Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3635 36 > Следующая >>>

																									p		.																	p		2 ;
8)	sin 44° »											2				-		2			×											Ответ:				R	<				2	×
												2						2																							2

																																				1
									2								2						180																	2			180
9)	1					»1 -					1			+			1			-				1				.				Ответ:				R		<		1				;
	1										1						1							1																1

				e					2 4 × 2! 8 × 3!																											3				24 ×3!
				e					2 4 × 2! 8 × 3!																															24 ×3!
10) sin 2° »										p					-		p		3 ×						1	.						Ответ:				R		<		p			4	×	1	;
										p							p								1															p			4		1

																																				3
									90								90						3!																	90				4!
11)	1					»1 -					1		+				1					.										Ответ:				R			<	1				;
	1										1						1																							1

		3 e							3								32 × 2!																			2				33 ×3!
		3 e							3								32 × 2!																							33 ×3!
12) arctg1,1 » π - 0,05.																																Ответ:				R	< 0,04
12) arctg1,1 » π - 0,05.																																Ответ:				R	< 0,04
									4																											1
									4																		Уровень II
																											Уровень II
Вычислите приближенно с точностью до 0,01:
1)	cos3° ;																															9)	e0,3 ;
2)	ln 0,9 ;
2)	ln 0,9 ;																															10)	8 ;
																																10)	8 ;

3)			e ;																													11) ln1,08 ;
	3							;
4)			127																													12) 5			;
4)			127																													12) 5		31	;
5)	sin 92° ;																															13) e−0,3 ;
6)		3	e		;																											14) cos 0,1;
7)	sin 0, 2 ;																															15) ln 0,95 ;
																																15) ln 0,95 ;
	4						;																									16) cos85° .
8)	4		83				;																									16) cos85° .
																					Домашнее задание
1.	Разложите функцию y = arctg x по формуле Тейлора заданного
порядка		n = 2 в окрестности точки x0 = 1 с остаточным членом в форме
Лагранжа.
Ответ:									π + ( x −1) − ( x −1)2																				+ R			( x) .
									4								2						4						2
									4								2						4
2.	Разложите функцию y = e2 x−1																														по формуле Тейлора (n –												произволь-
ный порядок) в окрестности точки x																													=	1		с остаточным членом в форме Пеано.
ный порядок) в окрестности точки x																													=			с остаточным членом в форме Пеано.
																							0						2
																													2

341

3. Разложите функцию y = (x2 -1)sin	x	по формуле Маклорена (n –

3

произвольный порядок) с остаточным членом в форме Пеано.

Ответ:	x3	-	x5	+	x7	- ... + (-1)n−1 ×	x2n+1	+ 0(x2n+1 ).
							3n−1 (2n -1)!
3			33 ×3! 33 ×5!

4. Построить график функции y = 2x5 - 6x3 + 3 в окрестности точки

x0 = 0 .

5. Вычислите предел с помощью формулы Тейлора:

lim	cos 2x3		-1 + 2x6	.
		2	+ 4x10
x→0 4x

Ответ: .

Завершить выполнением внеаудиторной контрольной работы.

ВНЕАУДИТОРНАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ

« Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Вариант 0

1. Найти производные следующих функций:

1.1. y = ln tg arctg 25x .

y¢ =

× 25x ln 2

×5 ;

1 + (25x )2

arctg 25x

cos2

arctg 25x

2 arctg 25x

1.2. y =

arccos x

1 - x2

u ¢

u¢v - uv¢

Применим формулу

, тогда

−2x

× 1

- x2

- arccos x ×

1 - x2

2 1 - x2

y¢ =

(

)

1 - x2

342

1 - x2

+ x × arc cos x

x × arc cos x -

1 - x2

;

(1 - x2 ) 1 - x2

(1 - x2 )3

arcsin

1.3.

y =

+ ln

1 - x2 .

1 - x2

-2x

1 - x2 - x × arcsin x ×

arcsin x +

1 - x2

2 1 - x2

-2x

y¢

1 - x2

2 1 - x2

(1 - x2 )arcsin x + x

1 - x2 + x2 × arcsin x

arcsin x

;

(1 - x2 )

1 - x2

(1 - x2 )3

1.4. xy = arctg x . y

Эта функция задана неявно. По правилу дифференцирования неяв- ной функции получим

( xy )¢ = arctg

¢ y + xy¢ =

y - xy¢

y¢ =

y (1 - x2 - y2 )

x 1 + x

+ y

(

)

1.5. y = (cos x)sin x .

Применение методов предварительного логарифмирования упрощает вычисление производной сложно-показательной функции. Логарифмируя,

имеем ln y = sin x × ln cos x .

Дифференцируем обе части этого уравнения, не забывая что

y = y ( x),		1	× y' = cos x × ln cos x + sin x ×					1	(-sin x) .
y = y ( x),		y	× y' = cos x × ln cos x + sin x ×						(-sin x) .
		y						cos x
Следовательно,
y¢ = (cos x)	sin x			sin2 x	= (cos x)	sin x	(cos x × ln cos x - tg x sin x) .
	cos x × ln cos x -
	cos x × ln cos x -

				cos x

2. Найти производные второго порядка: 2.1. y = (arcsin x)2 .

343

y¢ = 2arcsin x ×

;

1 - x2

-2x

2 1 - x

y¢¢ = 2

+ arcsin x

- x

1 - x

x × arcsin x

1 - x2 + x × arcsin x

= 2

;

(1 - x

1 - x

(1 - x

)

- x

)

x = t × ln t,

y =

2.2.

ln t

y =

Функция задана параметрически, следовательно

y¢ =

yt′

y¢¢ = ( y¢ )¢ = ( y¢x )¢t

;

xt¢

×t - ln t

1 - ln t

1 − ln t

y¢

; x¢ = ln t + t ×

= ln t +1;

y¢

;

t 2

t2 (1 + ln t )

( y¢ )¢

t 2

(1 + ln t )

- (1 - ln t )

2t (1 + ln t ) + t2

t 4 (1 + ln t )2

-t (1 + ln t ) - (1 - ln t )t (3 + 2ln t )

;

t4 (1 + ln t )2

y¢¢

-t (1 + ln t ) - (1 - ln t )t (3 + 2ln t )

t4 (1 + ln t )3

3. Найти дифференциал функции:

=1 − x

3.1.y ln + x .1

344

′

1 − (1 + x) − (1 − x)

−2

dy = f (x)dx

dy =

dx =

dx ;

1 - x

× (1 - x

)

1 - x2

1 + x

3.2.

y = e3x+2 ,

x = cost .

Учитывая свойства инвариантности дифференциала, имеем

dy = e3x +2 ×3(-sin t)dt = -3e3 cos t + 2 sin t × dt .

Вычислим приближенное значение sin 45006¢.

y ≈ dy;

y = f (x + x) − f (x);

′

f (x +

′

f (x + x) − f (x) ≈ f (x) x;

x) ≈ f (x) + f (x) x .

Эта формула дает возможность найти значение функции f (x +

x) в

некоторой точке x +

x , если известно значение функции

y = f (x )

и ее

производной в точке x.

Вычислим без таблиц sin 45006¢.

f (x) = sin x;

′

x =

Dx =

(x) = cos x;

180

1800

sin p +

» sin p + cos p ×

» 0,7083 .

1800

2 1800

Показать, что функция

y = 3sin x − 4cos x

удовлетворяет данно-

му уравнению:

y′′ + y = 0 ,

y′ = 3cos x + 4cos x ;

y′′ = −3sin x + 4cos x .

После подстановки в уравнение имеем

−3sin x + 4cos x + 3sin x − 4cos x = 0;

0 = 0 .

6. Определить наибольшее и наименьшее значения, точки перегиба функции изгибающего момента M(x) = x3 - 3x2 + 3x + 2 на отрезке [-2;2] .

1) Функция изгибающего момента М(х) на данном отрезке дости- гает своего наибольшего (наименьшего) значения или в критических точ- ках, или на концах этого отрезка

345

′

− 6x +

′

x = 1;

x = 1 [−2;2] ,

M (x) =

M (x) = 0

M (1) = 3;

M (−2) = −24;

M (2) = 4 .

Сравнивая значения функции в этих точках, заключаем, что наимень-

шее значение функции

m = – 24

достигается при

х = – 2 ( на левом конце

отрезка), а наибольшее –

М = 4

в точке x = 2 (на правом конце отрезка).

2) Находим точки перегиба

′′

x = 1

M (x) = 6x − 6;

M (x) = 0

′′

+ ε) > 0

′′

M (1

M (1 − ε) < 0 .

Так как

′′

M (x) при переходе через х = 1 меняет знак, следовательно,

х = 1 является точкой перегиба.

7. Исследовать функцию и построить ее график y =

2x3

x2 − 4

1) D( y) = (−∞; −2) (−2;2) (2; +∞] ;

Прямые

x = ±2 являются вертикальными асимптотами;

lim

2x3

= −∞ ;

lim

2x3

= +∞ ;

−

x→−2−0 x2 −

x→−2−0 x2

lim

2x3

= −∞ ;

lim

2x3

= +∞ ;

−

x→−2−0 x2 −

x→−2−0 x2

2) функция нечетная, график симметричен относительно начала ко- ординат, поэтому исследование функции достаточно провести на проме- жутке [0;∞] . Функция не периодична;

3) находим первую производную

y¢ =

6x2

(x2 - 4) - 2x3 × 2x

2x4 - 24x

2x2 (x2 -12)

(x2 - 4)2

x = 0,

x = ±2

Критическими точками 1 рода будут

y′

–

−2 3

–2

2 3

ymax (−2

) = y (−2

) = −6

3 ,

ymin (2

) = 6

3 ;

346

вторая производная y

′′

16x(x2 + 12)

дает критическую точку

(x2 − 4)3

второго рода х = 0.

y′′ –

–

–2

yперег. = y (0) = 0

находим наклонную асимптоту

y = kx + b

k = lim

f (x)

= lim

2x3

= 2 ;

x→+∞

x→+∞ (x2 − 4)x

2x3

− 2x3 + 8x

b =

lim ( f (x) − kx) =

lim

− 2x

lim

x→+∞

− 4

x→+∞

− 4

lim

= 0 .

x→+∞ x2 − 4

При x → −∞ k

и b

принимают те же значения, следовательно, гра-

фик функции имеет наклонную асимптоту y = 2x;

график имеет одну точку пересечения с осями координат. Ис-

пользуя результаты исследования, строим график

−2	3	–2	0	2	2	3	x
							x
			–1

−63

347

8. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить пределы:

8.1.

lim

π − 2arctg x .

x→+∞

e x -1

Это неопределенность типа

. Используя правило Лопиталя, получаем

p - 2arctg x

-2

lim

1 + x2

lim

× lim

;

+ x2

x→+∞

→+∞

3 x→+∞

x→+∞ 1

e x -1

e x

8.2.

lim x

ln(ex −1)

x→0

Это неопределенность типа (00 ). Логарифмируя предварительно

y = x

(ex −1)

, получаем равенство:

ln y =

× ln x

∞

ln (ex -1)

(неопределенность типа ¥ ).

Находим предел ln y , после чего находим и предел y:

ex -1

ln x

lim ln y = lim

= lim

x→0

x→0 ln (ex -1)

x→0

x × ex

ex -1

= lim

× lim

ex -1

=1× lim

=1,

x→0 ex

→0 x

x→0 1

следовательно,

lim ln y =1

ln lim y =1

lim y = lim x

ln(ex −1)

= e .

= e

x→0

348

ГЛОССАРИЙ

Производная функ-

предел отношения приращения функции

ции в точке x0

приращению аргумента

при стремлении

Dx к

нулю:

y¢ = f ¢( x) = lim

x→0

Функция

имеет

если для некоторого значения x

выполняется од-

бесконечную

произ-

но из условий

водную,

lim

y = +¥

lim

y = -¥

или

x→0 Dx

→0

Производной

2-го

называется производная от ее первой производ-

порядка

от

функ-

ной. Обозначают y′′ , f

¢¢( x ) = (

f ¢( x ))¢, y′′

ции y = f ( x )

Дифференциал

произведение

производной

функции

f ′( x

)

на

y = f ( x ) в

функции

приращение аргумента

Dx,

т.е. dy = f ′( x0 ) × Dx ,

точке x0

если

–

независимая

переменная,

то

dy = f

′( x

) × dx

Геометрический

дифференциал функции

y = f ( x )

в точке x0

ра-

смысл

дифферен-

вен приращению

ординаты

касательной

при

циала

заключается

в следующем

x → x0

Асимптота к гра-

прямая, к которой приближается точка М(x, y),

фику

функции

лежащая на графике, при неограниченном удале-

y = f ( x )

нии ее от начала координат;

асимптоты бывают наклонные y = kx + b или вер-

тикальные

x = a , или горизонтальные y = b .

Производной

называется производная от ее производной (n-1)-го

ного

порядка

от

порядка. Приняты следующие обозначения

функции y = f ( x )

y( III ) , y( IY ),…, y(n) = (y(n−1) )¢ ,

d n y

dxn

349

Свойство инвари-		Дифференциал функции равен произведению
антности	(неиз-	производной на дифференциал аргумента, незави-
менности)	диффе-	симо от того, является ли этот аргумент независи-
ренциала	первого	мой переменной или функцией другой независи-
порядка)		мой переменной
				dy = y′ × dx

Точкой локального		является точка x ,		если	"x Î( x - d, x + d) вы-
	(макси-		0				0		0
минимума	(макси-	полняется неравенство
мума)	функции	f ( x) ³ f ( x0 ) , ( f ( x) £ f ( x0 )) .
y = f ( x )		f ( x) ³ f ( x0 ) , ( f ( x) £ f ( x0 )) .

Точкой перегиба		называется точка, в которой функция меняет на-
		правление выпуклости

Формула Тейлора		позволяет приближать				некоторую			функцию
		y = y ( x) , дифференцируемую n раз, к многочле-
		нам n-ной степени:		f ( x) = Pn ( x) + Rn ( x) , где
		Pn ( x) = y ( x0 ) + y′( x0 )( x − x0 ) + ... +						y(n)	( x − x0 )n
		Pn ( x) = y ( x0 ) + y′( x0 )( x − x0 ) + ... +						n!	( x − x0 )n
								n!

Остаточным чле-		называется остаточный член
ном, записанным в			Rn ( x) = 0(( x − x0 )n )
форме Пеано
Остаточным чле-		называется остаточный член
ном, записанным в		Rn ( x) =	y(n+1) (c)	( x − x0 )		n+1	, где c Î( x0 , x)
форме Лагранжа			y(n+1) (c)			n+1
форме Лагранжа			(n + 1)!
			(n + 1)!

350

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3635 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб106умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб106умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб94умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб99умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб99умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб107умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб88умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб98умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб145умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf