14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры
.pdf2x , |
-1 £ x <1, |
3) f ( x) = x -1, 1 < x £ 4, |
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1, |
x =1. |
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Ответ: x = 1 − точка разрыва первого рода.
3. Используя информационные таблицы, повторить все правила раскрытия неопределенностей. Для всей аудитории выдать самостоятель- ную работу:
1) |
lim |
tg x − tg 3x |
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. |
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Ответ: 2; |
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|||||||||
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x→0 arcsin2 |
x |
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2π |
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||||||||||||||
2) |
lim (x2 - p2 )× ctg 3x . |
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Ответ: |
; |
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||||||||||||||||||||
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x→π |
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3 |
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||||
3) |
lim |
ln (2 - x) |
. |
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Ответ: - |
1 |
; |
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|||||||||||||
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||||||||||||||
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x→1 |
x3 -1 |
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3 |
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||||||||||||
4) |
lim |
x3 - 2x2 + x -12 |
. |
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Ответ: |
16 |
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|||||
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|
x3 - x2 -18 |
|
|
21 |
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|||||||||||||||||
|
x→3 |
|
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||||||||||||||||
5) |
lim |
|
|
2x - x2 |
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. |
Ответ: 12; |
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||||||||||||||||
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|||||||||||
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x→2 ( |
|
x + 7 - 2x + |
5 ) |
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||||||||||||
|
lim (5 + x) |
|
x+2 |
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Ответ: e−2 ; |
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6) |
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. |
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|||||||||||||||||
x+4 |
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x→−4 |
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|
x |
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|
0, |
if |
x ® +¥ |
||||||||||||||
7) |
lim |
|
3x -1 |
|
. |
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Ответ: |
|
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|
; |
|||||||||||||
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|
x ® -¥ |
|||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
7x + 2 |
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+¥, if |
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||||||||||||||||||
|
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3x+ 2 |
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|
|
0, |
if x ® -¥ |
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|||||||||||||||
8) |
lim |
|
2x + 4 |
. |
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Ответ: |
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. |
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x→−∞ |
x -1 |
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+¥, if x ® +¥ |
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4. Два студента работают у доски с заданиями повышенной слож- ности (для получения оценки «9», «10»). В конце занятия провести анализ представленных решений.
Вариант 1
1. |
Доказать lim |
7n − 5 |
= 7 . |
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||||
|
n→∞ n + 2 |
|
||||
2. |
Вычислить lim |
(n + 1)!− (n + 2)! |
. |
Ответ: −∞ ; |
||
|
||||||
|
n→∞ n!+ 2(n -1)! |
|
162
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|
3x2 - 8x - 3 = 0; |
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||||||||||
|
|
|
x = 3; x × x = -3 |
= -1 x = - |
1 |
; |
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|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||
|
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|
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1 |
|
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|
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|||||
|
= |
3x2 |
- 8x - 3 = 3( x - 3) x + |
|
; |
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|
= |
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
3 |
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|
|
|
||||||||||
|
|
|
x2 - x - 6 = 0; |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||||||||
|
|
|
x = 3; x × x = -6 |
= -6 x = -2; |
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||||||||||||||||||||||||||
|
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|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 - x - 6 = ( x - 3)( x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= lim |
( x - 3)(3x +1) |
= lim |
3x +1 |
= |
10 |
= 2 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
( x - 3)( x + 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→3 |
|
x→3 x + 2 5 |
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|||||||||||||||||||||||||||
Ответ: 2. |
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|
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|
2x2 + 3x - 2 |
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||||||||||||
2. Вычислить |
lim |
|
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|
. |
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|
|
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|
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|
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||||||
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|||||||||
|
|
|
|
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|
x→−2 3x |
2 + 2x + 8 |
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|
|
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|
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|||||||||||||
|
|
|
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|
2x2 + 3x - 2 2 × 4 - 3 × 2 - 2 |
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|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||
Решение: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||||||
|
x→−2 3x2 + 2x + 8 3 |
× 4 - 2 × 2 + 8 |
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|
16 |
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Ответ: 0. |
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5x5 |
- 4x4 -1 |
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||||||||||||
3. Вычислить |
lim |
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. |
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|||||||
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|
x3 -1 |
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|||||||||||||||
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|
x→1 |
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|
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|||||||||
|
|
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|
5x5 - 4x4 -1 |
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5 ×1 - 4 ×1 -1 |
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|
0 |
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||||||||||||||||||||
Решение: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
||||||||||
|
x3 -1 |
|
|
|
|
1 -1 |
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
5x5 – 4 x4 – 1 |
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|
|
|
( x – 1) |
|
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|
|
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|
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
–(5 x5 – 5 x4) |
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(5x4+x3+x2+x+1) |
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x4 – 1 |
|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
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||||||
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|
–( x4 – x3) |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
= |
|
|
x3 – 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
–( x2 – x) |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
||||
|
|
|
|
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|
x – 1 |
|
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|
|
|
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|
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|
|||
|
|
|
|
|
|
–( x – 1) |
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 – 1=( x – 1)( x2 + x + 1)
164
= lim |
( x -1) (5x4 + x3 + x2 + x +1) |
= |
9 |
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
( x -1) (x2 + x |
+1) |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||
Ответ: 3. |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Вычислить |
lim |
|
|
3x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→2 |
|
x2 - 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
- 2)( |
|
+ 2) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x - 2 |
3x - 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
3x - 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение: |
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x→2 |
x2 - 4 |
|
0 |
|
|
x→2 |
( 3x - 2 + 2)(x2 - 4) |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
3x − 2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2)(x2 - 4) |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2)(x2 - |
4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x →2 |
3x - 2 |
|
|
|
x → 2 |
|
|
|
|
|
3x - 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ( x - 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
3 |
|
|
= |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
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|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x →2 |
( 3x - 2 + 2) ( x - 2) ( x + 2) |
|
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4 |
× 4 16 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
3 |
. |
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|
||||
|
|
16 |
|
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7x8 |
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+ 3x4 - x +1 |
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|||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
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lim |
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. |
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|||||||||||
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- 8x5 |
- 9x8 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
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x→∞ 5x3 |
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|
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||||||||||||||||||||||
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2 |
|
|
|
|
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|
|
4 |
|
|
|
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|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
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|
7x2 + 3x4 - x +1 |
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
+ |
|
3x |
- |
|
|
+ |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
lim |
|
|
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|
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|
|
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|
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|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ 5x3 - 8x5 - 9x8 |
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
5x3 |
|
- |
8x5 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 →0 |
|
3 →0 |
|
|
|
1 →0 |
|
|
|
|
1 →0 |
|
|
|
x8 |
|
|
x8 |
|
|
|
x8 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
+ |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
|
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|
|
|
= lim |
|
|
x6 |
|
x4 |
x7 |
|
|
|
|
x8 |
|
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|
= |
|
|
= 0 . |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
5 |
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
-9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
→0 - |
|
8 |
|
|
|
- 9 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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|
x5 |
x3 |
→0 |
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|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: 0. |
|
|
|
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|
|
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|
1 − cos 7x |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|||||||||||||
6. |
Вычислить |
|
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
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|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 - cos 7x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
2 |
|
49 |
|
|
|
49 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
× lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
3x2 |
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
0 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-π |
− π –1 |
π |
π |
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
Вариант 0
(для студентов творческого уровня обучения)
1. |
Доказать |
lim |
3n − 5 |
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n→∞ n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
Вычислить |
lim |
(n + 2)!− (n + 1)! |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
n!+ 2(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2n2 +1)(3 |
|
|
|
- 3 |
|
|
). |
|
||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Вычислить |
lim |
n3 + 5 |
n3 + 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
3n - 2 × 4n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4. |
Вычислить |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4 +16 + ... + 4n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
lim |
|
|
|
|
|
1 - x3 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→1 4x2 - x - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Вычислить |
lim |
|
|
|
x - 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x→−3 3 - |
|
x + |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7. |
Вычислить |
lim |
sin 5( x + p) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
arcsin |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Вычислить |
lim |
sin (3x - p) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→ π |
|
|
1 - 2cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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9. |
Вычислить |
lim (cos 2px)ctgπx . |
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x→1 |
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( |
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) |
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( |
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) |
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x→∞ |
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10. |
Вычислить |
lim x |
2 |
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ln |
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3x |
2 |
-1 |
- ln |
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3x |
2 |
+ 2 |
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. |
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11. |
Исследовать на непрерывность |
y = |
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x +1 |
-1 |
. |
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x |
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