .

x = sin t . Будем полагать, что

е) Воспользуемся тригонометрической подстановкой

t Î [0;π / 2]. Если t = 0 , то x = 0 ; если t = π / 2 , то x = 1. Тогда dx = cos tdt

π / 2

∫

1 - x 2

dx = ∫

1 - sin 2 t

cos tdt = ∫

cos t

cos tdt .

Так

как

cos t > 0

при

t Î [0;π / 2],

cos t

= cos t .

Применяя

тригонометрическую

формулу понижения степени, получаем:

π / 2

1 + cos 2t

π0

π / 2

∫

1 - x 2

dx = ∫ cos 2 tdt = ∫

dt =

/ 2

∫ cos 2td 2t =

= π +

(sin2t

π / 2 )= π .

Вычислить определенные интегралы:

xdx

11.2. ∫ x

x 2 -16dx .

11.3. ∫

1 + 3x

11.6. ∫

2 ln x +1

dx .

11.7. ∫

2x +1

2
11.4. ∫ 4x + 2dx .
1	2x -1

11.8. ∫ x 2 1 - x3 dx .

−2

	9
	9			xdx
11.5.	∫			xdx		.
11.5.	∫					.
	4		x -1
	ln 8	e		x	dx
11.9.	∫	e			dx		.
11.9.	∫						.
	ln 3		e x +1

ln 2	e	e	3
11.10. ∫ xe x dx .	11.11. ∫ x ln xdx .	11.12. ∫ ln 2 xdx .	11.13. ∫ arctgxdx .

	1							π
11.14.	∫ x2 e− x dx .						11.15. ∫ e x
	−1							0
	π / 2
11.18.	∫ cos3 x sin xdx .							11.19.
	0
	1			dx
11.22.	∫			dx			.	11.23.

		x	2	+	4x + 5
	0	x		+	4x + 5
	2			dx
11.26. ∫				dx		.		11.27.

			2	+
	1	x		+	2x

π / 2

sin xdx .

11.16. ∫ (x + 3) sin xdx .

11.17. ∫ x sin x cos xdx .

π / 2

−π

x 4 sin x

ln 2

∫

dx .

11.20.

∫sin 3 xdx .

11.21.

∫

e x -1dx .

+ 2

−7

1 / 2

1 + x

∫

11.24.

∫

. 11.25.

∫

dx .

3 + 2 cos x

1 x

x 2 + 5x +1

1 - x

π / 4

∫

11.28.

∫tg 3 xdx .

11.29. ∫ x 2

9 - x 2 dx .

−11 +

−3

11.2. Геометрические приложения определенного интеграла.

Краткая теория Площади плоских фигур

1. Если функция f (x) неотрицательна на отрезке [a, b], то площадь S под кривой

y= f (x) на [a, b] ( площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) и прямыми x = a, x = b, y = 0 ) (см.рис (11.1) численно равна определенному интегралу

от f (x) на данном отрезке:

b
S = ∫ f (x)dx	(11.14)

(геометрический смысл определенного интеграла).

Рис.11.1

2. Если функция y = f (x)- неположительная на отрезке , то площадь S над кривой y = f (x) на [a, b] (см.рис.11.2.) равна определенному интегралу от f (x) на [a, b], взятому со знаком «минус»:

b
S = -∫ f (x)dx	(11.15)

Рис. 11.2

3. Если f2 ( x) ³ f1 ( x) на отрезке [a, b], то площадь S фигуры, заключенной между кривыми y = f2 ( x) и y = f1 ( x) на этом отрезке определяется формулой

b
S = ∫( f2 (x) - f1 (x)	) ) dx .	(11.16)

4. Если верхняя ограничивающая линия фигуры (см. рис. 11.1) задана параметрически: x = ϕ (t) , y = ψ (t) , где t [α; β ], ϕ(α ) = a , ϕ(β ) = b , то площадь S этой фигуры вычисляется по формуле:

β
S = ∫ψ (t)ϕ ′(t )dt .			(11.17)
α
Длина дуги кривой
5. Длина S дуги кривой y = f (x), заключенной между точками с абсциссами
x = a и x = b , определяется по формуле
b
S = ∫	1 + ( f ′)2	dx	(11.18)

Площадь поверхности вращения

6. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox кривой y = f (x), заключенной между точками с абсциссами x = a и x = b , определяется по формуле

b
S x = 2π ∫ f 1 + ( f ′)2 dx	(11.19)

Объемы тел вращения

7. Если функция y = y(x) знакопостоянна на отрезке

[a, b], то объем Vx тела, образованного вращением вокруг оси

Ох фигуры, ограниченной линиями	y = y(x), x = a, x = b, y = 0
(см. рис. 11.4), вычисляется по формуле
	b
Vx	= π ∫ y 2 (x)dx	(11.20)

Рис. 11.4

Аналогично, объем Vy тела, образованного при вращение вокруг оси Oy плоской фигуры, ограниченной линиями y = c, y = d , x = x( y), x = 0 (см.рис. 11.5), вычисляется по формуле

d
Vy = π ∫ x2 ( y)dy	(11.21)

Рис. 11.5

11.30. Найти площади плоских фигур, ограниченных линиями:

а) y = x 2 , y = 1 , x = 3, y = 0; б) y = 2x − x 2 , y = 0, x = 3 x

(фигура расположена в первой четверти);

Решение:

	а) Искомая площадь S = SOABC - это площадь под «кривой»
	ОАВ (см. рис. 11.6) на отрезке [0; 3].
	Линия ОАВ состоит из части ОА параболы y = x 2 и части АВ
	гиперболы	y = 1 x . Соответственно, площадь S найдем как
	сумму двух	площадей:	S = SOAD + S ABCD , каждую из которых
Рис.11.6	вычислим,	опираясь на	геометрический смысл определенного

интеграл(см. формулу (11.14)).

Решая систему

y = x 2

= 1 x

находим координаты точки А: (1, 1).

Тогда S AOD = 1

x 2 dx =

S ABCD

= 3

= ln

3 = ln 3

∫

S = S

+ S

+ ln 3 ≈ 1,43 (ед.² ).

OAD

ABCD

б) Фигура искомой площади S состоит из двух

криволинейных

треугольников: AOB и BCD,

расположенных (соответственно) выше и ниже оси Ох (см.рис. 11.7). Площадь этих треугольников найдем по формулам (11.14) и (11.15):

Рис. 11.7

S AOB

S BCD

	2				x3			2			4
	2				x3			2			4
	∫
=		(2x − x 2 )dx = x		2 −					=
=		(2x − x 2 )dx = x		2 −	3				=		3
	0							0
	0							0
		3					x3			3			4
		3					x3			3			4
		∫
= −			(2x − x 2 )dx =	− x 2 +		3						=	3
		2								2
		2								2

Решение. Используя формулу (11.17), получаем:

2π	2	2π	2	2π	3		1
S = ∫ (1 − cos t)		dt = ∫	(1 − 2 cos t + cos	t)dt = ∫		− 2 cos t +		cos 2t dt =
S = ∫ (1 − cos t)		dt = ∫	(1 − 2 cos t + cos	t)dt = ∫		− 2 cos t +		cos 2t dt =
0		0		0	2		2

11.32. Найти длину дуги полукубической параболы y 2 = x3 от начала координат до

точки с координатами (4/3, 8 3 /9). Решение. Указанный участок кривой расположен в первой четверти и задается уравнением y = x3 / 2 . Так как в этом случае f ′(x) = 1,5x1/ 2 то, применяя формулу (11.18), получаем

4 / 3		4 / 3				8					3 / 2	4 / 3							(ед.		)

				9					9				8					56
S = ∫	′ 2	dx = ∫		9					9				8		3 / 2			56		2
	1 + ( f )		1 +		xdx =		1	+		x		=		(4		− 1)	=
	1 + ( f )		1 +		xdx =		1	+		x		=		(4		− 1)	=
0		0		4		27			4			0	27					27
												0

11.33. Найти площадь поверхности, образованной вращением циклоиды x = t − sin t , y = 1 − cos t при t Î [0;2π ] (см. рис. 11.10) вокруг оси Ох.

Решение. Для получения формулы площади поверхности вращения в случае параметрического задания кривой достаточно произвести соответствующую замену

переменной в исходной формуле (11.19).

x Î[a, b],

Более точно,

если для кривой

y = f (x) ,

где

имеем x = ϕ (t) ,

y = ψ (t) ,

t Î [α , β ] и ϕ (α ) = a,ϕ (β ) = b , то

S x = 2π ∫ψ (t)

(ϕ ¢(t))2 + (ψ ¢(t))2

dt .

Полагая теперь ϕ (t) = t − sin t , ψ (t) = 1− cos t, α = 0, β = 2π , получаем выражения для

искомой площади поверхности:

2π

S x = 2π ∫ (1 - cos t)

= 2π ∫ (1 - cos t )2 sin t / 2dt =

(1 - cos t)2

+ sin 2 t

2π

= -16π ∫ (1 - cos

t / 2)d cos t / 2

= -16π cos t

cos

t /2

0 = 64π / 3 » 67(ед.

)

11.35.. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох круга

единичного радиуса с центром в точке (0; 2)

Решение. Отметим, что тело указанного вида в геометрии называется тором.

Искомый

объем

= VABCEF − VADCEF

где

VABCEF , VADCEF — объемы, полученные при вращении вокруг оси Ох фигур, ограниченных соответственно линиями ABCEF и ADCEF (рис. 11.13). Уравнения полуокружностей ABC и ADC имеют вид:

y = 2 ± 1 - x 2 (соответственно).

Рис. 11.13

Используя (11.20),(11.4), получаем:

Vx = π ∫ (2 +

1- x2

) dx -π ∫ (2 -

1- x2

;)2 dx = π ∫8

1- x2

dx .

−1

Применяя (11.9) и результат примера 11.1, е, окончательно имеем

dx = 16π × π = 4π 2 » 39,5 (ед.³)

Vx = 16π ∫

1 - x 2

Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

11.36. y = ex , y = ex / 2 , y = e2 .

11.37. y = x4 - 2x2 , y = 0 .

11.38. y = 3 + 2x - x2 , y = x +1

11.39. y = x2 + 3, xy = 4, y = 2, x = 0 .

11.40. y = x3 , y = -2x2 + 3x (фигура расположена в первой четверти).

11.41. y =

, y = x +1 .

11.42. y = cos 2x, y = 0, x = 0, x = π / 4 .

1− x

11.43. y = 2 − x4 , y = x2 .

11.44. xy = 1, y = x2 , x = 3, y = 0 .

11.45.x = 0, x = 2, y = 2x , y = 2x − x2 .

11.46.y = arcsin 2x, x = 0, y = −π / 2 .

11.47.y = x2 +1, x = y2 , 3x + 2 y −16 = 0, x = 0 .

11.48.y = (x +1)2 , y2 = x +1 .

11.49.y = 4 - x2 , y = x2 - 2x, y = 0 (фигура расположена во второй четверти).

11.50. y = − 1 x2 + 2, x + 2 y − 4 = 0, y = 0 . 2

11.51. x = 0, y = 4x − x2 и касательная к графику этой функции в точке с абсциссой

x= 3 .

11.52.x = cost, y = 2sin t, t [0; 2π ]. 11.53. x = cos3 t, y = sin3 t, t [0; 2π ].

Найти длину дуг следующих кривых:
11.54. y = 2 x от х = 0 до х = 1.	11.55. y = ln x от x = 3 до x = 8 .

11.56.y = arcsin e− x от x = 0 до x = 1

11.57.x = t − sin t, y = 1− cos t от t = 0 до t = 2π .

Найти площадь поверхности вращения, полученных при вращение вокруг оси Ох следующих кривых:


11.58. y = x3 при x [0; 4					].	11.59. 9 y2 = x(3 − x)2 при x [0; 3].
				1/ 3
11.60. x2 + y 2			= 9 при x [− 2;1].			11.61. x = cos3 t, y = sin3 t при t [0; π / 2].
Найти объем тел, образованных при вращение вокруг оси Ох и Оу плоских фигур,
ограниченных линиями:						11.68. y = ln x, y = 0, x = e .
11.62. y = x3 ,			y = 4x .
11.63. y = sin x, y = 0 при 0 ≤ x ≤ π .						11.69. y = −x2 + 4, y = x2 , x = 0 .
11.64. y = 4 / x, x = 1, x = 4, y = 0 .						11.70. y =		, y =		, x = 0 .
									16 − x2
							6x
11.65. y =	1	x2 − 2x, x = 0 .				11.71.

2		y = x2 +1, x = y2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 .
11.66. y = x2 , xy = 8, y = 0, x = 4 .
11.67. x =
	y −1, x = 0, y = 5 .

11.72. Найти объем тела, полученного при вращение фигуры, ограниченной линиями y = 2x − x2 , y = 0 вокруг прямых: а) x = −1; б) y = 1.

11.3. Несобственные интегралы А. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Краткая теория

Пусть функция y = f (x) интегрируема на произвольном отрезке [a, t].

		+∞
Несобственным интегралом (первого рода)		∫ f (x)dx	называется предел функции
		a
t
∫ f ( x ) dx при t → ∞ , т.е.
a
+∞	t
∫	f (x)dx = lim	f (x)dx	(11.22)
∫	t →+∞ ∫
a	a

Если предел, стоящий в правой части равенства (11.22), существует и кончен то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся; в противном

случае — расходящимся.

Аналогично, по определению,

b			b
∫		f ( x ) dx	= lim	f ( x ) dx	,	(11.23)
∫			t → +∞ ∫
− ∞			t
+∞		a	+∞
∫ f (x)dx =		∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,				(11.24)
−∞	−∞		a

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.05.2015665.6 Кб31A_Few_Glimpses_of_Ecology_metodichka.doc
#
21.05.20152.51 Mб88bibliofond.ru_732812.rtf
#
21.05.2015315.39 Кб25Bilety_po_filosofii.doc
#
02.12.2018205.31 Кб8biology.doc
#
21.05.2015357.59 Кб60Ch_1-_Pr-m_Gl_1-7.pdf
#
21.05.2015787.4 Кб46Ch_2_-_Pr-m_Gl_8-11.pdf
#
21.05.20152.94 Mб151Ch_2_-_Pr-m_Gl_8-11_-_kopia.doc
#
21.05.2015403.46 Кб16datyIstoria_Rossii.doc
#
21.05.2015720.45 Кб16Don_Failla_System.pdf
#
21.05.201537.89 Кб12Ekzamenatsionnye_voprosy_po_istorii.doc
#
21.05.2015182.52 Кб65EKZAMEN_bu.docx