Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Правило Лопиталя позволяет вычислить эти пределы значительно проще:

- 2x

- 2

lim

= lim

- 2x +1)

= lim

(2x4 - x -1)¢

x→1 2x4 - x -1

x→1

x→1 8x3 -1

(sin 2x)¢

lim

sin 2x

=0 lim

= lim

2cos 2x

(tg 3x)¢

x→π tg 3x

x→π

cos2 3x

Отметим, что в ряде случаев использование правила Лопиталя не да-

ет преимуществ по сравнению с другими методами.

Обучающая задача.

Вычислить предел

lim

ln (1 - x2 )

x→0 arcsin 4x2

Решение:

Здесь также имеем неопределенность вида

. Способ,

основанный на использовании бесконечно малых, позволяет вычислить данный предел буквально в одно действие:

lim	ln (1 - x2 )	=	ln (1 + a) a	= lim -x2	= -	1	.

			arcsin a a
x→0 arcsin 4x2				x→0 4x2	4
			α→0

Вычисление же этого предела по правилу Лопиталя несколько сложнее:

(ln (1 - x2 ))¢

-2x

(1 - x2 )

= lim

= -

1 -16x

= -

lim

(arcsin 4x2 )¢

1 - x2

x→0

4 x→0

1 -16x4

Таким образом, на каждом этапе применения правила Лопиталя сле- дует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразо- ваниями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами вычисления пределов.

Обучающая задача. Вычислить пределы:

	10. lim	arctg2 x × ln (1 + x)
	10. lim	tg x - x
	x→0	tg x - x

281

0=0

x × ln (1 + x)

arctg x x,

x ® 0

arctg

lim

= lim

tg x - x

ln (1 + x) x, x ® 0

x→0

x→0 tg x - x

)

cos

× cos2 x = 3 ;

lim

= 3 lim

(tg x - x)¢

x→0

-1

x→0 1 - cos2 x

x→0 sin2 x

cos2 x

20. lim

sin x − x cos x

x→0

sin3 x

sin x - x cos x

- x cos x

sin x

lim

= lim

(sin x - x cos x)

x→0

sin

x→0

(x3 )¢

= lim

x sin x

lim

sin x

x→0 3x2

3 x→0 x

Иногда для раскрытия неопределенности правило Лопиталя прихо- дится применять последовательно несколько раз.

Обучающая задача.

Вычислить пределы:

10. lim

x10 -10x + 9

x→1

x5 - 5x + 4

Решение:

Неопределенность вида

раскрываем, применяя прави-

ло Лопиталя дважды:

-10x

+ 9

-10x + 9)

10x

-10

90x

lim

(x5 - 5x + 4)¢

= lim

lim

x →1

- 5x + 4

x →1

- 5

x →1

20x

20.

lim

n .

x→+∞ ex

∞

Решение: В данном выражении содержится неопределенность вида

. Применим правило Лопиталя n раз:

∞

n −1

)

∞

n(n -1) x

n − 2

∞

lim

= lim

lim

= ...

x →+∞ ex

x →+∞ (ex )¢

x →+∞

282

∞∞

= lim

x→+∞

y¢( x)

Если lim ( )

x→ x0 g¢ x

n(n -1)(n - 2)...2 ×1	=	lim	n!	=	n!	= 0 .
ex					+¥
		x→+∞ ex

y ( x)

не существует, то отсюда не следует, что lim ( )

x→ x0 g x

тоже не существует. Другими словами, правило Лопиталя в этом случае не применимо. Покажем это на примере:

		∞
		∞
	x + sin x			1
lim	x + sin x	=	lim 1 +	1		×sin x		=1,
lim		=	lim 1 +		x	×sin x		=1,
x→∞ x			x→∞		x		огр.
				б.м.

а lim ( x + sin x)¢		= lim	(1 + cos x) – не существует.
x→∞	x¢	x→∞

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания первого и второго вариантов, по желанию третий уровень выполняется у доски для получения оценки

«10»).

Уровень I

Вычислите пределы:

ln2 x

lim

Ответ: {0};

x→∞

lim

sin 3x − 3x

Ответ: {0};

x→0 2x3 - x2

lim

ln (ex +1)

Ответ: {0};

1 - x ex

x→+∞

ln sin x

lim

Ответ: -

;

x→ π

ctg2 x

ex + e− x - 2

lim

Ответ: {2};

1 - cos x

x→0

lim

Ответ: -

;

x→0 2x - sin 2x

283

7)	lim	x − x cos x								.
7)	lim									.
	x→0		x − sin x
8)	lim				ln ( x −1)									.
8)	lim													.
	x→1+0 ln (ex − e)
9)	lim	x − arctg x									.
9)	lim										.
	x→0					x3
10)	lim			ln ( x −1)								.
10)	lim											.
	x→1+0 ctg π x
11)	lim	e3x − 3x −1											.
11)	lim				sin2 5x								.
	x→0				sin2 5x
12)	lim		tg x − x					.
12)	lim							.
	x→0 x − sin x
						x
13)	lim			xe 2			.
13)	lim						.
	x→∞ x + ex
14)	lim	ex − x −1							.
14)	lim								.
	x→0 x (ex −1)
					tg π x
15)	lim						2						.
15)	lim												.
	x→1−0 ln (1 − x)

Уровень II

Вычислите пределы:

1)	lim	arcsin 2x − 2arcsin x							.

	x→0			x3
2)	lim			ln arcsin x		.

	x→+0 ln tg 2x
3)	lim	tg x − sin x			.

	x→0	x2 arcsin x
			sec2 x − 2 tg x
4)	lim							.

	x→ π			1 + cos 4x
	4	tg 2x − sin 2x
5)	lim						.

	x→0			x3

284

Ответ: {1};

Ответ: ;

Ответ: {0};

Ответ: ;

Ответ: {2};

Ответ: {0};

Ответ: {1};

Ответ: {∞}.

Ответ: {– 1};

Ответ: {1};

Ответ: ;

Ответ: {1};

Ответ: {4};

			2 - (ex + e− x )cos x
6)	lim								.

	x→0				x3 tg x
7)	lim			ln arctg 2x			.

	x→+0 ln sin 3x
8)	lim		tg x − sin x			.

	x→0				sin3 x
9)	lim				ln (2x - p)			.

	x→ π	+0			tg x
	2

10)	lim
	x→0
11)	lim
	x→0
12)	lim
	x→0
13)	lim
	x→0
14)	lim
	x→ π
	4

1 - cos x . x sin x

th x − x . x - sh x

ln cos x . arcsin2 2x

sin 2x − 2sin x .

x× ln cos5x

1- 3tg x . 1 - 2cos2 x

		1
Ответ:			;

	3
Ответ: {1};
		1
Ответ:			;

	2
Ответ: {0};
		1
Ответ:			;

	4
Ответ: {2};
			1
Ответ:	-				;

			8
			2
Ответ:	-					;

			25
		1
Ответ:				;

	12

ln cos(2x2 - x)

15)

lim

Ответ: -

sin 3x2

x→0

Уровень III

Вычислите пределы:

lim

arctg x − arcsin x

Ответ: {∞};

x→0

tg x - sin x

sin (ex -1) - (esin x -1)

lim

Ответ: {∞}.

sin4 3x

x→0

∞

Неопределенности типа

0 × ¥ , ∞ − ∞ сводятся к случаям

путем

∞

представления произведения или разности функций в виде частного.

285

Обучающая задача. Найти lim x2 ln x .

x®+0

Решение: Здесь мы имеем неопределенность вида 0 × ¥ . Предста- вим произведение функций в виде частного, а затем, получив неопреде-

∞

ленность типа ∞ , применим правило Лопиталя:

(0×¥)

ln x

lim x2 ln x =

lim

= -

lim x2 = 0 .

-2

x®+0

2 x®+0

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы- полняется у доски для получения оценки «10»).

Уровень I

Вычислить пределы:

1) lim x2	× e-2 x .
x®+¥

2) lim ctg 3x × tg x .

x® p

Ответ: {0};

Ответ: {3};

3)	lim x ln2 x .
	x®+0
4)	lim sin ( x -1) tg π x .
	x®1			2
				1

5)	lim x2 × e x2 .
	x®0
6)	lim (p - x) tg				x	.
6)	lim (p - x) tg					.
	x®p			2
			2
7)	lim x		x
7)	lim x	e		-1 .
	x®¥
8)	lim (x2 -1)ctg ( x -1) .
	x®1
9)	lim x2e-x2 .
	x®¥

Ответ: {0};

- 2

Ответ: p ;

Ответ: {∞};

Ответ: {2};

Ответ: {0};

286

10)	lim sin p x × ctg 3p x .
	x→1
11)	lim tg x × ln x .
	x→+0
12)	lim	e− x × ln2 x .
	x→+∞
13)	lim (ex + e− x - 2)ctg x .
	x→+0
14)	lim cos3x × tg x .
	x→ π
	2
15)	lim sin p x × ctg π x .
	x→2	2

Уровень II

Вычислить пределы:

			1				-		1
1)	lim												.
1)	lim												.
	x→0	sin x								x
			x			-			1
2)	lim													.
2)	lim		-											.
	x→1 x		-	1					ln x
			1			-								1
3)	lim																.
3)	lim																.
	x→1 x		-	1					arctg ( x -1)
									1
4)	lim	cth x -										.
4)	lim	cth x -										.
	x→0									x
			1
5)	lim						- ctg x .
5)	lim						- ctg x .
	x→π	x - p
	1				-				1
6)	lim													.
6)	lim													.
	x→1 ln x							x -1
														p
7)	lim	x tg x -														.
7)	lim	x tg x -														.
	x→ π										2cos x
	2
			1						-				1
8)	lim														.
8)	lim														.
	x→0	e2 x -1											2x
		ctg x					-		1
9)	lim													.
9)	lim									x2				.
	x→0		x							x2

287

- 1

Ответ: ;

Ответ: {0};

Ответ: {– 3};

Ответ: {2}.

Ответ: {0};

Ответ: ;

Ответ: {0};

Ответ: ;

Ответ: {– 1};

- 1

Ответ: ;

- 1

Ответ: ;

			1	-					1							1
10)	lim														.	Ответ:	;
10)	lim											1)			.	Ответ:	;
	x→0 x ln ( x +											1)				2
			1			-			1
11)	lim													.		Ответ: {0};
11)	lim													.		Ответ: {0};
	x→0		2x					sin 2x
							-		1
12)	lim	ctg x								.						Ответ: {0};
12)	lim	ctg x								.						Ответ: {0};
	x→0								x
			1		-				1							1
13)	lim												.			Ответ:	;
13)	lim												.			Ответ:	;
	x→0 x2							x tg x								6
					1				-		1
14)	lim				1						1		.			Ответ: {0};
14)	lim												.			Ответ: {0};
	x→0	arctg x									x

		1	-	1
15) lim					.

x→0	x2			x tg x

Вычислить пределы:

1) lim ln x × ln ( x -1) .

x→1+0

2)lim→+∞ (x2 - ln3 x).x


3) lim		1		-


x→0	ln (x + 1		+ x2 )

Уровень III

1 ln (1 + x) .

Ответ: .

Ответ: {0};

Ответ: {∞};

- 1

Ответ: .

При вычислении предела выражения ( y ( x))ϕ( x) возникающие неоп-

ределенности вида 00 , ¥0 или 1∞ раскрываются следующим образом. Ло-

гарифмируя предварительно y = ( y ( x))ϕ( x) , получаем равенство ln y = j( x)ln y ( x)

и находим предел ln y , а после чего – и предел y.Заметим, что во всех трех случаях ln y представляет собой неопределенность типа 0 × ¥ , метод рас-

крытия которой изложен выше.

288

Обучающая задача. Вычислить пределы:

10. lim (sin x)x .

x®0

Решение: Имеем неопределенность типа 00 . Обозначим функцию

(sin x)x через y и прологарифмируем ее

ln y = ln (sin x)x = x ln sin x .

Вычислим теперь предел логарифма данной функции, применяя пра- вило Лопиталя (здесь сталкиваемся с неопределенностью вида 0 × ¥ ):

(0×¥)

cos x

cos x × x

sin x

lim ln y = lim x × ln sin x =

lim

= - lim

x®0

x®0 -

x®0 sin x

sin x x,

cos x × x

= - lim (cos x × x) = 0 .

= - lim

x ® 0

®0

x®0

Так как lim ln y = ln (lim y )= 0 , то lim y = e0 =1.

x®0

20. lim (1 + x)sin x .

x®0

Решение: Данный пример содержит неопределенность вида 1¥ . Ло- гарифмируя и применяя правило Лопиталя, получим

′

ln 1 + x

(

))

lim ln y = lim ln (1 + x)

sin x

= lim

ln (1 + x)

= lim

(

(sin x)′

x®0

sin x

x®0

= lim

(1 + x)

= 1.

x®0 cos x

x®0

(1 + x)cos x

Таким образом lim ln y = ln (lim y ) = 1

lim ln y = e1 = e .

x®0

®0

Замечание. Не следует забывать и о других методах вычисления пределов. Так, предыдущий пример можно легко решить, выделяя число е:

lim (1 + x)sin x

x®0

(1∞ )

			1
	1
lim	1		sin x
	(1 + x)
	(1 + x)	x
x®0

lim

= ex→0 sin x = e1 = e .

289

Уровень I

Вычислить пределы:

1) lim (ln x) x .

x→+∞

2) lim xsin x .

x→+0

3) lim (cos x)ctg2 x .

x→0

4) lim (x + ex )x .

x→+∞

5) lim (tg x)tg 2 x .

x→ π

6) lim (arcsin x)x .

x→+0

7) lim (x2 + 3x − 2)ln( x+1) .

x→+∞

8) lim (ctg x)tg x .

x→+0

9) lim (sin 2x)ln x .

x→+0

10) lim (sin x)tg2 x .

x→ π

11) lim (arctg x)x .

x→+0

12) lim (ctg x)ln x .

x→+0

13) lim (2x −1)tg 2 x .

x→1

14) lim (ln (1 + x))x .

x→+0

Ответ: {1};

− 1

Ответ: e 2 ;

Ответ: {e};

Ответ: {1};

Ответ: {e2} ;

Ответ: {1};

Ответ: {e};

− 1

Ответ: e 2 ;

Ответ: {1};

Ответ: {e−1} ;

Ответ: e− π4 ;

Ответ: {1};

290

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб54умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб45умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб44умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб49умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб50умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб58умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб38умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб48умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб96умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf